Problème de radioactivité.

[invite5a966b85]

Bonjour a tous, j'ai un problème pour un exo sur la radioactivité que je n'arrive vraimeent pas a comprendre a partir de la question 1.c)

L'uranium 238 est à l'origne d'une famille radioactive conduisant à l'isotope stable Pb (z=82; A=206). Les désintégrations successives s'accompagnent d'émission de particules alpha ou de particules béta-. La durée de vie des noyaux intermédiaires est suffisamment courte pour que l'on puisse négliger leur présence dans les produits de la transformation. On peut donc assimiler l'ensemble à une réaction unique:
U (Z= 92; A= 238) _> Pb( z= 82; A= 206) + x alpha + y béta-

1. déterminer les coefficients x et y dans l'équation données ce-dessus.

J'ai trouvé x = 8 et y = 6

2. On considère qu'à la date t=0 e sa transformation, le minéral d'où est extrait d'uranium 238 ne contient aucun atome de plomb. On appelle Nu(o) le nombre initial de noyaux d'uranium 238, Nu(t) le nombre de noyaux d'uranium 238 présents à l'instant t et NPb(t) le nombre de noyaux de plomb 206 présents a l'instant t.
a) Sachant que Nu(t) = Nu(0)e^(-lambda t), avec lambda constante de désintégration radioactive de l'uranium 238, exprimer le temps de demi-vie de cet isotope en fonction de lambda.

J'ai trouvé t1/2 = (Ln Nu(t1/2) - Ln Nu(o))/ - lambda

b) Exprimer NPb(t) en fonction de t, lambda et Nu(t)

J'ai trouvé que NPb(t) = Nu(o) - Nu(t)
Donc, NPb(t) = Nu(t) (1/(e^(-lambda t) -1)

A partir de là par contre je suis complétement perdue.

c) En déduire l'âge t du minerai en fonction du temps de demi-vie del'uranium 238 et du rapport NPb(t) / Nu(t)
On pourra considérer que t << t1/2 et pour epsilon petit, on prend:
E ^(epsilon) envion = 1 + epsilon

(C'est quoi epsilon?)

d) A la date t, un échantillon du minerai contient 1 g d'uranium 238 et 10 mg de plomb 206. Calculer l'age du minerai.

Données: t1/2 de l'uranium = 405*10^9 années : M(u) = 238 g.mil^(-1) ; M(Pb) = 206 g .mol^(-1)

Merci d'avance.
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[marsan09]

1) C'est bon
2 ) C'est faux. Regarde comment ça a été fait en cours.
Equation de départ : Nu(t) = Nu(0)e^(-lambda t)
A l'instant particulier t1/2, le nombre de noyaux est divisé par 2, il y en a donc Nu(0)/2, d'où :
Nu(0)/2 = Nu(0)e^(-lambda t1/2)
Après simplification, prends le Ln de chaque terme et ça marche.

[invite5a966b85]

d'accord, merci, donc si je ne me trompe pas, pour la 2.a) on a t1/2= Ln2/ lambda
Mais est ce que la réponse que j'ai donnée pour la question suivante est bonne ou pas? parce que le reste en découle et je pense que c'est la aussi où je me trompe...

[invite5a966b85]

Quelqu'un peut m'aider?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite76774a8d]

Oui, par définition, t1/2 = ln2 / lambda, donc ta réponse est juste.
Ensuite pour Npb(t) = Nu(0) - Nu(t) c'est ok aussi.
Puis on a :
Npb(t) = Nu(0) - Nu(t)
Npb(t) = Nu(t)/(e^-lambda*t) - Nu(t)
Npb(t) = (e(lambda*t) - 1 ) Nu(t)

Ok ?

[invite5a966b85]

Oui merci, et est ce que vous savez ce que vex dire epsilon?

[marsan09]

epsilon signifie nombre très petit devant 1.

[marsan09]

Pas d'accord avec b)
NPb(t) = Nu0-Nu(t) remplaces Nu par sa valeur Nu(t) = Nu(0)e^(-lambda t)
pour trouver le bon résultat
NPb(t) = Nu0 (1- e^(-lambda t))
Ensuite je pense qu'il faut faire le rapport NPb(t) / Nu(t)

[invite5a966b85]

Oui mais dans ta formule justement tu n'as pas Nu(t)... c'est juste parce que l'exercice demande par rapport a Nu(t) que j'ai pensé a ça et pas par rapport a Nu(0)

[invite5a966b85]

On peut donc calculer lambda par rapport a t1/2.
Mais mon problème c'est que faire NPb(t)/Nu(t)= e^(lambda*t) -1)
Je fait comment avec ça pour obtenir t? j'avoue que là je me casse la tête dessus sans résultat...

[marsan09]

Nu(t) est une variable, il est normal d'obtenir NPb(t) en fonction du temps et de constantes. On a donc NPb(t) calculable à tout instant en fonction de t.
Le résultat du rapport est exact. NPb(t)/Nu(t)= e^(lambda*t) -1)
Il faut écrire e^(lambda*t) = 1 + NPb(t)/Nu(t)
et prendre Ln de chaque terme.

Ne regardes pas de suite.

lambda*t = Ln(1 + NPb(t)/Nu(t)) d'où t :

Je te laisse trouver la suite. Remplace lambda par son expression, laisse NPb(t) et Nu(t), mais pour l'application numérique tu les remplace par leurs quantités de matière (c'est un rapport).
J'ai trouvé 6,7Gannées, ce qui correspond à l'age du système solaire.
Bonne suite.

[invite5a966b85]

Si je t'ai bien compris, on fait t = Ln(1+NPb(t)/Nu(t)) x (t1/2/Ln(2))
avec NPb(t) = 206 et Nu(t) = 238..... parce que je n'arrive pas au même résultat que toi.

[marsan09]

Il faut calculer les quantités de matière n du Pb et U, à partir de leurs masses données.
N(t) est le nombre de noyaux.
M est la masse molaire en mol-1
Je me suis mal exprimé : remplace le rapport NPb(t)/Nu(t)) par nPb(t)/nu(t)). Ces rapports sont égaux.

[invite5a966b85]

D'accord, merci beaucoup, j'ai enfi compris, surtout que je viens de voir que j'avais pas vraiment bien compris la question... Encore merci pour ton aide!