Pression au cœur d'une planète

[invitea0f03ccc]

Bonjour,
j'essaye de construire un code de structure interne planétaire (basic), et j'ai petit souci avec la pression: l'équation d'etat que j'utilise est

P=integrale(rho*g) dr (de 0 a Rp - le rayon de la planète)

- J'ai deja calculé g(r) , et en appliquant cette formule, j'obtient une pression nulle au centre de la planete (vu que g est nulle au centre), c'est evidemment anormal, mais je ne comprend pas mon erreur.

- De plus en faisant l'equation en dimension, je trouve que P s'exprime en kg.m.s-2, qui es l'unité d'une force (N), il me semble du moins... alors que le bar s'exprime en N.m-2...

mon calcul intégral me donne (exemple pour le noyau, avec une densité constante, une profondeur en m et un g en m.s-2):

P_noy=rho_noy x (R_planete-r) x 1000 x g(r)

Quelqu'un aurait-il une solution s'il vous plait?
merci d'avance
-----

[inviteaa85155c]

Il faut intégrer sur des "pelures d'oignon" : des sphères d'épaisseur dr, et situées à r du centre.
Tu dois avoir un terme en 4pi r² dr (volume de la pelure d'oignon)

[invitea0f03ccc]

Merci , il me sembait bien qu'il me manquait un terme de surface , donc je vais modifier ma formule comme ceci :

P_noy = rho_noy x (R_planete - r) x 1000 x g(r) / ( 4 * Pi * r²)

je pense que c'est ce que vous vouliez dire?

[invitea0f03ccc]

euh non, plutôt:

P_noy = rho_noy x (R_planete - r)^2 x 1000 x g(r) / ( 4/3 * Pi * r^3)

?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea0f03ccc]

ça ne me donne toujours pas le bonne reponse... quelqu'un peut-il éclaircir mes idées s'il vous plait?

[inviteaa85155c]

Je viens de regarder, t'étais pas si loin de la solution, sauf qu'il faut considérer que g dépend de r dans ton intégrale.

Pression (r) = intégrale de r à R de (rho(r) 4pi r² dr g(r) / (4pi r²))

donc Pression (r) = intégrale de r à R de (rho(r) g(r) dr)

Le problème là dedans c'est que rho n'est pas homogène, faut trouver une loi qui la décrive grossièrement en fonction de la profondeur. Mais bon pourquoi pas considérer que rho est constant (comme si la terre était uniquement un fluide incompressible comme l'eau)

On retrouve bien un terme en rho g z, qui est bien une pression (cf hydrostatique)

je pense que c'est ce que vous vouliez dire?

je suis tout seul !

[inviteaa85155c]

pour g(r), ce terme ne dépend que de la boule située en dessous de l'altitude r (théorème de gauss, cf le sujet voisin sur "la nature du temps")

g(r) = G m(r)/r²

avec, en considérant rho constante... m(r) = (4/3 pi r³) rho
si tu considère rho variable, il faut intégrer pour trouver m(r)

[invitea0f03ccc]

ok merci, je dois donc rajouter g dans l'integrale:

P_noy=rho_noy x (R_planete-r) x 1000 x (g(r)^2)/2

[invitea0f03ccc]

je test ça et te redit

[invitea0f03ccc]

Cette fois je suis completement perdu !
Je pense avoir fait ce qut tu m'a dit... mais là ???
Je te met mon code (mathematica), j'ai 3 enveloppes (noyau=met, manteau=rock, glace=ice - c'est une planete-océan=un grosse comète),

P = Table[
If[r <= Rmet,
P1 = (Rice - r)*1000*
dmet*(G*(4*Pi*dmet*((r*1000)^3)/3)/(r*1000)^2)^2/2,
If[Rmet < r <= Rrock,
P2 = (Rice - r)*1000*
drock*(G*(Mmet +
4*Pi*drock*((r*1000)^3 - (Rmet*1000)^3)/
3)/(r*1000)^2)^2/2,
P3 = (Rice - r)*1000*
dice*(G*(Mmet + Mrock +
4*Pi*dice*((r*1000)^3 - (Rrock*1000)^3)/
3)/(r*1000)^2)^2/2]], {r, 1, Rice}];
=>je commence par mettre le rayon en profondeur (en mètres), multiplié par la densité (cste) de mon enveloppe, * la gravité qui dépend de mon rayon, de 1 à Rice (le rayon de ma planète)

et quand je plot ça j'ai un résultat en 10^13 bar??? environ 3*10^9 fois trop grand...
j'ai essayé plusieurs méthode de codage et j'ai toujours la meme "enorme" erreur !
Est-ce que tu vois d'où ça vient?
Merci

[invitea0f03ccc]

(le g(r) est bon, c'est pile poil ce que je dois trouver)

[inviteaa85155c]

J'obtiens :
P(r) = (2/3) pi G rho² (R²-r²)

En supposant rho constant avec l'altitude r

J'ai vérifié l'homogénéité, ca colle.

Si tu considères trois enveloppes différentes, avec un rho pour chacune, il suffit de calculer séparément pour chaque secteur, et de sommer ce qu'il y a au dessus de l'altitude considérée

[invitea0f03ccc]

super !!
La formule que tu m' donné donne un bon resultat (a un facteur 2 près= ce serait pas 4/3, aulieu de 2/3 ?)
Par contre je ne comprend pas comment tu l'obtient... es-tu parti de:

P(r) = Int[rho.g(r)]dr ??

en tout cas merci beaucoup

[inviteaa85155c]

super !!
La formule que tu m' donné donne un bon resultat (a un facteur 2 près= ce serait pas 4/3, aulieu de 2/3 ?)

A priori non, il y a un facteur 2 au dénominateur qui intervient quand on intègre r dr.

Mais d'où tiens-tu ton résultat ? Tu sais comment il a été calculé ? Parce que je ne crois pas que considérer rho constant mène à un résultat exact...
Si on a l'ordre de grandeur c'est déjà pas mal

Par contre je ne comprend pas comment tu l'obtient... es-tu parti de:

P(r) = Int[rho.g(r)]dr ??

je suis parti d'un peu plus haut (cf message 6) :


Une pelure d'oignon est une sphère à laquelle on affecte une épaisseur infinitésimale dr. Comme ça on peut considérer que g est constant à l'intérieur.
Le volume de la pelure fait : 4 pi r² dr
donc sa masse fait 4 pi r² dr rho
Le poids de cette pelure s'applique sur la sphère de surface 4 pi r²
une pression c'est un poids (ou force) / une surface
On somme les pressions apportées par chaque "pelure d'oignon", d'où la formule du message 6 :

Pression (r) = intégrale de r à R de (rho(r) 4pi r² dr g(r) / (4pi r²))

qui se simplifie pour donner ce que t'as écrit

en tout cas merci beaucoup

de nada !