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Distribution canonique et boite unidimensionnelle



  1. #1
    Mataka

    Distribution canonique et boite unidimensionnelle


    ------

    Bonjour !

    J'ai un problème qui me gruge de l'intérieur depuis quelque temps alors je me tente pour voir si il y a pas un génie parmis vous qui pourrait me donner un indice à savoir comment débuter le problème.

    J'ai N tiges impénétrables et discernables de largeur b et de masse m maintenues dans une boîte unidimensionnelle de longueur L>Nb. Le point centrale d'une tige est noté par Xn, on écrit alors le potentiel comme :

    V( X(n+1) - X(n) ) = 0 si | X(n+1) - X(n) | > b
    V( X(n+1) - X(n) ) = infini si| X(n+1) - X(n) | < b

    On doit ensuite utilisé l'ensemble canonique pour obtenir la fonction de partition tel que :

    Z = [ ( mkT/(2*pi*h^2) )^1/2 ] * [ (L-Nb)^N ]/N!

    Ce qui m'intrigue beaucoup c'est le ''h'' dans la réponse, comment a-t-il pu arrivé là ? Le N! est spécial un peu, on dirait qu'on a compté des états mais comme on a un problème continue c'est assez difficile à compter. Bref je suis un peu perdu, quelqu'un peu m'aidé ?

    -----

  2. #2
    trimidi

    Re : Distribution canonique et boite unidimensionnelle

    En fait quand tu calcules z tu fais la somme de tous les états possibles d'énergie. Autrement dit, tu intègres sur tous les x et p possible, exp(-E/kT) avec E=(p^2)/(2m)+V. Tu fais ca pour chaque tige. Donc au final, tu as N variables x et N variables p dans ton intégrale.



    Cependant, ton dx et ton dp sont arbitraires. Donc le nombre de micro-états dépend de ce choix. On décide donc que pour coller à la méca quantique, on utilise la plus petite cellule dxdp=h. Cela découle de l'inégalité d'Heinsenberg. Ce qui veut dire qu'il faut que tu divises ton intégrale par h pour accéder aux nombres de micro-états. On a ainsi le même nombre d'états quantiques et d'états classique. C'est ce qu'on appelle une approche semi-classique...

    Pour le N factoriel, il découle du fait que tes tiges sont indiscernables. Autrement dit, il faut diviser par le nombre de combinaisons de N tiges pour éviter de compter 2 fois un même état.
    Ton premier terme avec du kT,

    ( je crois que tu as oublié h barre non? et un ^N aussi, je me trompe?) correspond à l'intégrale avec les p et si tu regardes bien tu as en fait la dimension de l'inverse d'une longueur d'onde qui est en fait la longueur d'onde quantique associée à une tige. Si T tend vers 0, lambda tend vers l'infini, on a des effets quantiques. Si T est élevée (température ambiante), c'est l'inverse.
    Ton deuxième terme résulte de l'intégrale de


    avec Vi défini dans ton énoncé. En fait si , (soit si les centres d'une tige i et de sa voisine sont distants d'une longueur infèrieure à b) ton exponentielle =0 (ce qui est logique ca ne correspond a aucun état). Il ne te reste plus donc que les termes avec V=0. Au final donc une tige n'a que L-nb pour se mouvoir. Vu que tu as un produit d'intégrale ca te donne la puissance N...

    Dernière modification par trimidi ; 28/10/2007 à 22h34.

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