Centrale hydro-électrique

[invitee7d78c04]

Bonjour, voilà j'ai un exercice à faire pour mardi mais j'ai un gros blocage..

Crée par un barage, un lac artificiel de contenance V=1.2x10⁹ m³ d'eau est à l'altitude moyenne zA=1250 m. Au pied de ce barrage, à l'altitude zB=1020m, une usine hydroélectrique est alimenté par la retenue d'eau. Le débit de l'eau actionnant les turbines est D=100 m³/sLes pertes d'energie par frottements sont dans ce cas négligées.

Les altitudes sont prise en compte à partir du niveau de la mer pris comme reférence pr l'energie potentielle.


1/ Déterminer l'energie potentielle moyenne de l'eau en réserve dans le lac.
Donc là deja je voulais appliquer la formule E=Mgz mais je n'ai pas de masse..
Donc j'ai pensée prendre D=100 et faire 100x(za-zB) soit 100x(1250-1020)
2/ Quelle masse d"eau arrive aux turbines pendant 10s ?
Comme 100m³ arrive en 1s j'ai 1000m³ en 10s mais c'est un volume.. donc il me semble que 1m³= 1000kg donc 1000m³x1000kg=1000000 kg soit 10⁶
3/ Calculer la variation d'énergie potentielle de cette masse d"eau entre son départ du barrage et son arrivée à l'usine.
Je ne sais pas faire ..
4/ Justifier que pour cette masse d'eau : Ec + Ep = Cte
Ep= la valeur en 1 si elle est exacte + Ec = 1/2Mvg²=1/2x10⁶x mais j'ai pas de vitesse ..
5/ On admet que l'energie cinétique de l'eau a l'altitude zA est nulle
Déterminer l'énergie cinétique de la masse de l"eau à l'entrée des turbines à l'altitude zB
pas assez de donée pour la suite
En déduire la vitesse de cette masse.
6/ En considérant que la vitesse de l"eau à la sortie de la turbine est négligeable devant sa vitesse de départ, calculer le travail fourni par la masse d'eau à la turbine.
Quelle est sa puissance ?
7/ L'usine hydro-électrique transforme 90 % de cette puissance en puissance électrique. Calculer la puissance électrique ainsi fourni au réseau.
J'aimerais bien votre aide sur les 1ere questions afin que je continue
Merci d'avance.
Bonne soirée.
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[YBaCuO]

Bonsoir,

1/ Déterminer l'energie potentielle moyenne de l'eau en réserve dans le lac.
Donc là deja je voulais appliquer la formule E=Mgz mais je n'ai pas de masse..

Il y a de l'idée, mais pourquoi ne pas avoir suivi le raisonnement que tu fais pour la question 2?

Ensuite la formule est incomplète, en effet imagine ce barrage avec la vanne à l'entrée de le turbine fermée. Quel est l'énergie potentielle d'un mètre cube d'eau à la surface du lac amont, devant la vanne fermé et aux pieds du barrage?

[invitee7d78c04]

Merci pour ta réponse.
J'ai donc 1m³ pour 1000 kg dans le cas e l'eau donc 100m³ = 100000kg donc 100000 x 9.81 x (za-zb )
C'est cà ??

[YBaCuO]

Là tu viens de calculer la puissance et non l'énergie.

Tu cherche à appliquer la formule E=Mgz mais comme tu le dis tu ne connais pas la masse. Rien ne t'empêche de la calculer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee7d78c04]

Ma formule de puissance est P = w(travail) / t

Là pourtant j'ai une masse en faisant sa . Ou voit tu un problème ?
Tu as peut etre raison mais je ne comprends pas

[YBaCuO]

L'énergie potentielle de l'eau en réserve dans le lac se calcul par E=Mgz avec M la masse d'eau dans le réservoir.
A toi de calculer M.

[inviteb3b3d109]

haaa oui on sait que dans le lac le volume d'eau est de 1.2x10⁹m3 donc 1m³= 1000kg d'eau donc je fais 1.2x10⁹x1000 pour avoir ma masse.
Ensuite je prend cette masse x 9.81 x z=1250 car on prend que l'altitude moyenne et non l'altitude du pied du barrage ?

[YBaCuO]

Dans le problème on parle d'altitude moyenne et d'énergie potentielle moyenne, cette approche n'est pas très intuitif mais essaye de coller au programme du lycée. Pour que le raisonnement soit juste il faut faire un certain nombre d'hypothèses qui ne sont pas toujours mentionnées (par exemple pour la question 3). Je crains que les élèves n'arrivent à des résultats justes avec des raisonnements faux ou sans saisir certaines notions comme cette énergie potentielle moyenne.

Je vais essayer d'apporter de la clarté.

L'énergie potentielle moyenne correspond au travail qu'il faut fournir pour remplir le réservoir en puisant l'eau au niveau de la mer (car elle est prise comme référence d'énergie potentielle).

Pour monter un seau d'1L d'eau à une altitude z il faut fournir un travail.
Ce travail correspond à la force qu'il faut appliquer pour le soulever multipliée par la distance sur laquelle travail cette force.
avec et la masse volumique de l'eau fois le volume.
Donc l'énergie potentielle de litres d'eau à l'altitude z est .


Le point de détail est qu'au fur et à mesure que l'on rempli le réservoir le niveau de l'eau s'élève, il faut donc élever l'eau plus haut donc fournir du travail supplémentaire.
Quelle est alors l'énergie potentielle du réservoir?
Faut-il prendre l'altitude de la surface de l'eau ou l'altitude du fond du réservoir?
En réalité c'est quelque part entre les deux à l'altitude du centre de masse de ce volume d'eau qui est . Il se trouve que correspond à l'altitude de la surface de l'eau lorsque le réservoir est rempli à moitié (c'est à dire à V/2 et non à la moitié de la profondeur).

Donc

A la question 3 on nous demande de calculer la variation d'énergie potentielle de 1000 m3. On connais l'énergie potentielle à l'arrivée qui est celle de 1000m3 d'eau à l'altitude .

Quelle énergie potentielle faut-il prendre au départ?
En regardant de loin on pourrait se dire:
Lorsque 1000 m3 d'eau sortent du réservoir, alors le niveau de celui-ci baisse on peut donc dire que ces 1000m3 viennent de la surface il faut prendre alors comme altitude (qui n'est pas donnée dans l'énoncé).
D'un autre point de vue en se mettant près de la turbine on se dit:
Les 1000m3 d'eau viennent du point du réservoir le plus proche de la turbine c'est à dire au fond du réservoir, ce point le plus bas est à !

Où est l'erreur?
En fait les deux approches se valent, mais dans le second cas intervient de nouvelles forces: les forces de pressions. Il faut prendre en compte alors l'énergie potentielle des forces de pression.
Cette énergie potentielle est égale à .
De plus la pression est égale au poids de la colonne d'eau de hauteur h . Cette relation n'est valable que lorsque les fluides sont immobiles. (On ne prends pas en compte la pression atmosphérique qui se simplifie dans les calculs en première approximation)

Donc en réalité l'énergie potentielle de litres d'eau à l'altitude est: .
Sachant que on a alors quelque soit .
On vérifie alors que nos deux points de vue étaient bien équivalent, l'énergie potentielle dépend seulement de l'altitude de la surface de l'eau.

Pour en revenir à notre question 3 alors il faudrait connaître l'altitude de la surface de l'eau. Cette altitude on ne la connais que si le réservoir est à moitié rempli (ou vide). Pour pouvoir avancer dans les calculs il faut faire l'hypothèse que la profondeur du réservoir est faible par rapport à la différence d'altitude (). Cela a pour conséquence qu'il est étendu en surface (pour conserver le même volume). On peut alors considérer la surface de l'eau égale à .

Lorsque le fluide n'est pas immobile comme dans une conduite forcée, la pression ne vérifie plus alors l'expression écrite plus haut.
Elle peut être déterminé en utilisant la conservation de l'énergie mécanique.

Sachant qu'à la surface on peut supposer la vitesse du fluide nulle, on connait alors l'énergie mécanique. En connaissant la vitesse d'écoulement du fluide et en utilisant la conservation de l'énergie mécanique, on peut calculer dans la conduite forcée.

Au niveau de la turbine (du type Pelton pour mon exemple), on veut transformer intégralement la différence d'énergie potentielle en énergie cinétique, on impose alors une pression nulle (en réalité la pression atmosphérique mais comme on ne la pas prise en compte plus haut elle n'intervient pas ici). On peut alors calculer la vitesse du fluide qui "frappe" les augets de la turbine Pelton par conservation de l'énergie mécanique.


J'espère que mon explication n'est pas trop compliquée.