petit problème de "robinet" amusant

[chaverondier]

Bonjour,

Ci-dessous un petit problème amusant de mécanique des fluides qui devrait être très simple pour ceux qui sont familiers avec ce domaine.

• un réservoir cylindrique
• à l'air libre
• de 1 mètre de diamètre
• est séparé en deux volumes demi-cylindriques par une cloison plane verticale (soudée dans son plan de symétrie).
• Chacun des deux volumes demi-cylindriques est rempli d'eau à des niveaux différents (h1 = 17 m d'un côté de la cloison et h2 = 7m de l'autre).
• Cette cloison possède une ouverture ronde de 50 cm de diamètre d'axe situé à 2 m au dessus du fond du réservoir
• Cette ouverture permet l'écoulement de l'eau d'un côté à l'autre moyennant l'ouverture rapide d'une tape obturant cette ouverture.

Quelle est l'équation d'évolution du débit d'eau s'écoulant d'un côté à l'autre (en prenant les hypothèses manquantes éventuelles les plus simples possibles mais en tenant compte du caractère instationnaire de l'écoulement) ?

Ps : il s'agit d'un problème industriel présenté de façon un peu idéalisée. Je devrais pouvoir me débrouiller avec la réponse à cette question.
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[mbochud]

Bonjour,
Soit h la différence de hauteur entre les 2 sections.
Donc : p = g*h

La vitesse de l’écoulement dans le trou est déduite de :

p = ½ v ²
v = (2gh)^1/2

Le flux volumique de transfert est Q = v*A_t
Ou A_t est l’aire du trou
On obtient donc :
Q = A_t *(2gh)^1/2
Soit A_c, l’aire de la section du demi cylindre .
Q = A_c * dh/dt

Donc dh/dt = A_t/A_c *(2g)^1/2 * h ^1/2

A_t/A_c *(2g)^1/2 est une constante K

On obtient :
h = ¼ *K² *t²
À vérifier!

[FC05]

vu que h tend vers 0 quand t tend vers l'infini ... c'est certainement faux ...

Un petit problème avec la primitive de racine(h) ... il doit y avoir un signe moins qui traîne.

[sitalgo]

B'soir,

On obtient donc :
Q = A_t *(2gh)^1/2

Ce n'est pas une cuve à niveau constant qui débouche sur un niveau constant, h varie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[chaverondier]

Bonjour,
Soit h la différence de hauteur entre les À vérifier!

D'accord avec v = (2 g deltah)^(1/2) et avec q = v S (au coefficient de striction près) quand le trou est suffisamment petit pour que l'on puisse négliger le caractère instationnaire de l'écoulement. Dans ce cas, on peut utiliser Bernouilli en stationnaire comme vous l'avez fait. La réponse que je cherche est un peu plus élaborée (avec les chiffres que j'ai donnés cet effet instationnaire est peut-être négligeable, je n'en sais rien, mais dans l'application que je vise, le caratère instantionnaire de l'écoulement n'est pas négligeable).

Merci quand même.

[invitebe13a34d]

Bonjour,
Soit h la différence de hauteur entre les 2 sections.
Donc : p = g*h

La vitesse de l’écoulement dans le trou est déduite de :

p = ½ v ²
v = (2gh)^1/2

Le flux volumique de transfert est Q = v*A_t
Ou A_t est l’aire du trou
On obtient donc :
Q = A_t *(2gh)^1/2
Soit A_c, l’aire de la section du demi cylindre .
Q = A_c * dh/dt

Donc dh/dt = A_t/A_c *(2g)^1/2 * h ^1/2

A_t/A_c *(2g)^1/2 est une constante K

On obtient :
h = ¼ *K² *t²
À vérifier!

Je dirai pour , donc pour

[mbochud]

Je dirai pour , donc pour

Là, j’ai un problème, avec ton résultat, pour h=1,58m, on obtient une durée nulle!


« (avec les chiffres que j'ai donnés cet effet instationnaire est peut-être négligeable, je n'en sais rien, mais dans l'application que je vise, le caratère instantionnaire de l'écoulement n'est pas négligeable). » (chaverondier)
Pour les gaz je prends la formule de Prandtl , mais pour un liquide, je l’ignore.
http://forums.futura-sciences.com/post1187130-13.html

[invitebe13a34d]

salut,

Excuses je voulais écrire pour h dans [0,10]

Autrement je ne vois pas de problème dans la formule.

[inviteaa85155c]

Alors Chaverondier t'as avancé ?

J'ai pensé partir d'une particule fluide (en fait une tranche d'épaisseur infinitésimale dh au niveau de la surface) qui passe de la surface jusque dans le trou.
Soit v la vitesse de la particule dans le trou
En écrivant la conservation de débit :
(S1 / 2) dh/dt = v S2

où S1 est la section d'un demi cylindre, et S2 celle du trou. h la différence de niveaux.

J'écris aussi la RFD pour la particule fluide au niveau du trou :
dm dv/dt = rho g h S2 (c'est la force de pression résultant de la différence de hauteurs h)
dm est la masse de la particule fluide : dm = rho S1 dh

Au final j'ai une équation différentielle avec un dh dont je ne sais que faire ...

(S1²/2) d²h/dt² - g S2² h/dh =0

S'il n'y avait pas ce terme en dh, on devrait pouvoir trouver une solution en forme de cloche (débit croissant, puis décroissant) avec une somme de 2 exponentielles.
Mais bon je sais pas quoi modifier

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je me permets de mettre les pieds dans le plat, mais je crois que la solution est la même que celle d'un circuit oscillant amorti (éventuellement très amorti).

Quand on ouvre la trappe, l'eau ne peut pas se mettre instantanément à la vitesse finale. Il faut qu'elle accélère depuis l'immobilité, comme le courant dans la self. Puis, à mesure que le courant (d'eau, électrique) augmente l'accélération diminue et l'eau s'arrête d'accélérer quand les deux demi-cylindres atteignent le même niveau. Mais l'eau arrête d'accélérer mais elle ne s'arrête pas. Ella va continuer à circuler et le niveau du cylindre plus bas à l'origine va continuer à monter et dépasser celui du demi-cylindre qui était plus haut. Jusqu'à l'arrêt de l'eau, inversion de la situation, etc.

Bien sur cela dépend de l'amortissement du système. Si l'amortissement est critique ou supérieur, il n'aura pas d'oscillation. Mais la courbe sera celle d'un mouvement harmonique sur amorti.

S'il s'agit d'un petit trou, il est sur qu'il n'aura pas d'oscillation et que l'amortissement est supercritique. Mais un avec un gros trou il peut avoir oscillation. C'est la turbulence et la viscosité qui décideront.
Avant même de faire un calcul, je pense que la solution sera du type:



Il ne reste qu'à (si on peut dire) déterminer tout ce qui manque. Encore la fréquence d'oscillation doit être faisable, mais le coefficient d'amortissement, je ne vois pas comment le déterminer. Je ne suis même pas sur qu'il soit calculable: il dépend de la turbulence et elle même n'est pas constante.

Au revoir.

[inviteaa85155c]

Je suis bien d'ac. Le problème est d'arriver à quantifier tout ca...

[invite6dffde4c]

Je suis bien d'ac. Le problème est d'arriver à quantifier tout ca...

Re.
C'est quand même votre faute. Vous auriez pu poser un problème un peu plus simple.
Par exemple un tube en U. Cela évite beaucoup de turbulences et de plus, comme la section est constante, la vitesse de l'eau est la même par tout et la période doit être facilement calculable. On doit pouvoir aussi faire des approximations pour les pertes visqueuses et peut-être même pour la turbulence, s'il y en a.
Par contre, avec votre vanne dans une paroi plate... ça frisse le sadisme. Ce n'est pas calculable.
A+

[inviteaa85155c]

Comment tu procèdes pour un tube en U ?
Ce serait déjà pas mal, après on peut introduire une réduction de section correspondant à la trappe

[invite6dffde4c]

Comment tu procèdes pour un tube en U ?

Re.
Pour l'instant calculons uniquement la fréquence d'oscillation. Les frottements... on vera.
Prenons un tube en U. Section S longueur de la colonne d'eau: L. Au départ, un de deux bras est a une hauteur h au dessus de la position d'équilibre.
La masse totale de l'eau est
.
La force qui agit sur toute masse est le poids de la colonne d'eau qui dépasse de l'autre bras (de longueur totale 2h). Cette force est donc:

Maintenant F=ma nous donne:

Le signe moins vient du fait que quand la force est positive l'accélération de h est négative (F fait diminuer h).
On teste la solution:

et on trouve


Pour l'amortissement il faut réfléchir. On peut sans difficulté trouver la force qui agit sur un tube quand il conduit de l'eau. Mais ici les choses se compliquent et il faut faire des approximations. Cette fois toute l'eau n'a pas la même vitesse et de plus l'eau "colle aux parois". Il faut réfléchir aux approximations raisonnables que l'on peut faire.
Au revoir.

[mbochud]

Pour l'amortissement il faut réfléchir. On peut sans difficulté trouver la force qui agit sur un tube quand il conduit de l'eau. Mais ici les choses se compliquent et il faut faire des approximations. Cette fois toute l'eau n'a pas la même vitesse et de plus l'eau "colle aux parois". Il faut réfléchir aux approximations raisonnables que l'on peut faire.
Au revoir.

Le nombre de Reynolds montre un régime d’écoulement très nettement turbulent. L’amortissement sera donc plus que probablement beaucoup trop grand pour parler d’oscillations.
Si on est en régime turbulent, on a un profil de vitesse plat dans le plan du trou et, dans ce cas, on peut utiliser Bernoulli pour le calcul de la vitesse dans ce plan.

[invite6dffde4c]

Le nombre de Reynolds montre un régime d’écoulement très nettement turbulent. L’amortissement sera donc plus que probablement beaucoup trop grand pour parler d’oscillations.
Si on est en régime turbulent, on a un profil de vitesse plat dans le plan du trou et, dans ce cas, on peut utiliser Bernoulli pour le calcul de la vitesse dans ce plan.

Re.

Vous avez peut-être raison. Mon pif me suggère qu'il a oscillation rapidement amortie. Mais comme je ne luis fait pas trop confiance, je ne parierai pas plus qu'un café.

Il faut voir que le nombre de Reynolds est ici variable si non oscillant, comme la vitesse de l'eau. Et que tout compte fait on obtient le même nombre de Reynolds pour le tube en U sans vanne qu'avec la vane. Or, pour le tube en U sans vanne, j'irai jusqu'à parier deux cafés qu'il oscille.

Je crois que vous allez un peu vite pour conclure à partir du nombre de Reynolds s'il y a oscillation ou pas.

J'insiste qu'il faut essayer de trouver des approximations raisonnables et voir ce qui donne le calcul.
Au revoir.

[inviteaa85155c]

Joli !

Là t'as oublié un g, mais on le retrouve à la fin

Avec Ao la hauteur h initiale.

Pour les frottements on n'est pas sorti...
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AF...4_2__177_0.pdf

[invite6dffde4c]

Pour les frottements on n'est pas sorti...
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AF...4_2__177_0.pdf

Et encore! C'est le cas simple!
A+