Calcul du champ d'une couronne uniformement chargée

[The Artist]

Bonjour à tous et bon dimanche !

Je bloque fortement sur l'exercice suivant :

On considère une couronne, portion du plan (Oxy) comprise entre les cercles concentriques de centre O et de rayon a et b>a, portant la charge totale Q uniformément répartie sur sa surface. On s'intéresse au calcul du champ créé en un point M(z) de l'axe (Oz)

Par symétrie les composantes du champ suivant (Ox) et (Oy) s'annulent donc il nous reste la composante du champ selon (Oz) que l'on veut calculer.

Le champ élémentaire est par définition : .

En paramétrisant la position d'un point P de la couronne par ses coordonnée polaire , il vient et .

Ainsi le champ élémentaire d'un élément de surface dS au point M(z) est :
.

Le champ électrique totale s'obtient en faisant la somme des champs élémentaire en faisant varier et :


Je vous passe les détails de calculs mais j'arrive à :


D'où finalement :



MAIS la réponse du prof est :

Evidemment je me suis trompé quelque part mais où?? Quelle est l'erreur de mon raisonnement svp?
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[invitefa5fd80c]

Salut

Par symétrie les composantes du champ suivant (Ox) et (Oy) s'annulent donc il nous reste la composante du champ selon (Oz) que l'on veut calculer.

C'est correct.

Le champ élémentaire est par définition : .

La contribution d'un élément de surface est dans la direction : c'est la somme de ces contributions qui est dans la direction . Il faut donc prendre la projection de sur l'axe des . D'autre part, c'est habituellement plus simple de calculer le potentiel : le champ s'obtient alors en calculant le gradient du potentiel obtenu.

[The Artist]

Ah ben oui c'est évident !! Je tombe sur la formule du prof, merci Popol !