Chaîne avec des ressorts différents

[Mars Epiphone]

Bonjour à tous.
Petite question simple ^^. J'ai un exo ou je dois étudier la vibration d'atomes , assimilés à une chaine de ressort
ça ressemble à peu près à ça

0/\/\0/\/\/\/\0/\/\0/\/\/\/\0/\/\0

Donc une maille composé de deux atomes identiques et de même masse, mais la le paramètre de maille est a, et la distance entre les atomes d'une même maille est d et a/2>d.
la constante du petit resort est K et celle du grand est G.

Donc je fais mon exo et tou, et là on me demande de donner sous quelle forme est la solution.
Avec des atomes identiques, une constante identique et une distance identique j'aurais mis:


et le déplacement d'un atome et la pulsation.
n est le nuémro de l'atome considéré. Bon que les atomes soient différents n'est pas un problème, c'est surtout que la distance ne soit pas la même, a et d différent, et je sais pas trop comment faire là.

si quelqu'un peut m'aider merci (c'est juste ça je pense )
-----

[obi76]

Ben une idée serai de ne considérer qu'un atome sur 2, et tu tires l'équation différentielle dans ce cas (à vérifier mais je pense que la loi de composition des ressorts te rammènerra à un problème ou tu as un atome de masse fictive à déterminer séparés par des ressorts de longueurs égales et de constante de raideur données par 1/k' = 1/K + 1/G).

Essaye déjà ça, on sait jamais ça simplifierai grandement la chose

[Mars Epiphone]

Ouai mais vu qu'il faut que je calcule l'équation du mouvement pour chaque atome de la maille, et en considérant uniquement les intéractionsavec les plus proches voisins..bah je peux pas , sinon je sais pas si l'astuce des masses réduites, si ça aurait été plus simple ...

[invite37ad095b]

Bonjour à tous.
Petite question simple ^^. J'ai un exo ou je dois étudier la vibration d'atomes , assimilés à une chaine de ressort
ça ressemble à peu près à ça

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Donc une maille composé de deux atomes identiques et de même masse, mais la le paramètre de maille est a, et la distance entre les atomes d'une même maille est d et a/2>d.
la constante du petit resort est K et celle du grand est G.

Donc je fais mon exo et tou, et là on me demande de donner sous quelle forme est la solution.
Avec des atomes identiques, une constante identique et une distance identique j'aurais mis:


et le déplacement d'un atome et la pulsation.
n est le nuémro de l'atome considéré. Bon que les atomes soient différents n'est pas un problème, c'est surtout que la distance ne soit pas la même, a et d différent, et je sais pas trop comment faire là.

si quelqu'un peut m'aider merci (c'est juste ça je pense )

Bonsoir,

et en posant :




est ce qu'on y arrive.
En ce qui me concerne, je bloque sur le calcul, mais je suis un peu rouillé.
Partagez vos résultats.
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mars Epiphone]

Bon alors commençons par le début (vous me direz commencer par la fin...): je vais d'abord recopier le sujet:

La maille élémentaire d'un cristal unidimensionl contient deux atomes identiques (de masse M) par maille, en x=0 et x=d. le paramètre de maille est a tel que a/2>d.
On considère que les atomes peuvent osciller autour de leur position d'équilibre uniquement le lonf de la chaine, de longueur N*a (N est le nombre de mailles élémentaires).Pour chaque atome, on ne considérera que les intéractions avec ses plus proches voisins distants de d et de a-d. Les forces de rappel associés seront respectivement modélisés par les oconstantes de rappel K et G. sachant que deux atomes distants de d intéragissent plus fortement que deux atomes distant de a-d, posons K>G.

1)faire une figure schématique du cristal.

2qu'est ce qu'un phonon ?

3)A quels types de phonons doit on s'attendre ? combien y at'il de branches ? Combien y at-il de phonons dans chaque branche?

4)Ecrire les equations du mouvement des deux types d'atomes de la maille.

5)Quelle est la forme analytique des solutions de ces equations?

6) en déduire la relation de dispersion

7)Tracer qualiquativement la courbe de dispersion dans la première zone de brillouin et commenter celle ci .

[invite37ad095b]

Il faut remplacer mon "a" par "a-d"et certains "d" par "a"

[Mars Epiphone]

1) le Schéma ça doit être ce qui est dans mon 1er post
2) J'ai regardé dans le Kittel (bouquin de cours sur la physique du solide) et si vous voulez vive wiki ^^
3) ça se complique
bon on donne une numéro aux atomes.
1er atome de la n-ième maille est et le deuxième
donc



et les ---- c'est les ressorts, et les G et K c'est juste pour indiquer les constantes de raideurs.
(pfiou le latex c'est bien beau mais je me suis bien fais chier pour écrire ça !)

on note réspéctivement et les déplacements des atomes et .

Donc si on utilise la somme des force = masse fois accélération, donc somme des forces de rappel des ressort autour =masse M fois dérivé seconde du déplacement, on trouve 2 équations.




Voila pour l'instant ou je suis arrivé avec une certaine certitude que ce soit juste, maintenant ^^ j'attaque la suite

[invite37ad095b]

il y a une petite erreur dans la deuxième ligne

[Mars Epiphone]

ouuups oui , argh je peux plus éditer !..bon on réécris !

Je crois que là c'est bon, (euuh accésoirement, personne ne connaitrait un plugin MSN pour écrire en Latex dans une conversation?)

[Mars Epiphone]

ça vous semble juste des solutions du type:



note au passeg, je suis pas sur de savoir s'il faut prendre (a-d) ou (d-a)...ou a vrai dire aucun des deux ou ...:s

[Mars Epiphone]

Je n'ai pas le temps de le calculer ce soir, mais j'espère que les simplifications dans l'équa diff permettront de trouver le résultat
Si quelqu'un a une idée, n'hésitez pas! (je retente demain)

[Mars Epiphone]

je viens de me rendre compte que j'ai fait une gaffe en réécrivant... le oméga est bien sur en trop dans les deux dernières exponentielles de chaques lignes