Calcul d'incertitude sur une mesure

[invitef99e3ebc]

Bonjour,

Tout d'abord désolé si la question a été abordée plusieurs fois déjà, mais j'ai quelques problèmes concernant le calcul d'incertitudes sur une mesure.
Une petite explication de la situation déjà, ça aidera surement à comprendre. En cours de Transferts Thermiques (Sciences de la Matière, L3), on a réalisé un Tp qui permettait de voir l'évolution de la température dans un mur à l'aide de la méthode de l'analogie électrique. Cette méthode consiste à appliquer un potentiel Max et min de part et d'autre d'une feuille de graphite pour modéliser un mur avec ses zones convectives de chaque côté, de prendre les mesure de tensions le long de cette feuille, et de remonter à la température par la formule :

(Tp - Tm) / (TM - Tm) = (Vp - Vm) / (VM - Vm)

où m représente la valeur minimale et M la valeur maximale, Tp et Vp étant les valeurs mesurées.

Je tente une petite représentation du problème avec les moyens du bords :

Potentiel min appliqué | <------zone convective 1-------><------zone de conduction (mur)--------><--------zone convective 2--------> | Potentiel max appliqué

( Si c'est pas clair, me préciser, j'essaierais de faire un truc mieux sous Photoshop )

On nous donne les valeurs Tm = 15°C et TM = 25°C
Expérimentalement, on a eu les valeurs Vm = 0.01V et VM = 19.95V

On nous demande de trouver les valeurs des températures sur les bords du mur à l'aide de nos mesures. Jusque là pas de problème, le calcul est facile. Ce qui pose problème, c'est qu'on doit tenir compte des incertitudes de mesure dans nos résultats. Pour toute explication on nous a donné la formule donnée sur la page de wikipedia :



On nous a précisé qu'on pouvait utiliser la méthode de la différentielle logarithmique si on n'arrivait pas à s'en sortir avec la différentielle totale exacte.
Le problème c'est qu'on a jamais utilisé ces formules, et qu'on a aucune idée de comment les utiliser, malgré le fait qu'on ai cherché différents exemples sur le net.
On a juste estimé qu'on avait une incertitude de 0.05 mm sur notre position dans le mur à chaque mesure, et une incertitude de 0.02 V sur chaque mesure du potentiel.

Voilà, si une bonne âme pouvait prendre quelques minutes pour essayer de m'expliquer, merci d'avance à elle
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[invite30d70963]

Si j'ai bien compris, il te faut calculer l'incertitude sur Tp. D'après ta formule, on a
Tp = ( Vp - Vm ) ( T_M - Tm ) / ( V_M - Vm ). On va maintenant utiliser la formule qui t'est donnée. Ici, Tp est fonction des variables ( Vp, Vm, V_M, Tm et T_M. Or tu n'as a priori pas d'incertitudes sur Vm, V_M, Tm et T_M. Il te suffit donc de calculer la dérivée partielle de Tp par rapport à Vp, et de la multiplier par l'incertitude sur Vp. Je te laisse le soin de faire le calcul de la dérivée.

[invite55d30a70]

On nous a précisé qu'on pouvait utiliser la méthode de la différentielle logarithmique si on n'arrivait pas à s'en sortir avec la différentielle totale exacte.
Le problème c'est qu'on a jamais utilisé ces formules, et qu'on a aucune idée de comment les utiliser, malgré le fait qu'on ai cherché différents exemples sur le net.

Des choses qui sont vues au 1er semestre de L1 au plus tard et plus tôt. Il est un peu tard de se poser la question en L3...
Normalement en 3 années tu as eu le temps de calculer des milliers d'incertitudes en Tp...

Et calculer une différentielle totale exacte c'est de niveau L1, début L2 au plus tard de chez tard.

Bon je vais t'expliquer rapidement pour la méthode de la différentielle exacte :
Cela consiste à calculer une différentielle exacte totale comme d'habitude en additionnant les dérivées partielles. Normalement ça devrait être quelque chose d'habituel pour un L2 déjà.



Tu extraits sachant que c'est sur lui que tu désires obtenir l'incertitude sur la mesure :



Tu passes à la différentielle totale exacte :



Normalement tu devrais savoir calculer des dérivées partielles non ? C'est dériver comme d'habitude mais en prenant toutes les autres variables comme constantes. Par exemple la première dérivée partielle consiste à dériver par rapport à la variable en prenant constants.
Tu calcules donc toutes les dérivées partielles puis tu remplaces dans la ligne plus haut. Tu n'auras plus qu'à remplacer Toutes les valeurs par les valeurs expérimentales et tous les par les incertitudes. Mais sachant que n'ont aucune incertitude car les valeurs sont données et non mesurées alors tu peux remplacer par 0.
Pour déterminer les incertitudes sur tes mesures, par exemple tu peux dire que sur cette mesure il est possible que je me sois trompé de 1 ou 2 degrés, celle-ci de 0,5 voir 1 V etc...

Voilà.

[invitef99e3ebc]

Des choses qui sont vues au 1er semestre de L1 au plus tard et plus tôt. Il est un peu tard de se poser la question en L3...
Normalement en 3 années tu as eu le temps de calculer des milliers d'incertitudes en Tp...

Et calculer une différentielle totale exacte c'est de niveau L1, début L2 au plus tard de chez tard.

Sauf que la notion même de différentielle totale exacte nous a été introduite en L2 (cours de Thermodynamique 1 pour être plus précis) pour la première fois.
Et la seule chose qu'on ai faite correspondant à un calcul d'incertitude a été faite lors d'un TP de chimie de S1 où on nous mettait tous les calculs à effectuer en fonction de l'incertitude de la verrerie. La seule autre chose qu'on ai faite consistant à encadrer une mesure est lié à des lois de probabilités sur une série de mesure.
Donc désolé d'être à la masse, mais apparemment c'est le cas de toute notre promo (vu qu'on est tous confronté au même problème). La preuve est que le chargé de TP a envoyé aux groupes se chargeant de l'autre expérience de ce TP un document leur machant tout le travail des calculs d'incertitude pour leurs mesures. Au bout d'un moment, j'veux bien connaître toute la théorie qu'on veut, mais sans exemple pratique, j'arrive pas à gamberger assez pour m'en sortir, désolé.


Bref, tout ça pour dire que je vous remercie pour les explications, c'est en effet beaucoup plus clair maintenant. On avait surtout quelques problèmes puisqu'on ne savait pas ce que représentaient , en sachant que c'est l'incertitude qu'on a l'habitude d'appeler delta_variable, ça passe en effet beaucoup mieux.
Par contre, une question que l'on se pose encore. On avait considéré qu'on avait une incertitude concernant l'endroit de la mesure en fait (la variation de température étant linéaire sur la "profondeur" du mur), puisqu'on réalisait une mesure tous les 1 cm, mais qu'on ne peut pas être absolument sûr de la position (à 0.05 mm près donc). On ne comptabilise pas cette incertitude dans le calcul donc ?

Merci encore pour les réponses =)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite55d30a70]

Sauf que la notion même de différentielle totale exacte nous a été introduite en L2 (cours de Thermodynamique 1 pour être plus précis) pour la première fois.
Et la seule chose qu'on ai faite correspondant à un calcul d'incertitude a été faite lors d'un TP de chimie de S1 où on nous mettait tous les calculs à effectuer en fonction de l'incertitude de la verrerie. La seule autre chose qu'on ai faite consistant à encadrer une mesure est lié à des lois de probabilités sur une série de mesure.

Tu ne fais plus de maths ?
Tu n'as pas vu les études de fonctions à plusieurs variables ?

Bon j'en reviens à ton problème.

Par contre ensuite si c'est l'incertitude relative que tu souhaites, c'est à dire alors il suffit de remplacer tous les par et en passant toutes les dérivées partielles en valeurs absolues.

Au final tu pourras écrire ton résultat sous la forme :

On avait considéré qu'on avait une incertitude concernant l'endroit de la mesure en fait (la variation de température étant linéaire sur la "profondeur" du mur), puisqu'on réalisait une mesure tous les 1 cm, mais qu'on ne peut pas être absolument sûr de la position (à 0.05 mm près donc). On ne comptabilise pas cette incertitude dans le calcul donc ?

Tu dis tout simplement que c'est la mesure de la température qui en prend un coup. Si vous avez des incertitudes sur l'endroit de la mesure alors la températeure aura une incertitude de... Ca dépend comment variait la température en fonction de la position. Si en bougeant légèrement cela fesait varier beaucoup ou non la température.

[invitef99e3ebc]

Désolé pour le double post.

J'ai donc fait les calculs comme expliqué (sachant que j'ai rentré le calcul de la dérivée dans la Ti-89, d'une part pour éviter d'me planter, et d'autre part parcequ'elle fait peur x) ), avec pour valeurs :

Tm = 15°C
TM = 25°C
Vm = 0.01 V
VM = 19.95 V
Vp = 16.66°C (ce qu'on a obtenu expérimentalement pour la première paroi du mur)

Il se trouve que je tombe sur ça comme équation :

dTp = -0.082746*dVm - 0.418759*dVM + 0.501505*dVp

J'ai pris dVm=dVM=dVp=0.01V

Or il se trouve que 0.082746 + 0.418759 = 0.501505, et donc on trouve dTp=0.
Je fais confiance à ma calculette pour la dérivée, j'en déduis que j'ai dû faire une erreur quelque part, à moins que l'incertitude sur Vm et VM n'entre pas en compte, ce qui me semblerait bizarre néanmoins vu que nous l'avons nous même mesuré ?


EDIT : Croisement de post Tidus1188 x)
Donc effectivement ça doit résoudre mon problème, il suffit que je prenne la valeur absolue de mes dérivées partielles.

Merci beaucoup pour les précisions en tout cas, et comme j'fais aucune confiance à ma tête j'vais m'imprimer tout ça pour éviter d'avoir à re-embêter du monde avec ça plus tard

[invite55d30a70]

Et par contre j'ai dis incertitude relative au lieu d'incertitude absolue. C'est bien incertitude absolue le .

Voilà de rien !

Ps : Les dérivées sont extrèmement simples vu qu'à chaque fois les 3/4 de la formule reste constant.
Donc essaye tout de même.