Qu'est-ce qu'un scalaire ?

[Jada]

Bonjour à tous,

Je suis en plein dans le cours de Mécanique Quantique et j'ai du mal à saisir cette notion. On l'a défini comme un opérateur qui commute avec le moment cinétique ; mais dans mon cours de RG, on définit également le lagrangien et l'intervalle spatio-temporel comme des scalaires.
Y a-t-il donc plusieurs définitions différentes des scalaires selon les théories de la physique ?
Qu'en est-il de H, le hamiltonien en MQ ?
Je dois m'être embrouillée dans les notions et j'aimerais quelques éclaircissements.

Merci d'avance,
Jada
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[Gwyddon]

Quand on dit scalaire, c'est scalaire par rapport à quoi ?

Lorsque l'on écrit un lagrangien, on veut qu'il soit invariant de Lorentz, c'est en ce sens qu'il est un scalaire.

En MQ, c'est en fait la même chose : on dit qu'un opérateur est scalaire quand il commute avec l'opérateur moment cinétique, ce dernier étant en fait lié aux transformations de Lorentz on retrouve la même idée sous-jacente que pour le lagrangien.

[invitea774bcd7]

C'est un tenseur d'ordre 0, un nombre

[Gwyddon]

Attention, un nombre n'est pas scalaire, et il faut toujours préciser scalaire par rapport à quoi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gatsu]

Attention, un nombre n'est pas scalaire, et il faut toujours préciser scalaire par rapport à quoi.

Exactement!!
Pour enfoncer un peu le clou, la 3ème composante d'un vecteur à 3D est un nombre mais ce n'est pas un scalaire sous SO3

[Karibou Blanc]

Attention, un nombre n'est pas scalaire, et il faut toujours préciser scalaire par rapport à quoi.

Tu fais bien d'insister la dessus.

Pour completer, un scalaire est un objet qui a une comportement particulier sous l'action d'un groupe de transformation. Si S est un scalaire par rapport à un groupe G, alors toute transformation g de G agira sur S de sorte que :

S'=g(S)=S

En d'autre terme le scalaire est un invariant sous le groupe G.
Ce n'est donc pas un nombre, mais un objet muni d'une loi de comportement (triviale ici) sous un groupe donné, objet qui est représenté par un nombre.

[invitea774bcd7]

Et tenseur d'ordre 0 ? Ça vous va ?

[gatsu]

Et tenseur d'ordre 0 ? Ça vous va ?

Il me semble que le critère de tensorialité est basé sur le comportement d'un "tableau de nombres" sous une transformation implicite (i.e. sous un changement de carte locale).
En revanche il me semble que ça n'imlique rien sur les transformation explicites dues à des groupes de transformations différents.
Par exemple un scalaire de Lorentz (au sens du groupe spécial de Lorentz) n'est a priori pas un scalaire sous la réflexion ou carrément sous parité.

[Karibou Blanc]

Et tenseur d'ordre 0 ? Ça vous va ?

en disant seulement ca, cela revient simplement à "renommer" l'objet qu'on appelle scalaire, mais on ne le définit pas, c'est un synonyme. Dans les deux cas, il faut préciser le groupe de transformations par rapport auquel l'objet se comporte "scalairement". Il y des tenseurs pour le groupe de Lorentz, pour les groupes de jauges, le groupes des rotations, se sont des objets fondamentalement différents puisqu'ils sont associés à des transformations de natures différentes, néanmoins leur comportement respectif est similaire, ils se comportent comme des tenseurs (d'un certain rang).

Bref, l'idée à comprendre c'est qu'un tenseur (scalaire, vecteur, et rang supérieur) n'est pas un objet inerte, il est définit par un comportement précis sous un groupe de transformation. Un tenseur se définit donc à l'aide d'une loi de transformation sous le groupe associé, et non comme étant un simple ensemble de nombres. C'est un ensemble organisé par le groupe de transformations.

KB

[Jada]

Merci beaucoup,
Tout est beaucoup plus clair.
Et en passant, comment est lié l'opérateur de moment cinétique aux transformations de Lorentz ? (cf post de Gwyddon)