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Moment d'inertie



  1. #1
    duglan

    Moment d'inertie

    Salutations, et merci par avance de m'éclairer!!!

    Un cylindre plein, de rayon R et de masse M, roule sans glisser autour d'un axe sur un plan horizontale avec une vitesse de translation v. Il aborde un plan incliné faisant un angle alpha avec l'horizontal et il remonte ce plan incliné. Les frottements seront négligés. Pour ce cylindre plein : I=1/2 MR²
    1) Calculer Ec totale du cylindre au moment où il aborde le plan incliné.
    2) Quelle distance pourra-t'il parcourir en remontant le plan incliné?
    3) Répondre à 1) et à 2) dans le cas où l'on remplace ce cylindre par un cylindre creux de même rayon et de même masse tel que la masse soit répartie sur la périphérie. Répondre à 1) et à 2) dans ce cas là.

    J'ai répondu aux deux première questions. Mais dans les réponses de la 3) ils mettent : Si toute la masse est répartie à la périphérie du cylindre : I'=MR².
    Mon problème est simple, pourquoi "Si toute la masse est répartie à la périphérie du cylindre : I'=MR²"?

    -----


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  3. #2
    sitalgo

    Re : Moment d'inertie

    B'soir,

    L'inertie "linéaire" ne change pas mais l'inertie de rotation augmente, ce qui a des conséquences.
    Mais si t'as l'gosier, Qu'une armure d'acier, Matelasse. Brassens, Le bistrot.

  4. #3
    Calvert

    Re : Moment d'inertie

    Salut!

    Par définition du moment d'inertie, tu as:



    En coordonnées cylindriques une répartition de la masse axisymétrique, on a:



    ce qui nous mène à:



    Si toute la masse est concentrée au rayon r, alors on peut introduire une densité surfacique de masse:



    Ainsi:



    où H est la hauteur du cylindre. Comme la masse est donnée par:

    , on trouve bien:



    Une autre façon d'obtenir ce résultat est de considérer le moment d'inertie d'une cylindre plein de rayon R2,, et d'y soustraire le moment d'inertie d'un cylindre plein de rayon R1, avec R1 < R2. En faisant ensuite tendre R1 vers R2, on trouve la même réponse.

  5. #4
    duglan

    Re : Moment d'inertie

    Sal'tations!!!
    Merci à vous deux pour vos réponses salvatrices , mais tout de même un pb avec la 2nd partie de la réponse de Ô Calvert, je sais que je mérite bien mon pseudo, d'ailleurs pas choisit au hasard, mais comment je vois pas comment tu fais (pas par faute d'avoir essayé)

  6. #5
    Calvert

    Re : Moment d'inertie

    Re-salut!

    Allons-y. On considère donc un cylindre plein de hauteur H, rayon R1 et de masse M1. Son moment d'inertie est:



    De la même manière, pour un cylindre plus petit:



    Pour trouver le moment d'inertie d'un cyclindre infiniment mince, il faut soustraire à I1 le moment I2 en supposant que la composition des deux cylindre est identique (prenons ici une composition uniforme de densité ).

    Nous avons donc:




    Remplaçons donc les masses dans les expression de I, et faisons la soustraction:



    Ecrivons maintenant que notre cylindre de creux de rayon interne R2 et externe R1 possède une masse M. On a donc:



    et donc:



    En introduisant cette expression dans la relation plus haut:



    Intéresons-nous à la fraction contenant les rayons. On a:



    et donc cette fraction devient:



    Faisons maintenant tendre R2 vers R1:



    Finalement, on a bien:


  7. A voir en vidéo sur Futura

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