Electrostatique : calcul de E pour un cube chargé uniformément?

[invite212ab20d]

Petite question pour le pur plaisir intellectuel car je ne sais pas si il y a des applications.

Peut-on calculer analytiquement le champ électrostatique en tout point de l'espace dans le cas d'un cube chargé uniformément en volume. L'espace à l'extérieur du cube est le vide et il n'y a pas d'autre charge, ni d 'autres objets matériels que ce cube. On cherche les solutions pour les points internes et externes au cube.

Un collègue me dit que c'est possible et il est en train de vérifier ses calculs plutôt fastidieux m'a t-il dit. Quelqu'un ici pense t-il que le calcul analytique est possible pour tout point de l'espace (une fois les intégrales résolues analytiquement bien sur)?

Si oui, savez-vous si on peut-on lire ces solutions quelque part?

Merci.
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[Karibou Blanc]

Salut,

Supposons le cube de côté a, et la sphère inscrite dans le cube de rayon a/2. Notons rho la densité de charge. Et plaçons l'origine au centre du cube.
Sans aucun calcul, le théorème de Gauss nous dit que le potentiel est connu dans la sphère inscrite et varie comme rho/r ou rho/Sqrt[x²+y²+z²].
Ok ça ne répond pas complètement à la question mais c'est déjà un indice. Pour le reste du cube et l'espace extérieur, attendons le résultat de l'intégrale triple de ton ami .
A mon avis, le calcul doit pouvoir se mener à terme.

@peluche

[invite212ab20d]

Désolé Karibou banc, je ne suis pas d'accord avec ta suggestion car le champ E ne possède pas la symétrie permettant de supposer qu'il est radial en sphériques à l'intérieur de ta sphère inscrite (ce qui, il me semble est l'hypothèse que tu retiens pour t'en sortir avec Gauss).

Si le th. de Gauss est valide (comme toujours), il ne peut être utilisé pour trouver le champ E que si celui-ci possède certaines propriétés de symétrie qui ne me paraissent pas évidentes dans le cas du cube. Le flux de E (à travers la sphère) ne dépend bien que de la charge à l'intérieur de ta sphère comme tu le proposes, mais comment passes-tu du flux de E aux composantes de E en absence de symétrie suffisante comme ici? Là, si je me trompe faudra m'expliquer car je ne vois pas.

Y a-t-il d'autres suggestions? Ce problème aurait-il déjà été traité ailleurs ou est-ce une première?

PS. Karibou Blanc, prend une marche au Mont Bellevue de ma part si tu es à Sherbrooke comme l'indique ta signature?

[invite6d8e4836]

Bonjour

Patrick999 a raison. Gauss nous dit donne le flux mais c'est une intégrale de E. On ne peut obtenir E que quand celui-ci est constant c'est à dire pour une symétrie sphérique.

Je pense qu'il suffit d'intégrer sur le volume, et je ne vois pas de solution plus simple. Quand on veut connaître par exemple le champ créé par un disque, c'est ainsi que l'on procède. Il n'y a pas de raison de faire différemment pour un volume cubique: ce n'est ni plus simple, ni plus compliqué, ni plus ou moins symétrique.

Amicalement

JM

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite212ab20d]

Jean-Marie, nous sommes d'accord à part l'intégrale volumique des dE, à mon avis, pas de salut ici. Ma question est de savoir si ce problème a une solution analytique et si oui si elle a été donnée dans des bouquins ou articles. Ce serait étonnant si ce problème a une solution analytique qu'elle n'ait pas été rapportée quelque part.

Merci à tous.

[Karibou Blanc]

Salut,

Arg, vous avez raison, j'avais oublié le problème posé par l'intégrale de E.dS sur la surface sphérique dans ce cas précis. Je suis d'accord, ce produit scalaire n'est pas constant sur la surface à cause du manque de symétrie du problème. Mea culpa

Par contre on peut regarder les symétries que doit partager le champ électrique avec le cube. Le cube est invariant par rotation selon l'axe x,y ou z et d'angle (0,1,2,3,4)Pi/2. Il l'est également par réflexion selon trois plans médiateurs (le mieux serait de faire un croquis pour visualiser). On a donc E_xi(xi)= E_xi(-xi) avec xi=x,y,z. C'est déjà ça. Honnêtement, je n'ai pas de temps aujourd'hui pour me consacrer sur la suite du raisonnement. Si ça vous dit

@peluche

PS patrick999 : je ne suis plus à Sherbrooke en ce moment. Et l'Estrie va me manquer cet hiver

[invite6d8e4836]

Jean-Marie, nous sommes d'accord à part l'intégrale volumique des dE, à mon avis, pas de salut ici. Ma question est de savoir si ce problème a une solution analytique et si oui si elle a été donnée dans des bouquins ou articles. Ce serait étonnant si ce problème a une solution analytique qu'elle n'ait pas été rapportée quelque part.

Merci à tous.

Il faudrait que je regarde dans le Durand d'électrostatique, si j'y pense ce lundi (après je suis à Franckfort toute la semaine). Mais, à mon avis, le Durand donnera comme solution analytique le résultat de l'intégrale, ni plus ni moins, car il n'y a bien sûr qu'un résultat. A moins que vous ne cherchiez une formulation particulière.

JM

[invitea0046ad4]

Pas le temps de faire tout le calcul, mais je proposerais la méthode suivante :

On cherche à calculer le potentiel U(x,y,z) produit par une distribution de charge rho(x,y,z)

Etant données les symétries du problème, il faut chercher U de la forme U(x,y,z) = A(x)B(y)C(z)
De toute évidence, pour une source cubique A=B=C
Donc on cherche U(x,y,z)=D(x)D(y)D(z)
D'autre part, rho(x,y,z)=h(x)h(y)h(z), h étant une fonction créneau
On a déjà bien simplifié le problème en se ramenant à la recherche d'une fonction d'une variable : D

U doit satisfaire l'équation de Poisson. (Laplacien(U)=rho)
Ce qui donne une équation différentielle du 2ème ordre que doit satisfaire la fonction D recherchée :
D''(x)/D(x)+D''(y)/D(y)+D''(z)/D(z)=h(x)h(y)h(z)/D(x)D(y)D(z)

On se trouve à résoudre D''(x)+a(y,z)D(x) = b(y,z)h(x) par exemple

Une petite difficulté peut apparaitre, liée au fait que h n'est pas dérivable partout. Qu'à celà ne tienne, si on n'est pas familier de la théorie de distribution, il suffit de remplacer h par une fonction auxiliaire 2 fois dérivable, ressemblant à un créneau, dépendant d'un paramètre que l'on fera ensuite tendre vers l'infini : prendre une hypergaussienne par exemple, ou tant qu'à faire une fonction qui nous facilite le travail d'intégration.

Se souvenir que la solution du potentiel doit produire une décroissante en 1/r à l'infini et que le champ est nul au centre pour sélectionner la bonne solution.

Voilà, j'ai la flemme de continuer...

[invite212ab20d]

Merci à Lambda0 et Jean-Marie pour les éléments de réponse.

Que ce soit par le calcul direct à partir de la loi de Coulomb ou par l'équation de Poisson en théorie on aboutit, nous sommes d'accord. Ma question est de savoir si le résultat final a été publié sous forme analytique quelque part. Si le Durand que je n'ai pas et ne peux cousulter (car il n'est pas à la B.U. ici), donne le résultat de l'intégrale ça me convient tout à fait. Je ne cherche pas de formulation particulière car c'est purement un défi intellectuel à temps perdu avec des collègues. Ces collègues ont trouvé une solution qu'ils vérifient en ce moment alors qu' a priori je me dis que le problème, s'il est solvable, doit être résolu et publié quelque part. Ca ne signifie pas que sa résolution ne m 'intéresse pas, c'est juste une question de temps disponible.

Lambda0 nous sommes d'accord, a priori je penserais qu'utiliser la loi de Poisson est plus rapide car elle évite de calculer initialement les composantes du vecteur E. Je suis par contre très sceptique sur la forme que tu donnes au potentiel :

U(x, y, z) = A(x) x B (y) x C(z)

Peux-tu justifier ce choix qui paraît a priori naturel mais ne l'est peut-être pas tant que ça. Ca te paraît évident?

Par contre exemple, comme tu le fais remarquer, à l'infini le potentiel est en 1/r ce qui ne peut être obtenu avec la forme que tu donnes. Qu'en penses-tu?

[gatsu]

pour ma part j'ai essayé la methode directe en utilisant la loi de coulomb et je n'ai reussi à integrer que par rapport à une variable sur trois!!(honte à moi)il me reste donc encore une integrale double d'un veritable monstre dependant de 2 variables (du moins je ne vois pas por l'instant comment l'integrer)...si quelqu'un a été plus loin dans ce calcul qu'il me le fasse savoir j'essaierai avec d'avantage d'acharnement merci

[invitea0046ad4]

Effectivement, la forme que je donne ne marche pas à l'infini. Elle est bonne pour le problème intérieur.
Il faudrait plutot chercher : U(x,y,z)=N(x,y,z)/r(x,y,z)

Mais à bien y réfléchir, il y a beaucoup mieux à faire.
Il faut séparer le problème en deux :
- problème intérieur : calcul du potentiel à l'intérieur du cube
- problème extérieur : calcul du potentiel à l'extérieur du cube


Problème extérieur:
- Exprimer le développement de Taylor à l'ordre 4 d'une fonction scalaire de 3 variables
- Exprimer le potentiel U(x,y,z) sous forme d'une intégrale
- Calculer les termes du développement à l'ordre 4 de l'intégrande
- Intégrer
Indication:
Il est inutile de calculer les différentielles produisant des termes impairs qui s'éliminent à l'intégration.
La solution est de la forme :
U(x,y,z) = A/r + B.(x²y²+y²z²+z²x²)/r^5 + O(1/r^5)
avec r = Racine(x²+y²+z²)
Le développement en série converge très vite, et même au niveau des faces du cube, la précision est meilleure que 1/1000.

Problème intérieur:
- On cherche une solution de la forme U(x,y,z)=A(x)B(y)C(z)
Du fait des symétries, A=B=C, donc U(x,y,z) = A(x)A(y)A(z)
- Développement en série de Fourier:
U(x,y,z)=Somme(k,l,m, A(k,l,m)sin(kx/a)sin(ly/a)sin(mz/a))
dont on commencera par éliminer les termes impairs
- Injecter cette formule dans l'équation de Poisson pour calculer
les A(k,l,m)
- Pour résoudre l'équation différentielle, les conditions aux limites (potentiel sur les faces du cube) sont calculées au moyen de la formule du problème extérieur.

On devrait déjà un peu mieux avancer avec ça.

Intérêt pratique : à mon avis aucun, si ce n'est de tester des méthodes de résolution qui pourront servir à des problèmes utiles.

[invite6d8e4836]

Bonjour,

Monsieur Durand donne un résultat qui, pour le problème extérieur, explicite ce que dit lambda0:
- potentiel crée par une plaque (calcul standard)
- intégration sur le cube avec les propriétés de symétrie et développement en 1/R où R est la distance à l'origine. On suppose que le cube est d'arête 2a.
Durand trouve alors:

4pi*epsilon0*V=Q[1/R+7a^4/60*(3R^4-5(x^4+y^4+z^4)/R^9 +....]

Je suis comme lambda0, je ne vois pas l'intérêt pratique (en dehors de la curiosité intellectuelle).
L'idée physique qui est derrière ce développement est de dire que, très vite, le potentiel se rapproche de celui d'un sphère quand R croît, d'où cette convergence rapide.
Je reste un peu sur ma faim, car je n'aime pas les développement en série. Cependant, cette formulation est d'un grand intérêt physique.

Amicalement

JM

[invitea0046ad4]

Bonjour

- juste question de présentation: cette forme donnée par le Durand laisse des termes en x,y,z,^4 qui en fait disparaissent : il ne devrait rester que des termes croisés x^p.y^q, etc..., avec p,q toujours pairs. (à vérifier)
- la convergence de la série pour le problème intérieur ne doit pas être si bonne (à vérifier)

Sinon, pour les curieux, une autre méthode :
- calculer le potentiel pour une distribution sphérique (facile)
- calculer le potentiel pour une calotte sphérique, avec une densité de signe opposé
- superposer.

Sinon, j'ai bien l'impression qu'on devra se contenter de développement en série, à moins de tomber sur des fonctions spéciales en résolvant l'équation différentielle (type Bessel, Hankel,etc...), qui sont de toute façon définies aussi par des séries.

A+

[invite212ab20d]

Mes collègues semblent avoir abouti avec la méthode directe (intégrale triple) mais je n'ai pas le courage de vérifier ces calculs fastidieux. Si ça intéresse Gatsu (ou d'autres) je peux donner quelques éléments de réponse à l'occasion.

Je vais essayer de mettre la main sur le Durand pour comprendre la solution proposée par Jean-Marie. Malheureusement ce bouquin devient rare (par hasard j'ai trouvé un des tomes à 80 Euros chez un libraire vendant des vieux livres scientifiques à Paris mais je n'ai pas acheté)

Lambda0, soit j'ai le cerveau en compote soit il y a quelque chose qui cloche dans ton raisonnement. Peux-tu m'expliquer (lentement)comment tu peux démontrer que le potentiel à l'intérieur du cube s'obtient comme un produit de fonction des trois variables d'espace = A(x) B(y) C(z).

Si c'est évident pour tous, j'en viendrai facilement à la conclusion que j'ai le cerveau en compose et que j'ai besoin de vacances. Merci de votre aide pour y mettre de l'ordre avec un raisonnement rigoureux sur l'hypothèse de Lambda0.

Que pensez-vous de cette hypothèse de Lambda0?

PS. Je reste d'accord avec tous que ce problème est là seulement pour satisfaire une curiosité intellectuelle sans application connue (pour le moment).

[gatsu]

Mes collègues semblent avoir abouti avec la méthode directe (intégrale triple) mais je n'ai pas le courage de vérifier ces calculs fastidieux. Si ça intéresse Gatsu (ou d'autres) je peux donner quelques éléments de réponse à l'occasion.

En effet cela m'interresse et quelques elements de reponses ne seront pas de refus pour moi....si tu as le temps je suis preneur

[invitea0046ad4]

Mes collègues semblent avoir abouti avec la méthode directe (intégrale triple) mais je n'ai pas le courage de vérifier ces calculs fastidieux. Si ça intéresse Gatsu (ou d'autres) je peux donner quelques éléments de réponse à l'occasion.

Je vais essayer de mettre la main sur le Durand pour comprendre la solution proposée par Jean-Marie. Malheureusement ce bouquin devient rare (par hasard j'ai trouvé un des tomes à 80 Euros chez un libraire vendant des vieux livres scientifiques à Paris mais je n'ai pas acheté)

Lambda0, soit j'ai le cerveau en compote soit il y a quelque chose qui cloche dans ton raisonnement. Peux-tu m'expliquer (lentement)comment tu peux démontrer que le potentiel à l'intérieur du cube s'obtient comme un produit de fonction des trois variables d'espace = A(x) B(y) C(z).

Si c'est évident pour tous, j'en viendrai facilement à la conclusion que j'ai le cerveau en compose et que j'ai besoin de vacances. Merci de votre aide pour y mettre de l'ordre avec un raisonnement rigoureux sur l'hypothèse de Lambda0.

Que pensez-vous de cette hypothèse de Lambda0?

PS. Je reste d'accord avec tous que ce problème est là seulement pour satisfaire une curiosité intellectuelle sans application connue (pour le moment).

En me relisant, je m'aperçois que celà prêtait à confusion : ce sont les fonctions de la base de décomposition sont de la forme A(x)B(y)C(z) mais pas nécessairement leur combinaison.
Il est même à peu près sûr que ce n'est pas le cas.
Il s'agit d'un choix arbitraire de fonctions de décomposition justifié par les symétries du problème : la solution doit être invariante par permutations de x, y, z. Il est donc naturel de choisir une base de fonctions qui respectent ce critère car beaucoup de termes disparaissent.
La démarche était de commencer à chercher des solutions sous cette forme, et de passer à des formes plus compliquées si ça ne marche pas.

Dans tous les cas, c'est une procédure assez standard d'essayer de séparer les variables en utilisant les symétries.
La solution du problème intérieur sous la forme d'une série de fonctions A(l,m,n)sin(lx/a)sin(my/a)sin(nz/a) est connue quand le potentiel est constant sur les faces.
Le potentiel n'est pas constant ici mais la méthode est toujours utilisable (on a la même équation avec des conditions aux limites différentes) et beaucoup de termes A(l,m,n) sont nuls grâce aux symétries des conditions aux limites.

On retrouve bien ces symétries dans la formule du problème extérieur. On a des termes x²+y²+z², x²y²+y²z²+z²x² et des puissances supérieures avec des termes x^p.y^q.z^r, pairs et invariants par permutation.

Ces calculs peuvent quand même avoir un intérêt, par exemple pour connaitre le champ intérieur dû à une charge d'espace dans un composant électronique de symétrie rectangulaire (un condensateur
par exemple). Les conditions aux limites seront différentes (le potentiel est imposé par la polarisation du composant) mais la méthode est peut-être utilisable.

Sinon, un calcul direct de l'intégrale m'intéresse, s'il existe.
Finalement, ça peut quand même servir un jour.

A+