Petite question de physique du solide

[labostyle]

Bonsoir a tous,

j'aimerai soliciter votre aide pour une question que je n'arrive pas à resoudre, elle est posé sous forme de petit problème,

Dans l'approximation du couplage fort, la strucure de bande des électrons dans un certain cristal est donnée par :
E(k)=-[E₁*cos(k_x.a)+E₂*cos(k_y.b)+E₃*cos(k_z.c)]

Montrez que pour une bande très peu remplie, la chaleur spécifique électronique du gaz électronique dans ce cristal est équivalente à la chaleur spécifique électronique telle calculée pour des électrons libres mais avec une masse effective m*=|detM|^1/3 ou M est le tenseur de masse effective évalué au minimum de la bande soit [M^-1 ]_ij=(1/h²)*(d²E(k))/(dk_i dk_j )

merci pour votre aide
-----

[labostyle]

personne n'a une petite idée

[yahou]

L'énergie est minimale en k=0. Si on met un électron, c'est là qu'il va se mettre. Si on en rajoute, ils vont occuper progressivement les états de k croissant (puisqu'ils ne peuvent pas tous se mettre en k=0 à cause du principe de pauli). Maintenant si la bande presque vide, tous les états occupés vont se trouver au voisinage de k=0.

Du coup on peut faire un développement limité en k de l'énergie. Le terme d'ordre 0 n'a pas de sens physique car l'énergie est définie à une constante près (on peut la supprimer en redéfinissant l'énergie : ). Le terme suivant dans le développement du cosinus est celui d'ordre 2. Or une relation de dispersion quadratique, c'est précisément ce qu'on obtient pour une particule libre. En identifiant les deux expressions, on obtient la masse effective.

En généralisant à plusieurs dimensions, on tombe sur la formule que tu cherches. Au passage ton exemple est un peu plus simple que le cas général car le tenseur de masse effective est diagonal (les trois directions sont découplées).

[labostyle]

merci yahou pour ta réponse, pourrais tu stp être un peu plus explicie lorsque tu dis que je dois remplacer l'expression de

)

plus loin (ton texte du dessus) tu dis qu'on obtient la masse effective or je dois montrer que c'est la meme chaleur spécifique, je ne comprend pas.

Merci pour ton aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[yahou]

pourrais tu stp être un peu plus explicie lorsque tu dis que je dois remplacer l'expression de

)

Je reste à 1D pour alléger l'écriture. Pour un gaz d'électrons libres, l'énergie est où est une constante de proportionalité dépendant de la masse . Pour ton solide, après développement limité, c'est où est la masse effective. Or on voudrait avoir la même relation (à part m qui devient m'). Mais c'est en fait un faux problème puisque l'énergie étant définie à une constante près, on peut la redéfinir pour faire disparaître le , sans changer les grandeurs physiques (dont la chaleur spécifique).

plus loin (ton texte du dessus) tu dis qu'on obtient la masse effective or je dois montrer que c'est la meme chaleur spécifique, je ne comprend pas.

Quand je disais qu'on obtenait la masse effective, je voulais surtout dire qu'on obtenait le même , ce qui se traduit par la possibilité de définir une masse effective.

J'ai été évasif sur la suite parce que je ne me rappelais plus exactement comment on calcule la chaleur spécifique. Et je vais rester évasif parce que c'est un peu long à expliquer dans le détail, et que tu as certainement ça quelque part dans un cours (mais si t'empêche d'avancer, dis moi où tu bloques et je ferai un effort). Quoi qu'il en soit, le point important c'est que si on a le même (et la même statistique - Fermi Dirac en l'occurence), on a la même chaleur spécifique.

Merci pour ton aide

De rien Ca fait du bien de se rafraîchir la mémoire de temps en temps.

[labostyle]

apres avoir suivi des indications, en faisant un développement limité de E autour de k en k=0,
J'abouti apres simplifiacation à

E(k)~-[E₁+E₂+E₃-(1/2)[E₁a²k² _x+E₂b²k² _y+E₃c²k² _z]]

ca a bien la forme de ce que tu as annoncé plus dont je rappelle l'expression :

où

puis la définition de la chaleur spécifique s'est la dérivé de l'énergie par rapport à la température or ici, la température n'intervient, aurais tu une idée de ce que je dois faire,

merci d'avance

[yahou]

puis la définition de la chaleur spécifique s'est la dérivé de l'énergie par rapport à la température or ici, la température n'intervient, aurais tu une idée de ce que je dois faire

Ben ça m'étonne que tu n'aies pas au moins le principe de la méthode dans tes cours. L'idée, c'est que pour avoir l'énergie totale de ton gaz d'électrons, il faut sommer sur l'ensemble des états électroniques occupés. Pour ça, il faut calculer la densité d'états dans l'espace des , et appliquer la statistique de Fermi Dirac pour savoir comment ils sont occupés en fonction de la température.

Je le répète, je peux te débloquer sur des points précis, mais je ne détaillerai pas l'ensemble du calcul : ça représente plusieurs chapitres de cours ! Je te renvoie à un cours classique, "Physique de l'état solide" de Kittel, que l'on trouve dans toutes les BU :
- le calcul de la capacité calorifique d'un gaz d'électrons est fait au chapitre 6 ("Gaz des électrons libres de Fermi")
- la densité d'état dans l'espace des pour un cristal est abordée au chapitre 7 ("Bandes d'énergies")
- le concept de masse effective est abordé au chapitre 8 ("Cristaux semi-conducteurs")

[labostyle]

salut,

j'ai une question bien ciblé, après calcul, je suis amener à calculer la densité d'état mais mon problème c'est que je ne suis plus dans le cas d'une sphère pour le calcul de cette intégrale mais dans le cas d'un ellispoide ((1/2).[k²xa²+k²yb²+k²zc²]).
Quelle changement de variable judicieux dois-je prendre pour ramener cette ellispoide à une sphere ?
merci

[yahou]

je ne suis plus dans le cas d'une sphère pour le calcul de cette intégrale mais dans le cas d'un ellispoide ((1/2).[k²xa²+k²yb²+k²zc²]).
Quelle changement de variable judicieux dois-je prendre pour ramener cette ellispoide à une sphere ?

Arf. Moi qui espérait m'en tirer à coup de grandes phrases, sans avoir à refaire de calcul !

L'ellipsoïde a pour équation , avec des demis grands axes , et .
L'équation d'une sphère de rayon c'est .

Pour passer de l'un à l'autre tu fais le changement de variables
, ,