Moment d'inertie

[invite58d2d622]

Bonjour,
Ci-dessous une demo pour laquelle je ne comprends pas l'une des relations :
Calculons maintenant le moment d'inertie d'une boule pleine homogène de masse M et de masse volumique rho. Pour cela, la boule présentant une symétrie maximum, il est plus commode de calculer d'abord le moment d'inertie polaire , puis de déterminer le moment d'inertie axial à partir de ce premier :

Jo = 4.pi.rho int(r^4dr) = 4.pi.rho.1/5.r^5 = 3/5(MR²)
Je suis OK pour Jo.
Comme Jx, Jy, Jz sont égaux par symétrie de la boule, il vient :

Jo=1/2.(3.Jx) implique Jz = 2/3(Jo) = 2/5(MR²)

Je ne comprends pas la relation Jo=1/2.(3.Jx) .

Enfin pour finir comment fait-on pour obtenir
dV = r²sin(teta)dr.d(teta).d(phy) ?
En effet même en passant en polaire, je ne vois pas comment la relation entre les variations de teta, phy, r et 4/3.pi.r^3.

Merci pour votre aide.
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[invite8c514936]

Pour le premier morceau :

Je ne comprends pas la relation Jo=1/2.(3.Jx)

La définition de Jo c'est

Jo = int (x² +y²+z²) d³ r

Or,

Jx = int (y²+z²) d³ r
Jy= int (x²+z²) d³ r = Jx
Jz= int (x²+y²) d³ r = Jx

La somme des 3 dernières expressions donne 3 Jx, et tu vérifies facilement que c'est bien 2 fois Jo...

[invite8c514936]

Pour le second morceau :

Enfin pour finir comment fait-on pour obtenir
dV = r²sin(teta)dr.d(teta).d(phy) ?

Il y a plusieurs manières. Tu peux faire le petit dessin suivant :

1/ A theta et r donnés, le cercle décrit quand phi varie de 0 à 2pi a pour circonférence r sin(theta). Un bout du cercle correspondant a un angle dphi a donc pour longueur r sin(theta) dphi.

2/ si maintenant tu prends ce bout de cercle et tu regardes ce qu'il devient si theta varie de dtheta. Tu obtiens un "rectangle" de côté r sin(theta) dphi (d'après 1/) et r dtheta. Sa surface est donc :
dS = r² sin(tetha) dphi dtheta.

3/ tu regardes ce que deviens ce rectangle quand r varie de dr : ça devient un parallélépipède de surface dS et de hauteur dr. En multipliant les deux tu trouves dV...

Sinon, tu peux ecrire les relations entre (x,y,z) et (r,theta,phi) et calculer son jacobien.

[invite8c514936]

dans le 1/ ci-dessus, il faut bien sûr lire

1/ A theta et r donnés, le cercle décrit quand phi varie de 0 à 2pi a pour circonférence 2 pi r sin(theta). Un bout du cercle correspondant a un angle dphi a donc pour longueur r sin(theta) dphi.

Désolé...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite58d2d622]

Pour le second morceau :

Il y a plusieurs manières. Tu peux faire le petit dessin suivant :

2/ si maintenant tu prends ce bout de cercle et tu regardes ce qu'il devient si theta varie de dtheta. Tu obtiens un "rectangle" de côté r sin(theta) dphi (d'après 1/) et r dtheta. Sa surface est donc :
dS = r² sin(tetha) dphi dtheta.

Bonjour,
Lorsque tu dis "Tu obtiens un "rectangle" de côté r sin(theta) dphi (d'après 1/) et r dtheta" je suis un peu géné par r dtheta qui correspond à un arc de cercle dont la projection sur le plan "r sin(theta) dphi " n'indique pas les mêmes longueurs puisque la projection est "plus courte" que l'arc de cercle.
En fait dtheta sans r sin(tetha) dphi dtheta me conviens mieux,
et c'est ensuite qu'on multiplie par rdr.
Merci,

[invite8c514936]

Lorsque tu dis "Tu obtiens un "rectangle" de côté r sin(theta) dphi (d'après 1/) et r dtheta" je suis un peu géné par r dtheta qui correspond à un arc de cercle dont la projection sur le plan "r sin(theta) dphi " n'indique pas les mêmes longueurs puisque la projection est "plus courte" que l'arc de cercle.

Tu as raison, mais la différence entre la longueur de l'arc de cercle r dtheta et le segment rectiligne est du second ordre en dtheta. Dit autrement, pour dtheta petit (et il l'est par définition), on peut assimilier l'arc de cercle à un segment, d'où mon emploi du terme "rectangle". On fait la même chose dans la direction r car en tout rigueur le volume élémentaire n'est pas un parallélépidède rectangle.

[invite58d2d622]

Je vois,
En toute logique, phy devrait évoluer de 0 à 2 pi et theta de 0 à pi/2 et r de 0 à 2R ou
encore theta de 0 à pi et r de 0 à R
Merci pour l'aide,

[invite8c514936]

En toute logique, phy devrait évoluer de 0 à 2 pi et theta de 0 à pi/2 et r de 0 à 2R ou encore theta de 0 à pi et r de 0 à R

Heu... tu veux dire theta de 0 à pi/2 et r de -R à +R ou encore theta de 0 à pi et r de 0 à R , j'imagine...

Merci pour l'aide,

[invite58d2d622]

Effectivement il y avait un beug et c'est bien r de -R à R.
Merci,