Calcul d'incertitude : question

[invite183548bc]

Bonjour,

Je suis en face de quelque chose qui m'énerve lors d'un calcul de chaleur massique... Je m'explique, avec des chiffres simples.

Si j'ai , j'obtiens :une incertitude relative de 100%, dont la cause est la soustraction

Je suis dans la même situation, mais dans un calcul de chaleur massique en joules. Mon erreur relative est supérieure à ma valeur de , qui elle est très proche de la valeur théorique. Est-ce que cela vous apparait acceptable (normal) comme réponse? Je vois que c'est vraiment la soustraction de valuers rapprochées qui cause le problème. Mon instrument le moins précis est un thermomètre au degré près.

Merci
-----

[inviteb836950d]

Bonsoir

heu... quel est le problème exactement ?

[invite183548bc]

Le problème est que ça m'a l'air aberrant de présenter un résultat avec une erreur plus élevée que celui-ci.

[inviteb836950d]

Le problème est que ça m'a l'air aberrant de présenter un résultat avec une erreur plus élevée que celui-ci.

non, c'est pas aberrant...
ça arrive.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88ef51f0]

Salut,
C'est toujours le cas quand on cherche à mesure quelque chose qui est normalement nul par exemple. Même si l'incertitude relative explose, le résultat n'en reste pas moins physique et intéressant.

[inviteb0822304]

Bonjour à tous.
J'ai une question à propos des incertitudes relatives...

Voici le problème :

J'ai le diamètre d'un cylindre ( D=4,00 +/-0.01cm ) mais pour trouver son rayon, dois-je diviser aussi l'incertitude en deux ?

Merci de me répondre

[inviteb836950d]

Bonjour à tous.
J'ai une question à propos des incertitudes relatives...

Voici le problème :

J'ai le diamètre d'un cylindre ( D=4,00 +/-0.01cm ) mais pour trouver son rayon, dois-je diviser aussi l'incertitude en deux ?

Merci de me répondre

Oui, divise par deux.

[inviteb0822304]

merci beaucoup

[invite03ada560]

salut,

la réponse qu'on t'a donnée est un peu péremptoire. Ta question est intéressante (trouvé-je), et mérite un petit développement, parce qu'une réponse complète te permettra de traiter tous les cas de calculs d'incertitude plus compliqués que celui-là. Voilà comment je vois la chose ; j'invite les lecteurs savants à intervenir (hein, les matheux...).

Tu as ici la relation formelle entre le rayon R et le diamètre D : D=2R. Tu as 3 façons de voir les choses ; imagine que D et R dépendent d'une variable x


Dans ces calculs, est l'incertitude sur D, etc.

1) On différentie, sachant que pour une fonction f de x : df=f'(x)dx=(df/dx)dx : (dD/dx)dx=2(dR/dx)dx, et, "à la physicienne" (dD/dx est une fonction d'après les matheux, et dx en est une autre. Pour le physicien, les deux dx sont des quantités du même ordre de grandeur ; on les divise l'un par l'autre et le quotient est 1), on simplifie et on obtient dD=2dR ou encore



2) On y va directement (c'est comme ça qu'il faut faire en pratique dans le cas simple d'une relation affine (f(x)=ax+b) comme tu as ici) : D=2R ==> dD=2dR ==>



3) LA méthode "universelle" (pour des relations du genre U=f(u(x),v(y),w(z),r(t)...) où vous connaissez toutes les "dérivées logarithmiques" (dérivées des ln[f(x)], etc, laissez tomber ça...vous saurez le faire dans 99,999% des cas qui se présenteront en TP): prendre le logarithme népérien et dériver/x :
(ici c'est exagéré, mais évidemment, ça marche) :

D=2R ==> ln D=ln 2 + ln R ==> (dD/dx)/D=(dR/dx)/R (le facteur 2 est parti...)==>

( on a simplifié "à la physicienne" ; au passage, on voit qu'on a égalité des incertitudes relatives sur D et R)

(le facteur 2 est revenu, en réinjectant la relation de départ D=2R, c'est très fréquent de faire ça...)

Dans la PRATIQUE, pour une formule algébrique, la méthode 3) se fait comme ça : tu remplaces ln R par directement, etc ; ça revient à se souvenir que "la différentielle de ln de truc donne d(truc) sur truc". J'insiste sur le fait qu'appliquer rigoureusement la méthode 3) vous mènera au bon résultat dans tous les cas.

Je m'adresse à tous les gens qui ne maîtrisent pas ces 3 méthodes, et je sais qu'ils sont nombreux... C'est très simple, et c'est indispensable. A méditer jusqu'à plus soif...

A+!

{pour ceux qui avaient besoin de cette mise au point et qui auraient fait l'effort de tout lire et bien comprendre, dites-moi si ça vous a servi et ce qui ne vous a pas paru clair, ça me ferait plaisir!}

----------à propos du problème initial de tomj------------

Comment tu te retrouves à retrancher des chaleurs massiques, qui sont des grandeurs intensives?

[invite2cef6238]

pour ceux qui avaient besoin de cette mise au point et qui auraient fait l'effort de tout lire et bien comprendre, dites-moi si ça vous a servi et ce qui ne vous a pas paru clair, ça me ferait plaisir!

J'étais justement à la recherche d'un moyen universel pour calculer les incertitudes, parcequ'on nous en demande souvent en TP sans jamais nous donner de méthode, ou alors de nous jeter violemment à la figure que pour :


(indice de réfraction d'un prisme en fonction de son angle au sommet et de son minimum de déviation )

On a :



... ce qui est assez dur a avaler.

J'imagine qu'avec un peu de calcul on retrouve la deuxième formule grâce à ta méthode, je te remercie donc de m'avoir éclairé sur ce point

Reste un seul petit bémol : les valeurs absolues.
Exemple, si on a :


(constante de raideur d'un ressort en fonction de la masse de l'object suspendu et de l'élongation résultante )

Alors :



Et donc :



Ici on passe une fraction au logarithme : on obtient donc quelque chose de négatif, qui diminuerait donc l'imprécision : ça n'a pas de sens.
Il faut donc passer tout en valeur absolue ? (j'ai lu quelque part l'expression "on majore")

[inviteb836950d]

....Ici on passe une fraction au logarithme : on obtient donc quelque chose de négatif, qui diminuerait donc l'imprécision : ça n'a pas de sens.
Il faut donc passer tout en valeur absolue ? (j'ai lu quelque part l'expression "on majore")

en fait le passage en positif provient d'une élévation au carré...

exemple :
soit f une fonction de x et de y
on cherche à calculer l'écart-type de f qui est donc la racine carrée de la variance :






On estime donc par un développement limité :



le carré :



et ensuite la somme sur les mesures :




Et là une simplification intervient le plus souvent : si les deux variables x et y ne sont pas corrélées, il y toutes les chances que la somme sur tende vers zéro ( un coup positif un coup négatif...)

alors :




et donc :




par abus de langage on écrit :




et donc :





voici la formule qu'il faut utiliser pour la propagation des erreurs sur des variables non corrélées...

Cordialement

[invitebfbf094d]

J'étais justement à la recherche d'un moyen universel pour calculer les incertitudes, parcequ'on nous en demande souvent en TP sans jamais nous donner de méthode, ou alors de nous jeter violemment à la figure que pour :


(indice de réfraction d'un prisme en fonction de son angle au sommet et de son minimum de déviation )

L'étude de la théorie de la mesure, qui englobe la notion d'incertitude, nécessite et englobe beaucoup de choses, et qui n'est pas toujours triviale. Disons que dans ton cas, tu peux te baser sur le résultat suivant : pour une fonction f dépendant des grandeurs x et y mesurées indépendamment, l'incertitude sur f est donnée par la formule: , où et sont les incertitudes sur x et y respectivement, et qui sont en général connues. Le rapport représente ce qu'on appelle l'incertitude relative, ou encore la précision de la mesure. Tu peux généraliser cette expression à une fonction dépendant de trois grandeurs x, y et z, etc.

Dans ton exemple, la fonction f correspond à l'indice n, et x et y à A et D.

[inviteb836950d]

le carré :



et ensuite la somme sur les mesures :

Bien sûr il manquait un 2 pour le facteur croisé....

Le lecteur attentif avait rectifié de lui-même

[invite2cef6238]

Merci beaucoup pour ces précisions !

[invite03ada560]

Reste un seul petit bémol : les valeurs absolues.
Exemple, si on a :


(constante de raideur d'un ressort en fonction de la masse de l'object suspendu et de l'élongation résultante )

Alors :



Et donc :



Ici on passe une fraction au logarithme : on obtient donc quelque chose de négatif, qui diminuerait donc l'imprécision : ça n'a pas de sens.
Il faut donc passer tout en valeur absolue ? (j'ai lu quelque part l'expression "on majore")

salut coco

en effet, j'avais oublié ce point crucial . Mon exemple était mal choisi. Après avoir pris le log népérien puis dérivé, il faut tout mettre en valeur absolue puis changer tous les - en +, pour minorer l'erreur (c-à-dire lui trouver un minimum. En langage courant, on dit majorer , c-à-dire la rendre maximale, mais bon...) ; comme ça, tu es sûr, à la fin, que ton résultat se trouve entre . A condition d'être aussi certain des incertitudes que tu as utilisées pour le calcul, et ça c'est pas si facile On veut des incertitudes les plus petites possibles, donc il faut bien les choisir... Trop petites, ton résultat n'est pas bien encadré, la valeur réelle en sortira peut-être. Trop grandes, tu es sûr que ton résultat est encadré, mais ta mesure ne sert à rien!

Cette méthode dite de façon très PRATIQUE se justifie par des arguments théoriques comme ceux qu'on t'a donnés... mais qui ne sont pas opérationnels , surtout mis en regard de la simplicité de la règle à appliquer.

Sur ton exemple :




doit devenir



Au passage, il vaut mieux mesurer l'élongation L-Lo directement, de façon à n'introduire qu'on seule incertitude (par exemple 1mm si tu as 1mm d'incertitude à chaque mesure), alors que si tu mesures d'abord Lo puis L, il faudra transformer



en



soit 2mm d'incertitude au lieu d'1mm...

Finalement, tu dois écrire, étant entendu que les incertitudes sont positives, et avec le k calculé à partir des mesures :




ps : un ptit trick en latex : {} est un bloc, si tu n'as qu'un seul caractère, pas besoin de mettre les accolades. Ex : \frac a b donne et L_0 donne

En espérant t'avoir aidé,

A+!

[invite03ada560]

Juste un dernier truc :

Sur ton exemple, tu as oublié que k était positif par définition...d'où les valeurs absolues. Ou alors il fallait mettre la force mg en valeur algébrique :


a+

[invite2cef6238]

He ben : merci encore
C'est toujours intéressant d'en savoir un peu plus sur ce qu'on nous fait faire.
Maintenant j'ai une bien meilleure idée de ce que représente l'incertitude.