Moment d'inertie et distance sur un cône

[inviteb4d8c3b4]

Salut,

j'ai un exo ou je comprends rien, si quelqu'un pouvait m'indiquer une piste, ce serait sympa. Le croquis de l'exo est en fichier joint.

Je n'ai pas d'autre valeurs que ce qui est indiqué sur le croquis si ce n'est que j'ai déjà établi l'expression du volume du cone et l'expression de m en fonction de R, h, et ro (masse volumique).

1- on me demande de calculer la distance OG, je vois pas comment faire si ce n'est:

OG = 1/m intégrale(OA.dm)
G centre d'inertie
A un point matériel du solide

Et même avec ça, je vois pas comment suivre donc je me demande si c'est la bonne formule

2- On me demande d'exprimer Ioz (le moment d'inertie du cône par rapport à l'axe OZ) à partir de l'expression d(Ioz) = r².dm/2. Il m'annoncent que je dois trouver Ioz = 3mR²/10 mais moi je trouve Ioz = mR^3/10

Ce que je fais, je prends d(Ioz) = r².dm/2 et je le met en intégrale en remplaçant dm par:
dm = (ro.pi.r².h).dr/3 (ceci étant issu du calcul de la masse volumique du cone), mais voilà, je trouve un poil à côté.

Merci d'avance.
-----

[pephy]

salut,
je n'ai pas encore pu voir la pièce jointe,mais le principe du calcul est le suivant:
décomposer le cône en rondelles perpendiculaires à son axe de symètrie: rayon r(z),hauteur dz
Il faut déterminer la fonction r(z)
la masse d'une rondelle élémentaire est:

G est le barycentre des points situés sur l'axe de symètrie ayant chacun la masse dm
Pour le moment d'inertie:
Les intégrations sont à faire sur la variable z variant de 0 à H

[invite54e739ff]

Bonjour,

Ton dm est foireux :

dm est fonction de dr ET dh.

Si Oz est l'axe du cone, au rayon r, ton element de masse est axisymetrique certe, mais la hauteur de ton element de masse n'est pas constant (c'est pas un cylindre de revolution, c'est un cone !)


dm = f(dh, dr)

apres ca fait une jolie integrale triple.

[pephy]

????
on peut toujours décomposer en éléments de hauteur constante dz

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb4d8c3b4]

Bonjour,

Ton dm est foireux :

dm est fonction de dr ET dh.

Si Oz est l'axe du cone, au rayon r, ton element de masse est axisymetrique certe, mais la hauteur de ton element de masse n'est pas constant (c'est pas un cylindre de revolution, c'est un cone !)


dm = f(dh, dr)

apres ca fait une jolie integrale triple.

Ok, je veux bien faire dm = f(dh, dr) mais mis à part l'expression de la masse volumique, je n'ai rien d'autre. Si quelqu'un à une idée... ?

[Calvert]

Salut!
L'épaisseur des disques étant infiniment mince, il n'y a pas besoin de considérer la différence de rayon entre le haut et le bas du disque.

Pour illustration, si l'on souhaite calculer l'aire d'un triangle en le découpant horizontalement en tranches, on peut très bien écrire:



où l est la longueur d'un segment horizontal à la hauteur h, soit:



avec L la longueur de la base.

Et on trouve:



qui est bien l'aire du triangle. Pas besoin donc de considérer que mes segments ont ici une longueur différente entre leur base (en h) et leur sommet (en h + dh).

EDIT: Ceci pour dire que le dm proposé plus haut fonctionne.

[invite9de6d49f]

jeanmi66,
pour avoir une démonstration du calcul du moment d'inertie du cône je te conseille de te rendre à cette adresse:
http://www.sciences.ch/htmlfr/geomet...ieformes01.php

[mécano41]

Bonjour,

Pour l'inertie, tu écris que l'inertie d'une rondelle de hauteur dz est :







Tu intègres entre 0 et h et ensuite, tu observes que :



Tu auras le résultat attendu :



Cordialement

Edit : excuse-moi : µ c'est ce tu as nommé rho (masse volumique)

[inviteb4d8c3b4]

Merci de vos proposition, je vais cogiter tout ça !

[inviteb4d8c3b4]

Dans le même croquis, y-a-t-il une "manière" de calculer la distance entre la pointe du cône et le centre G ?

Je sais que je dois trouver 3h/4 mais je trouve encore à côté 3h/2. Il me manque tjs un truc, c'est emm...

Merci

[mécano41]

Bonjour,

Comme Pephy te l'a dit plus haut, il faut faire le barycentre.

tu as :





sachant que : , et M comme dans le calcul de l'inertie.

Cordialement

[inviteb4d8c3b4]

Ok MECANO41, j'ai compris, j'ai réussi à refaire le développement, merci.

Cependant, il y a quelquechose que je n'aurais pas fais naturellement parceque je n'arrive pas à me le représenter surement. il s'agit des notations et utilisation des lettres:

r=zR/h

vu qu'il n'y a qu'une seule notation de rayon et de hauteur sur le croquis, j'aurai naturellement et seulement utilisé petit "r" et petit "h" qui représentent le rayon et la distance h.

Pour poser d'autres valeurs, j'ai utilisé "dh" et "dr" pour représenter des "parties" de h et de r au lieu de "z" et "R" ce qui donne:

r/h = dr/dh

et r = h.dr/dh

Sur le principe je pense que c'est la même chose car la variable reste "h". Mais c'est dans le développement que j'ai du mal car je dois simplifier des "r" par des "dr" (certains au numérateur, d'autres au dénominateur) et voilà, je m'embrouille.

Mais je dois absoluement y arriver car c'est avec ces valeurs que je l'aurai fait. Donc quelqu'un pourrait-il m'aider à faire ce développement avec des r, h, dr, dh svp ?

Merci d'avance, j'espère être clair sur ce que je ne saisi pas dans les notations et utilisation de lettres.

[mécano41]

Bonjour,

Je joins un croquis du problème. Comme on est sur un axe Z, j'ai mis ZG plutôt que le XG que j'avais mis dans le texte. (désolé je vais parfois trop vite! )

R et h sont des constantes.
z est une variable
r est une fonction de z :

Tu considères une tranche du cône, comme un cylindre de rayon r et de hauteur dz.

Tu écris d'abord la masse de cette tranche :



et tu remplaces r par sa fonction r=f(z). Tu obtiens :



Tu intègres le produit dm . z entre 0 et h :



ce qui te donne :

que tu divises par :

et tu obtiens :

Cordialement

[inviteb4d8c3b4]

Ok, d'accord, je saisi mieux. Je comprends surtout qu'il faut que j'arrête de mettre par exemple dr pour signifier "r", qui est une partie de "R" si je te suis bien.

Ok, ensuite j'ai tenté de calculer Iox, le moment d'inertie suivant l'axe ox et voici mes calculs:

Iox = int[(y²+z²)dm] = int(y².dm) + int(z².dm)

Je décompose car on me demande d'arriver à :
Iox = int(z².dm) + Ioz/2

Iox = int(r².dm) + int(z².dm)
Iox = int(r².rho.pi.r².dh) + int(z².dm)
Iox = rho.pi.int(r^4.(h/r.dr) + int(z².dm)
Iox = rho.pi.int(r^3.h.dr) + int(z².dm)
Iox = (rho.pi.h.r²)/2 . r²/2 + int(z².dm)

Là, j'ai essayé de faire ressortir Ioz/2 mais j'ai un truc qui déconne, je sais pas où. Qu'en penses-tu MECANO41

PS: comment fait-on pour écrire des "intégrales" et des variables ou autres lettres comme tu le fais dans tes post, en italique ?

[mécano41]

Pour l'écriture, c'est du langage LA TEX. Tu as des liens ici :

http://forums.futura-sciences.com/thread12735.html

Pour le reste je vais regarder ça.

[mécano41]

Je ne comprends pas ce que tu as voulu faire.

Il me semble que normalement on devrait écrire :



avec moment d'inertie du disque par rapport à l'axe A passant par son diamètre. Il s'agirait donc de démontrer que :



Je regarde mais pour l'instant je merdouille

[mécano41]

Une précision :

...avec moment d'inertie du disque par rapport à l'axe A passant par son diamètre...

c'est un disque d'épaisseur dz

[inviteb4d8c3b4]

Oui, je merdouille aussi. C'est embêtant, la question d'après c'est écrire la matrice des moments ! Si je l'ai pas, pas de matrice !

[mécano41]

Bonjour,

J'ai appliqué le principe pour calculer l'inertie d'un cylindre par rapport à un axe passant par le diamètre au milieu de sa hauteur et ça fonctionne mais pour le cône, j'ai une erreur que je n'arrive pas à trouver. Je te donne la démarche au cas où... :

Je pars de l'inertie d'un disque d'épaisseur dz et de rayon r, autour d'un axe A passant par son diamètre :

que je trouve en intégrant, de 0 à r, l'inertie d'un anneau de rayon r1, de section dr par dz. Cela, c'est bon.

Ensuite, comme je l'ai écrit plus haut :



Si j'ai bien compris, il s'agirait, pour toi, de démontrer que :




(désolé, je n'arrive pas à écrire les bornes avec des crochets!)

avec pour r=f(z) :

et j'arrive à :



ce qui n'est pas bon!


Cordialement

PS : à partir de ce soir, je ne pourrai pas te répondre avant jeudi ou vendredi prochain

[inviteb4d8c3b4]

Ok, t'inquiète, merci quand même de m'avoir filé un coup de main.

A+