Noyaux atomique, formule de Bethe-Weizsaker

[invite9f8bf3bf]

Bonjour, je suis en train de faire un exercice et je n'arrive pas à comprendre la signification de la formule obtenu:
On suppose que A=n^3 nucléons se répartissent sur un réseau cubique tri-dimensionnel de taille n-1, l'énergie d'interaction entre nucléons plus proche voisins (hors diagonales) étant Eo, et est nulle pour toute autre paires de nucléons. On a calculé l'énergie totale d'interaction du système en fonction de Eo et A.
On obtient donc Eint= 0.5*Eo*6*(n^3-n^2).
Ce que je n'arrive pas à comprendre c'est l'interprétation physique des termes de cette équation.
La relation avec la formule de Bethe-Weizsaker, je la voit bien mais c'est par rapport au cube, je ne vois pas comment 6n^2 peut représenter ce qu'on aurait compter en trop, ni ce que représente 6n^3 dans le cube.

Est-ce que quelqu'un peut m'éclairer, ce serait génial!!
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[invite88ef51f0]

Salut,
Dans un cube, chaque nucléon a 6 voisins. Tu as n³ nucléons, donc 6n³/2 fois E₀ (le 1/2 venant du fait qu'il faut compter une seule fois chaque paire)... ou presque. En effet les nucléons de la surface ont un voisin un moins. Or il y a n² nucléons par face fois 6 faces, donc 6n² nucléons à la surface.

[invite9f8bf3bf]

Merci beaucoup pour la réponse, je commence à avoir les idées plus clairs. Par contre je comprends pas pourquoi on ne soustrait pas de la même façon les nucléons sur les arrêtes qui eux ont deux voisins de moins que ceux qui sont à l'intérieur et ceux qui sont au sommet qui n'ont que trois plus proches voisins.

Clr

[invite88ef51f0]

Rigoureusement, il faudrait effectivement : ça ferait un terme en N pour les arrêtes et un terme constant pour les sommets. Mais ils sont négligeables quand N commence à être grand.

C'est surtout pour voir comment ça varie en fonction de N, juste en ordre de grandeur. De toute façon, les noyaux ne sont pas cubiques...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteca6ab349]

le truc c'est que c'est fait pour marcher a n "grand" : le volume est en n³, donc tres grand devant les faces qui sont en n² et tres grand devant les aretes qui sont en n.
En plus (et c'est peut etre surtout ca le truc), si e but et d'imager la formule de Bethe Weizsacker, on la donne generalement pour une goutte, sans aretes.

[invite9f8bf3bf]

Mais en faite quand on soustrait le 6n^2, on prend obligatoirement en compte les nucléons au sommet et au niveau des arrêtes, seulement pas de la bonne façon. Supposons qu'on est 27 nucléons, avec n^2, ca en fait 9, et sur les neuf, y'en a que deux qui ont six plus proches voisins. Et si je prends un n beaucoup plus grand, dans tous les cas il y aura beaucoup plus de nucléons qui ne font pas parti intégrante de la face. Je crois qu'il y a quelque chose que je ne saisie pas.

Clr

[invite88ef51f0]

De la même façon que là tu as un terme en n³-n², si tu raffines tu auras (sans se soucier des coefficients) quelque chose du genre n³-n²-n-1. Effectivement le terme en n croît, mais ce qu'il faut voir, c'est le rapport des termes le terme en n est n² fois plus petit que celui en n³. Donc pour n grand il devient négligeable.

Et comme l'a dit Meumeul, le problème se pose seulement parce qu'on a pris un cube pour simplifier. Avec une sphère, tu n'as plus ce souci. Ca change les coefficients, mais ce n'est pas l'essentiel : ce qui est intéressant c'est de voir qu'il y a un terme en n³ et un n². Les coefficients seront ensuite ajustés sur l'expérience.

[invite9f8bf3bf]

Oki merci beaucoup, j'ai toujours tendance à me prendre trop la tête!!
Ensuite on nous demande de faire une estimation de la distance d entre les nucléon sur le réseau pour retrouver la taille du noyau réel, on dit donc que le volume du cube équivaut à un volume de sphère, et on note alors d^3*(n-1)^3= (4/3)pi*Ro^3*A, je ne comprends pas l'expression de gauche, le volume du réseau pour moi c'est (n-1)^3, je comprends pas pourquoi d apparait?

[inviteaa0ade65]

Bonjour

Si n est un nombre, (n-1)^3 aussi. Si tu veux avoir un volume il y a nécessairement une distance au cube qui apparaît. D est sans doute la distance entre deux noeuds du réseau.

[invite9f8bf3bf]

vu comme ça en effet, je regrette meme davoir eu besoin de poser la question, merci beaucoup.
clr