transformation polytropique

[invited70d3e2a]

bonjour,
j'ai un problème avec la mise en forme d'un résultat d'un exercice de thermo :
on appelle transformation polytropique de paramètre alpha, une transformation quasi statique au cours de laquelle le monome (pV)^alpha est constant.
tout d'abord je dois calculer le travail de compression polytropique de n moles d'un gaz parfait où le rapport volumétrique est a=Vo/V1 où Vo est le volume initial et V1 le volume final, on doit exprimer alors le travail en fonction de n, To, alpha et a
alors tout d'abord j'ai écris que le travail= intégrale de VdP, d'où W= nRTo ln(P1/Po)=nRTo ln (Vo/V1)^alpha
= nRTo ln (a)^alpha

seulmeent ds l'enoncé on ne doit aps faire apparitre R ds le résulat.. comment faire pour s'en débarasser?


de plus ensuite gamma=cp/cv est l'exposant adiabatique du gaz , gamma est supposé constant on doit alors exprimer la température T1 du gaz en fin de compression ainsi que la variation d'énergie interne subie par le gaz on doit exprimer cela en fonction de n, To, a, alpha, gamma et R

pour cela j'ai écris d'abord que adiabatique alors Q=0
donc W=delta U = intégrale de n*capacité calorifique molaire*dT
or capacité calorifique molaire (Cv)= R/ (gamma -1)
si gamma est constant alors Cv constant
d'où delta U= (nR(T1-To))/(gamma-1) =W
alors (nR(T1-To))/(gamma-1) = nRTo ln (a)^alpha
ainsi T1=...
mais le problème c'est que là encore T1 n'est pas exprimée en fonction de toutes les données demandées, il manque nR

enfin je dois montrer après que lors d'une évolution elementaire le long de cette transformation polytropique produisant une variation de température de dT, le transfert thermique venant de l'extérieur et reçu par une mole de ce gaz parfait peut s'écrire : (petit delta)Q=KdT, où K est une constante exprimée en fonction des données.
peut on dire que dU= CvdT= (petit delta)W+ (petit delta)Q alors (petit delta)Q=CVdT+Pdv
mais que faire de PdV?

merci d'avance
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[inviteaa0ade65]

bonjour,
j'ai un problème avec la mise en forme d'un résultat d'un exercice de thermo :
on appelle transformation polytropique de paramètre alpha, une transformation quasi statique au cours de laquelle le monome (pV)^alpha est constant.
tout d'abord je dois calculer le travail de compression polytropique de n moles d'un gaz parfait où le rapport volumétrique est a=Vo/V1 où Vo est le volume initial et V1 le volume final, on doit exprimer alors le travail en fonction de n, To, alpha et a
alors tout d'abord j'ai écris que le travail= intégrale de VdP, d'où W= nRTo ln(P1/Po)=nRTo ln (Vo/V1)^alpha
= nRTo ln (a)^alpha

seulmeent ds l'enoncé on ne doit aps faire apparitre R ds le résulat.. comment faire pour s'en débarasser?

Ca me semble faux. Ta relation ressemble à celle du travail lors d'une évolution isotherme, ce qui n'est surement pas le cas pour une transformation polytropique (sauf si alpha=1 !!)


La suite dépend sans doute de ce premier résultat qu'il convient de corriger.

Par ailleurs es-tu sûr que c'est (PV)^alpha=Cte et pas P*(V^alpha)=Cte (C'est plutôt cela une évolution polytropique)

[pephy]

bonjour,
il y a une erreur au début des calculs.
le travail c'est l'intégrale de -p.dV
Et la température varie pendant la polytropique...
D'accord avec cerfa; c'est

[invited70d3e2a]

oui en effet je me suis trompé désolé c'est PV^k je viens de corriger mon erreur, et cela me donne :
W= - cte*(-1/(k+1))*[V1^-(k+1) -Vo^-(k+1)]
où k=alpha

[A voir en vidéo sur Futura]

[pephy]

pas tout à fait çà...il y a un problème avec k+1
Pour simplifier ensuite penser que Cste=p0V0^k=P1V1^k

[invited70d3e2a]

alors on a : W=Po Vo^k*(-1/(k+1))*[V1^-(k+1) -Vo^-(k+1)]
alors W= (-1/(k+1))*[nRTo(-a^k*(1/(VoV1))+(1/Vo^2)]

mais en effet il doit y avaoir un problème avec k+1, car je n'arrive pas à me débarasser de Vo et V1..

[pephy]

attention aux signes en intégrant:

[invited70d3e2a]

ah oui en effet, ce qui permet alors d'écrire:

W=( 1/(-k+1))*[nRTo(-a^(k-1) +1] mais est ce genant d'avoir R dans le resultat alors qu'il n'était pas demandé?

[pephy]

R est une constante connue.

[invited70d3e2a]

en effet

pour la suite j'ai pensé partir de :

adiabatique alors Q=0
donc W=delta U = intégrale de n*capacité calorifique molaire*dT
or capacité calorifique molaire (Cv)= R/ (gamma -1)
si gamma est constant alors Cv constant
d'où delta U= (nR(T1-To))/(gamma-1) =W
alors (nR(T1-To))/(gamma-1) = (1/-k+1)*(nRTo)*(1-a^(k-1))

ainsi T1= To*(gamma-1)*[(1/(-k+1))*(1-a^(k-1) + 1/(gamma-1)]
le raisonnement est il cohérent?

[pephy]

apparemment oui...mais je ne vois pas l'intérêt de ce calcul.
Habituellement on établit les relations adiabatiques par une autre méthode et l'adiabatique n'est qu'un cas particulier de polytropique pour laquelle alpha=gamma
Puisqu'on a c'est bien que

[invited70d3e2a]

Je comprends que alpha= gamma,
seulement : pour cela il faut que dans la première question, je mette W sous la forme de :
(P1V1-PoVo)/(alpha-1) ce qui n'est pas tt à fait ce que j'avais trouvé:
W=( 1/(-k+1))*[nRTo(-a^(k-1) +1] (k étant alpha)
comment passer d'une forme à une autre?
D'autre part une fois qu'on montre que alpha= gamma, comment en déduire T1 car on ne connait pas la valeur de delta U?

[pephy]

pour cela il faut que dans la première question, je mette W sous la forme de :
(P1V1-PoVo)/(alpha-1) ce qui n'est pas tt à fait ce que j'avais trouvé:
W=( 1/(-k+1))*[nRTo(-a^(k-1) +1] (k étant alpha)

revois tes calculs, nRT0 est en facteur de l'ensemble. après l'intégration tu devais avoir:

sinon après sachant que on montre facilement que :

[invited70d3e2a]

je viens de voir comment passer d'une forme à une autre en prenant PoVo^k=P1V1^k
par contre je suis toujours embêté pour calculer T1 car si gamma= alpha alors comment trouver une relation pour exprimer T1?

[invited70d3e2a]

ok merci beaucoup!

[invited70d3e2a]

Enfin,je dois montrer après que lors d'une évolution elementaire le long de cette transformation polytropique produisant une variation de température de dT, le transfert thermique venant de l'extérieur et reçu par une mole de ce gaz parfait peut s'écrire : (petit delta)Q=KdT, où K est une constante exprimée en fonction des données.
peut on dire que dU= CvdT= (petit delta)W+ (petit delta)Q alors (petit delta)Q=CVdT+Pdv
mais que faire de PdV?

[pephy]

il faut exprimer dV en fonction de dT;pour cela on utilise la relation

[invited70d3e2a]

j'ai exprimé dv en fonction de dT, en partant de:

TV^(k-1) =cte
alors d(ln(Tv^(k-1)))=0
d'où (dT/T)+(k-1)*(dV/V)=0
alors dV= (VdT)/(T(k-1))
d'où (petit delta)Q= (2R/(k-1))*dT
Seulmeent je pense qu'il ya une erreur dans le résultat car après il est demandé de calucler la constante
(2R/(k-1)) pour la valeur k=0,1,gamma et pour k=1 c'est impossible on diviserait alors par 0..

[pephy]

TV^(k-1) =cte
alors dV= (VdT)/(T(k-1))
d'où (petit delta)Q= (2R/(k-1))*dT

OK pour dV ce qui donne
d'où:


on a bien pour
mais on ne peut pas utiliser cette formule pour k=1 (isotherme)