Équation RG

[invite3f9af307]

Bonjour

Dans l'équation principale de la rélativité generale celle qui nous apprend que la courbure locale de l'espace-temps est proportionelle a la quantité locale d'energie et de matiere, le terme de gauche est par "définition" la courbure locale de l'espace-temps?

merci
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[Deedee81]

Bonjour,

Dans l'équation principale de la rélativité generale celle qui nous apprend que la courbure locale de l'espace-temps est proportionelle a la quantité locale d'energie et de matiere, le terme de gauche est par "définition" la courbure locale de l'espace-temps?

Non. Ni la courbure locale ni par définition !

Heureusement que dans le vide la courbure n'est pas nécessairement nulle sinon comment la gravité pourrait-elle se "propager" ?

La courbure complète est donnée par le tenseur de Riemann-Christoffel, un tenseur du quatrième ordre (256 composantes, mais avec les symétries, seulement 20 composantes indépendantes). Ce tenseur est donné par la géométrie différentielle.

Ensuite, l'équation d'Einstein lie localement le tenseur énergie-impulsion au tenseur d'Einstein. Celui-ci est une combinaison linéaire du tenseur de courbure de Ricci et du tenseur de courbure scalaire.

Ces deux tenseurs de courbure s'obtiennent par des opérations de trace sur le tenseur de Riemann. Par exemple, le tenseur de Ricci est symétrique et d'ordre 2. Il a 10 composantes indépendantes. Il ne fixe donc pas totalement la courbure.

Pour avoir la courbure complète il faut donc tenir compte des conditions aux limites (problème parfois bien compliqué en RG) ce qui donne une relation non locale entre courbure et matière. En particulier, même dans le vide il peut y avoir une courbure. La non localité ne veut pas dire propagation > c puisque l'équation initiale est locale, les ondes gravitationnelles se propagent bien à c. C'est la même chose qu'avec les équations de Maxwell et le champ électrique "instantané" de Coulomb.

Alors, pourquoi le tenseur d'Einstein dans la relation avec le tenseur énergie-impulsion ? T=G

Car on cherche a avoir les mêmes propriétés des deux cotés de l'équation.
- l'énergie est localement conservée => G doit être sans divergence
- On souhaite (pour des raisons techniques) que G dépende au plus des dérivées secondes de la métrique
- Pour les champs faibles statiques et des faibles vitesses des corps, on doit retrouver l'équation de Poisson de la gravité newtonienne

Le tenseur le plus simple obéissant à ça est le tenseur d'Einstein.

[invite3f9af307]

Tu ma retourner le cerveau la! Que dire? j'ai franchement rien compris..
Je vais essayer de faire plus simple, quel est en relativité generale la représentation mathématique d'une courbure (quelquonc) de l'espace-temps?

Merci

[invitef51527eb]

Bonjour,

quel est en relativité generale la représentation mathématique d'une courbure (quelquonc) de l'espace-temps?

Ca ne serait pas l'équation des géodésiques ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Bonjour,

Ca ne serait pas l'équation des géodésiques ?

Pas vraiment. Ca, ça donne les géodésiques en fonction de la courbure. La description de la courbure, c'est le tenseur de Riemann. On peut bien sûr décrire la géométrie avec les géodésiques, mais ça ne répondrait pas vraiment à la question initiale de Hal.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_de_Riemann

Hal, désolé, mais la courbure d'un espace quelconque, ce n'est pas simple et je doute que le lien ci-dessus soit plus clair que ce que j'ai écrit

Un article plus général et probablement plus aisé à lire est :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbure
mais, évidemment, pour aller dans le détail il faut se taper les trucs plus complexes.

Ils donnent aussi dans ces pages un lien très intéressant mais en anglais, une explication géométrique et très pédagogique des tenseurs de courbure de la relativité générale :
http://arxiv.org/abs/gr-qc/0401099
Mais ça reste du très haut niveau.

[invite3f9af307]

Bonjour,


Hal, désolé, mais la courbure d'un espace quelconque, ce n'est pas simple et je doute que le lien ci-dessus soit plus clair que ce que j'ai écrit

salut
Se n'est pas un espace quelconque mais celui de la rélativité generale (espace-temps), c'est la courbure qui est quelquonque, je veux dire, peu importe la quantité de masse qui en est responsable, il s'agit bien du meme mécanisme de "courbure", du photon au astres?

Merci pour les liens

[Deedee81]

Bonjour,

Se n'est pas un espace quelconque mais celui de la rélativité generale (espace-temps), c'est la courbure qui est quelquonque,

Oui, c'est ce que je voulais dire aussi. Mon "espace" quelconque est en effet abusif.

je veux dire, peu importe la quantité de masse qui en est responsable, il s'agit bien du meme mécanisme de "courbure", du photon au astres?

Oui, tout à fait.