Moment d'inertie

[invite88386223]

Salutations, et merci par avance de m'éclairer!!!

Un cylindre plein, de rayon R et de masse M, roule sans glisser autour d'un axe sur un plan horizontale avec une vitesse de translation v. Il aborde un plan incliné faisant un angle alpha avec l'horizontal et il remonte ce plan incliné. Les frottements seront négligés. Pour ce cylindre plein : I=1/2 MR²
1) Calculer Ec totale du cylindre au moment où il aborde le plan incliné.
2) Quelle distance pourra-t'il parcourir en remontant le plan incliné?
3) Répondre à 1) et à 2) dans le cas où l'on remplace ce cylindre par un cylindre creux de même rayon et de même masse tel que la masse soit répartie sur la périphérie. Répondre à 1) et à 2) dans ce cas là.

J'ai répondu aux deux première questions. Mais dans les réponses de la 3) ils mettent : Si toute la masse est répartie à la périphérie du cylindre : I'=MR².
Mon problème est simple, pourquoi "Si toute la masse est répartie à la périphérie du cylindre : I'=MR²"?
-----

[sitalgo]

B'soir,

L'inertie "linéaire" ne change pas mais l'inertie de rotation augmente, ce qui a des conséquences.

[Calvert]

Salut!

Par définition du moment d'inertie, tu as:



En coordonnées cylindriques une répartition de la masse axisymétrique, on a:



ce qui nous mène à:



Si toute la masse est concentrée au rayon r, alors on peut introduire une densité surfacique de masse:



Ainsi:



où H est la hauteur du cylindre. Comme la masse est donnée par:

, on trouve bien:



Une autre façon d'obtenir ce résultat est de considérer le moment d'inertie d'une cylindre plein de rayon R₂,, et d'y soustraire le moment d'inertie d'un cylindre plein de rayon R₁, avec R₁ < R₂. En faisant ensuite tendre R₁ vers R₂, on trouve la même réponse.

[invite88386223]

Sal'tations!!!
Merci à vous deux pour vos réponses salvatrices , mais tout de même un pb avec la 2nd partie de la réponse de Ô Calvert, je sais que je mérite bien mon pseudo, d'ailleurs pas choisit au hasard, mais comment je vois pas comment tu fais (pas par faute d'avoir essayé)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Calvert]

Re-salut!

Allons-y. On considère donc un cylindre plein de hauteur H, rayon R₁ et de masse M₁. Son moment d'inertie est:



De la même manière, pour un cylindre plus petit:



Pour trouver le moment d'inertie d'un cyclindre infiniment mince, il faut soustraire à I₁ le moment I₂ en supposant que la composition des deux cylindre est identique (prenons ici une composition uniforme de densité ).

Nous avons donc:




Remplaçons donc les masses dans les expression de I, et faisons la soustraction:



Ecrivons maintenant que notre cylindre de creux de rayon interne R₂ et externe R₁ possède une masse M. On a donc:



et donc:



En introduisant cette expression dans la relation plus haut:



Intéresons-nous à la fraction contenant les rayons. On a:



et donc cette fraction devient:



Faisons maintenant tendre R₂ vers R₁:



Finalement, on a bien: