quantique : marche de potentiel

[Heimdall]

salut,

j'ai un petit problème de quantique.....

imaginons une marche de potentiel carré telle que pour x>0 V(x)=0 (zone 1) et pour x<0 V(x) = -Vo (zone 2).

soit une particule arrivant de plus l'infini, avec une énergie E telle que -Vo<E<0.

l'équation de schrödinger stationnaire etant :



posons et


alors l'équation de schrödinger dans la zone 1 où V=0 devient :


et dans la zone 2 où V=-Vo :


soit des solutions et :





la fonction d'onde doit etre bornée donc
et la particule arrive de l'infini, ce qui implique que

il reste donc :





à ce stade, suis-je dans le vrai ?

je trouve ça étrange d'avoir une onde evanescente dans la zone 1, c'est la zone incidente, je devrait avoir une onde progressive vers les x décroissant....

merci de m'éclaircir
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[invite0224cd59]

Ta particule arrive de + l'infini????? c'est très étrange, ton calcul me semble juste si tu viens de - l'infini mais de plus l'infini, a ,priori je crois que ton onde ne pourrait pas se propager.....

[invite88ef51f0]

Salut,
Ca ne me paraît pas surprenant que la fonction d'onde soit évanescente dans une zone où le potentiel est plus grand que l'énergie de la particule...
Je ne sais pas si tu as déjà vu l'effet tunnel mais tu as tous les éléments pour le trouver : si tu considères un potentiel qui vaut 0 partout et +Vo dans une certaine zone limitée, et que tu prends une particule à gauche (par exemple) de cette marche de potentiel, alors tu auras une onde stationnaire à gauche, une onde évancescente à l'intérieur de ta marche et une onde stationnaire apparaîtra à droite de la marche, avec une amplitude qui décroit exponentiellement avec la longueur de la marche. Ta particule a donc traversé la marche de potentiel, ce qui aurait été impossible en mécanique classique.

[Heimdall]

et pourquoi elle pourrait pas se propager ? elle arrive avec une énergie <0 sur une baisse de potentiel, a priori rien ne l'empeche de se propager, intuitivement elle gagne de la vitesse même...

en td on a fait un calcul qui ressemble un peu, la même marche de potentiel, une particule arrivant aussi de + l'infini, mais avec une énergie positive... là on avait alors uniquement des exponentielles complexes (car 2mE/h^2 >0) ce qui nous donnait bien une transmise, une réflechie et une incidente.... mais là....

[A voir en vidéo sur Futura]

[Heimdall]

Salut,
Ca ne me paraît pas surprenant que la fonction d'onde soit évanescente dans une zone où le potentiel est plus grand que l'énergie de la particule...

je suis d'accord sur le fait que ça soit a priori intuitif d'avoir une evanescente là où V>E vu que c'est là où c'est classiquement interdit... en revanche ce qui me chagrine, c'est que c'est précisément la zone où arrive ma particule..... en général une onde evanscente c'est une onde qui a "lutté" contre un potentiel... là elle arrive tranquille de +oo.....

c'est comme si le cas dans lequel je m'étais placé (arrivée de+oo, E<V) était physiquement stupide....

Je ne sais pas si tu as déjà vu l'effet tunnel mais tu as tous les éléments pour le trouver : si tu considères un potentiel qui vaut 0 partout et +Vo dans une certaine zone limitée, et que tu prends une particule à gauche (par exemple) de cette marche de potentiel, alors tu auras une onde stationnaire à gauche, une onde évancescente à l'intérieur de ta marche et une onde stationnaire apparaîtra à droite de la marche, avec une amplitude qui décroit exponentiellement avec la longueur de la marche. Ta particule a donc traversé la marche de potentiel, ce qui aurait été impossible en mécanique classique.

ouais on a vu ça aussi dans le cas d'une barrière de potentiel, mais ici l'onde evanescente n'est pas du coté incident...

vraiment on dirait qu'on mon exemple de départ n'est pas physiquement possiible.

[invite88ef51f0]

vraiment on dirait qu'on mon exemple de départ n'est pas physiquement possiible.

C'est ce que je dirais aussi...

là elle arrive tranquille de +oo...

Justement non, je pense que tu auras une onde évanescente qui va s'atténuer. Et étant donné qu'elle arrive de l'infini, elle aura tout le temps de s'annuler.

Bref, fait venir ta particule de -oo, ça sera physiquement plus intéressant...

[invite93279690]

je comprends pas pourquoi tu dis que l'onde est evanescente dans la zone 1 en effet si on garde tes notations :


l'equation de schrodinger dans la zone 1 est:

comme tu l'a dit mais dans ce cas l'equation caracteristique devient :

et si on note les solutions de ton equation caracteristique alors la solution s'ecrit :

c'est comme ça qu'on fait non ?

or
donc et


donc ton onde dans la zone est bien progressive et non evanescente..il me semble

[Heimdall]

je comprends pas pourquoi tu dis que l'onde est evanescente dans la zone 1 en effet si on garde tes notations :


l'equation de schrodinger dans la zone 1 est:

comme tu l'a dit mais dans ce cas l'equation caracteristique devient :

et si on note les solutions de ton equation caracteristique alors la solution s'ecrit :

c'est comme ça qu'on fait non ?

oui... ici

or
donc et


donc ton onde dans la zone est bien progressive et non evanescente..il me semble

c'est pas parce que y'a un signe '-' dans la racine que le tout est complexe... ici les racines du trinome caractéristique sont réelles car E<0, j'ai justement choisi de posé mon truc en -k² pour avoir une racine d'un truc positif

donc au final on a bien

[invite93279690]

scuse heimdall j'avais pas vu !!!je viens d'ecrire un gros paragraphe pour m'excuser pour corriger le post mais ça a ete refusé..je dois donc tout recommencer!!

Je crois savoir si tu n'a pas encore trouvé pourquoi ton onde est evanescente dans la zone 1.En effet en mecanique classique un objet ne peut exister dans une region ou son energie est inferieure au à l'energie potentielle de cette region (tu ne peux pas mettre un objet de masse M à trois metres d'altitude si tu n'a pas fournis à ton objet l'energie Ep=3Mg ).En mecanique classique une onde n'aurait pas du tout le droit d'exister dans une regin ou son energie est inferieure au potentiel de cette region.Mais en mecanique quantique une onde est progressive dans une region ou son enrgie est superieure au potentiel de la region et A LE DROIT D' EXISTER dans une region ou son energie est inferieure au potentiel de la region!!c'est ça l'un des nouveau truc apporté par la mecanique quantique .DAns une telle region l'onde est evanescente (je pense que tu l'a deja vu si tu as deja eu ds td)et a une portée assez limitée.Si la longueur de la barriere est inferieure à cette portée alors la particule d'energie E a une probabilité non nulle d'exister au dela de la barriere :c'est l'effet tunnel.Dans ton exemple la particule a le droit d'exister classiquement dans la region ]-inf;0] puisque Vo<E
Mais ce qui represente la barriere à cemoment là c'est la region [0;+inf[ puisque E<0 donc c'est normal que ton onde soit evanescente dans cette region tu as reussi ton exo en fait ...

[Heimdall]

ok gatsu si tu relis les posts de coincoin et moi dans ce fil, tu verras qu'on est bien d'accord avec ce que tu viens de me dire... normal que l'onde soit evanescente dans une région où E<V (ce qui est le cas comme tu le dis dans la zone 1 puisque E<0.

yé vé essayé d'etre plou clair
le truc de l'effet tunnel, c'est que la aprticule a une porba non nulle de TRAVERSER le mur... càd qu'on doit trouver une evanescente en SORTIE de mur... et deux progressives à droite (incidente et reflechie). Or dans mon truc, l'evanescente se trouve coté incident... ça veut rien dire une onde evanscente incidente... pourquoi serait-elle evanescente alors qu'elle a même pas encore franchi le mur, tu vois ?

a mon avis, pour une telle configuration, (potentiel -Vo en x<0, et incidence de +oo) le seul cas physique possible est d'avoir une particule d'énergie E>0, on a alors coté x>0 deux ondes progressives (incidente et réfléchie) et de l'autre coté x<0 une onde progressive vers les x décroissants... c'est l'onde transmise...

pour l'effet tunnel, soit on prend 0<E<V et V=Vo en x>0 et V=0 en x<0 avec une particule venant de -oo, soit on prend V=-Vo en x<0 et V=0 en x>0 mais cette fois avec -Vo<E<0 et une particule venant de -oo

en gros pour avoir l'effet tunnel l'énergie doit etre comprise entre le min et le max du potentiel (un côte à monter....)

[invite93279690]

oui oui j'ai vu heimdall je suis un peu deux de tension aujourd'hui !!(Fait chi....)
Ok je suis tout à fait d'accord avec toi et avec coicoin d'ailleurs sur tout ce qui a ete dit...par contre ce qui me gene c'est que tu t'en est rendu compte intuitivement que ce n'etait pas "normal" d'avoir une onde evanescente incidente et je me demandais si il n'y avait pas une maniere un peu plus rigoureuse (mathematique quoi ) de montrer qu'une telle onde ne peut pas exister...par l'existence d'une aberration mathematique par exemple parce qu'en fait le seul truc qui differe d'une onde qui viendrait de -oo c'est que B2 est nul ...avec un peu de chance mathematiqument ça fait diverger une grandeur..

j'ai deja utilisé les relations dee continuité et on trouve deux expression differentes ..peut etre que ça suffit pour dire que cet exemple n'est pas possible:

(1) A2=B1
(2) -k1B1=iKA2

j'aimerai bien avoir votre avis sur le sujet merki

[Heimdall]

j'avais aussi au début exprimé les relations de continuité des fonctions et de leur dérivée... et ça m'avait en effet aussi laissé perplexe a tel point que j'avais pas voulu en parler

le truc marrant c'est qu'on a bien sûr pas fait tous les cas possible en matière d'incidence, de potentiel et d'énergie en TD, donc je me suis dit, allez t'en fait un au pif et tu vois... il a fallu que je tombe sur une merde remarque ça clarifie certaines choses tout de même.

[invitea61c15e2]

Désoler de rouvrir ce vieux sujet mais, moi en cours j'ai vu que A2=0 mais je ne comprend vraiment pas pourquoi?

[invite5161e205]

Cette formule relate l'aspect "stationnaire" de l'onde seul. Avec le temps :
phi(x,t)=A2.exp(i.k.x+i.w.t)+B 2.exp(-i.k.x+i.w.t)
à la phase theta correspond la propagation :
Pour A2
theta = k.x+w.t donc x=(theta-w.t)/k onde se propageant à gauche
Pour B2
theta = -k.x+w.t donc x=-(theta-w.t)/k onde se propageant à droite

A moins qu'elle ne soit réfléchie et revienne, l'onde a un sens de propagation donc A2 ou B2 est nul selon