Opérateur d'échange

[Etile]

Bonjour,
Je rencontre un problème tout bête avec l'utilisation de l'opérateur d'échange en mécanique quantique.
Soit deux particules identiques de spin 1/2 confinées dans un puit de potentiel infini de largeur L.
On sait que la partie spatiale de la fonction d'onde du problème est donnée par le produit tensoriel de la partie spatiale de la molécule noté arbitrairement 1 et de la deuxième noté 2.
On a donc , où les indices n et m représentent la fonction d'onde associée respectivement aux niveaux d'énergie n et m.
Je décide de m'intéresser aux niveaux d'énergie qui ne sont pas dégénérés.
Comme les particules sont identiques et de spin demi entier, il faut que la fonction d'onde totale soit antisymétrique.
Or ici, je ne peux que symétriser la partie spatiale.
Je lui applique donc l'opérateur symétriseur S, et c'est là que mon problème arrive.
J'obtient
La fonction d'onde totale est
, ou encore avant projection en représentation (x1,x2)



On ajoute maintenant une perturbation W. La théorie des perturbations me dit que la correction au 1er ordre en énergie du ket est
Seulement maintenant, si je fais le produit scalaire j'obtiens .
Il y'a un problème, car je ne devrais obtenir qu'une seule fois ce terme avant de le calculer.

En reprenant mon expression symétrisé de , je me suis rendu compte que j'obtiendrais le bon résultat si était en fait égale à :
car les fonctions d'onde des deux particules sont orthogonales. Or, l'opérateur permutation n'est censé inversé que les états des particules, pas leur ordre non ?

Quelle est donc finalement la bonne expression de ?
Mieux, quelle est la bonne expression de ?

Merci.
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[mariposa]

Bonjour,
Je rencontre un problème tout bête avec l'utilisation de l'opérateur d'échange en mécanique quantique.
Soit deux particules identiques de spin 1/2 confinées dans un puit de potentiel infini de largeur L.
On sait que la partie spatiale de la fonction d'onde du problème est donnée par le produit tensoriel de la partie spatiale de la molécule noté arbitrairement 1 et de la deuxième noté 2.
On a donc , où les indices n et m représentent la fonction d'onde associée respectivement aux niveaux d'énergie n et m.
Je décide de m'intéresser aux niveaux d'énergie qui ne sont pas dégénérés.
Comme les particules sont identiques et de spin demi entier, il faut que la fonction d'onde totale soit antisymétrique.
Or ici, je ne peux que symétriser la partie spatiale.
Je lui applique donc l'opérateur symétriseur S, et c'est là que mon problème arrive.
J'obtient
La fonction d'onde totale est
, ou encore avant projection en représentation (x1,x2)

J'ai du mal a te suivre voilà la méthode:

1- Le principe est que les fonctions d'onde totale (spin-orbitale) de ton système a 2 particules doit être antiymétrique par échange des 2 particules.
.
2- Comme il n'y a pas de couplage spin-orbite, la fonction a 2 particules doit s'écrire comme le produit d'une fonction purement orbitale a 2 particules et d'une fonction purement de spins a 2 particules.
.
3- pour que la fonction d'onde totale soit antisymétrique tu peux prendre symétrique la partie orbitale et antisymétrique la partie de spin. Ôu encore prendre anti-symétrique la partie spatiale et symétrique la partie de spin.
.

[GillesH38a]

Pareil je comprends pas tres bien... admettons que tu parles d'états singulets uniquement donc antisymétrique de spin, effectivement la partie spatiale est symétrique.

Mais il n'y a aucune différence entre et c'est un état de l'espace produit tensoriel et l'ordre n'a aucune importance !!! et ta perturbation W, est ce que c'est une perturbation du potentiel à une particule (dans ce cas il faut faire la somme de deux termes, une pour x1 et une pour x2), ou bien un couplage entre les deux (à n'écrire qu'une fois, mais qui doit etre symétrique en x1 et x2, par exemple une répulsion électrostatique mutuelle...)???

[Etile]

L'ordre n'a pas d'importance ? Tu es sûr ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Etile]

Personne pour me confirmer que l'ordre n'a pas d'importance ? Je suis persuadé du contraire.

[Etile]

Ok j'ai compris mon "erreur".
Une fois qu'on est en en représentation {x}, tout commute et c'est logique. La correction que j'avais m'a induite en "erreur", ce qui fait que je ne comprenais pas tout.
Résultat il vaut mieux tout mettre sous forme de Kets.