exo avec 3 ressorts en cercle

[invite00c17237]

Salut à tous,

Voilà, il s'agit d'un exo classique où l'on a 3 ressorts sur un cerceau. Il s'agit de déterminer les pulsations propres du système.

En ayant un peu de dextérité (je ne sais pas si çà s'écrit comme çà d'ailleurs) par rapport à la prépa ( je passe en 3ème annnée d'école d'inge) , j'aimerais vous demander de m'éclaircir sur certains points.

J'ai fait l'exo. Mais il y a quelques pts qui ne me vont pas.

1) Dans le pfd appliqué à une masse, il n'y a qu'un terme en suivant la direction er. -> question/réponse çà veut dire qu'il n'y a pas d'accélération dans cette direction ?
Cà ne change pas la suite mais çà me géne

2) Pour déterminer les pulsations propres, j'ai fait det (K - w² M) Mais je ne sais plus exactement d'où çà vient ? Je sais que c'est une histoire de valeurs propres mais j'aimerais bien clarifier tout çà

Voilà l'exo
Effacement des liens a la demande de l'auteur. Yoyo

Je vous remercie d'avance pour votre aide
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[invite57e4f988]

Je vais pas répondre, mais comment on fait un ressort circulaire?
Sinon en prépa, t'as du faire des oscillateurs couplés (du genre deux ou trois ressorts), tu devrais t'en inspirer.

[invitec913303f]

Ah j'ai cru que c'étai un truc du jore à la Richard Freiman. lol

[invite00c17237]

oui c'est su mais je crois que je m'en suis déjà inspiré : j'ai déjà fait l'exo ...mais je voudrais des infos supplémentaires .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea29d1598]

1) Dans le pfd appliqué à une masse, il n'y a qu'un terme en suivant la direction er. -> question/réponse çà veut dire qu'il n'y a pas d'accélération dans cette direction ?

j'ai pas lu ton exo, j'ai juste jeté un oeil au dessin donc je sais pas si ma réponse rapide va répondre à la bonne question, mais le principe c'est (si on parle bien de la même chose) que la force exercée par le ressort est dirigée le long de ce ressort et à partir du point de contact avec la masse. En clair, c'est toujours tangent au cercle si les masses sont fixées sur le cercle et que les ressorts sont assujettis dessus (j'imagine que tu as un support indéformable qui guide tes ressorts).

2) Pour déterminer les pulsations propres, j'ai fait det (K - w² M) Mais je ne sais plus exactement d'où çà vient ? Je sais que c'est une histoire de valeurs propres mais j'aimerais bien clarifier tout çà

si tu as un oscillateur harmonique, tu sais que l'equadif, c'est du genre

dX²/dt² + w_0² X = 0

si tu supposes une dépendance temporelle harmonique pour X, tu as donc

- w² X + w_0² X = 0

ce qui a pour solution non-triviale (X non-nul) w² = w_0²

si maintenant tu relis cette équation en regardant X non plus comme un scalaire, mais comme un vecteur et w_0² comme une matrice (ce qui est le cas quand tu as plusieurs oscillateurs couplés). Tu vois alors que tu as un truc du genre

[A] X = 0, avec [A] une matrice et X un vecteur pour lequel tu as seulement supposé qu'il a une dépendance temporelle harmonique. Pour que ce X ne soit pas une solution nulle, même jeu qu'avant: X doit être un vecteur propre de [A] avec la valeur propre 0. C'est ce que te dit directement l'équation...

[invite00c17237]

J'aimerais savoir un truc. Ici, le disque était à plat , qu'est ce çà donnerait si il y avait le poids en plus. Le poids devrait modifier les positions d'équilibre. non?

[invitea29d1598]

J'aimerais savoir un truc. Ici, le disque était à plat , qu'est ce çà donnerait si il y avait le poids en plus. Le poids devrait modifier les positions d'équilibre. non?

"à plat"? ça veut dire quoi?

pour que les positions d'équilibre soient modifiées, il faut (et il suffit) que tu modifies la symétrie du système. En clair, si tu as une force orthogonale au plan du disque, ça change rien. Mais si tu en as une qui n'est pas orthogonale (et n'est donc pas parallèle à l'axe de symétrie du système), alors là, oui, ça change...

[invite57e4f988]

"à plat"? ça veut dire quoi?

pour que les positions d'équilibre soient modifiées, il faut (et il suffit) que tu modifies la symétrie du système. En clair, si tu as une force orthogonale au plan du disque, ça change rien. Mais si tu en as une qui n'est pas orthogonale (et n'est donc pas parallèle à l'axe de symétrie du système), alors là, oui, ça change...

Je pense qu'il voulait parler d'une force orthogonal au plan qui obligerait les ressorts à agir différement du modèle, sortir du plan former par les ressorts. Autrement dit en lévitation dans le vide, un poids ponctuel sur une extrémité de ressort, ça donne un mvt non plan.

[invitea29d1598]

Je pense qu'il voulait parler d'une force orthogonal au plan qui obligerait les ressorts à agir différement du modèle, sortir du plan former par les ressorts. Autrement dit en lévitation dans le vide, un poids ponctuel sur une extrémité de ressort, ça donne un mvt non plan.

mais je vois pas comment faire garder une forme circulaire au truc sans un support rigide qui contrerait toute force verticale dans la situation que tu décris

[invite00c17237]

Je crois tout à fait ce que tu veux dire Rincevent. Je n'ai pas été clair du tout en relisant mon post. En fait, j'aimerais essayer de voir ce que l'on fait si on passe de la position à plat où le poids n'influe pas à une position vertivale où le poids influerait. Cà permettrait de faire un exo où il faudrait bien faire gaffe aux positions d'équilibre avant.

J'espère que j'aurais été plus clair et que tu vas pouvoir m'éclaircir.

[invite57e4f988]

mais je vois pas comment faire garder une forme circulaire au truc sans un support rigide qui contrerait toute force verticale dans la situation que tu décris

Effectivement, c'est plus circulaire (sauf en projetant peut-être).
Mais c'est mon interprétation du message mal compris...

Sinon, pour visualiser : les trois ressorts sur une table, c'est plan (quelque soit les masses) ; un partie hors de la table et le tour est joué! (mais pas trop sinon, les mvt risquent de le faire tomber...)

[invitea29d1598]

En fait, j'aimerais essayer de voir ce que l'on fait si on passe de la position à plat où le poids n'influe pas à une position vertivale où le poids influerait. Cà permettrait de faire un exo où il faudrait bien faire gaffe aux positions d'équilibre avant.

si tu veux mon avis, je crois que le problème serait tellement plus complexe comme ça que j'ai même pas le courage de regarder les équations...

parce que pour faire le premier truc, tu pouvais utiliser des coordonnées curvilignes pour rendre tout ça unidimensionnel... mais là tu aurais le poids qui serait nécessairement non-tangent au support et donc je crois que tu ne pourrais pas éviter de travailler avec deux dimensions pour chaque masse.

Enfin, tout ça en attendant d'avoir réussi à calculer la réaction de ton support sur chaque masse et d'avoir éliminer ces variables-là des équations: les masses étant fixées sur le support il sera toujours possible d'écrire le problème unidimensionnellement après quelques heures de lutte avec les équations...

bref si tu as l'intention de regarder ce problème de près, bon courage... pour ce qui est du cas statique, ça doit rester simple... mais le cas dynamique...

[invite57e4f988]

Je doutais que ce serait difficile!
Comment font les ingénieurs si le cas "bizarre" les préoccupe?
Modèle informatique

[invite88ef51f0]

Si tu dis que l'ensemble de tes ressorts tient sur un cercle "par magie" et qu'il n'y a pas de frottements, ça doit rester encore raisonnable à mettre en équation, il faut juste rajouter les projections du poids sur la tangente en ton cercle, mais cette projection dépend de l'angle... Pour la résolution par contre, je pense que c'est en effet une autre paire de manches, tout est couplé et tu n'as plus la "symétrie" entre tes 3 masses. Bref, je dirais effectivemnt

[invite88ef51f0]

Comment font les ingénieurs si le cas "bizarre" les préoccupe?

Je pense que la résolution numérique devient en effet le seul moyen. Soit on néglige tout ce qui nous gêne, soit on fait avec ce qu'on a et on obtient que des valeurs approchéess...

[invitea3eb043e]

Si l'on tient compte du poids (quand le plan de figure est vertical), la méthode "harmonique" ne tient qu'au voisinage de la position d'équilibre, sinon on aura une oscillation globale de forte amplitude et tout ça ne s'applique pas.
La méthode la plus directe est de calculer le lagrangien (= énergie cinétique - énergie potentielle) au voisinage de l'équilibre. On en déduit classiquement les 3 équations et les 3 fréquences propres (cette fois, w=0 ne sera pas solution).
N.B. Ne pas confondre lagrangien = Ec - Ep et hamiltonien ou énergie = Ec + Ep

[invite00c17237]

J'aimerais bien voir cette méthode un peu plus en détails si çà ne dérange pas.

Pour moi le lagrangien c'est:
d d d
-- -- - --
.
dt dq dq

où les 2ème dérivée sont des dérivées partielles (difficile à dessiner ici) et q un paramètre

[invitea3eb043e]

Déjà trouver la position d'équilibre, ce qui se fait en minimisant l'énergie potentielle (pas forcément simple, on peut commencer par supposer les ressorts rigides et ensuite raffiner en ajoutant l'énergie des ressorts).
Ensuite, on écrit l'énergie cinétique en fonction des dérivées des 3 angles puis l'énergie potentielle en fonction des 3 angles, avec développement limité au voisinage de la position d'équilibre. Après, on écrit les 3 équations de Lagrange, où les q sont évidemment les 3 angles.
Après, on doit trouver un système de 3 équations à 3 inconnues, comme auparavant. On annule le déterminant de la matrice K - mw².

Ca peut être lourd.