Synchronisation de métronomes.

[invitedcd45209]

Bonjour,

Je viens de trouver cette vidéo sur internet:
Synchronisation de métronomes
Pouvez-vous m'expliquez pourquoi les métronomes se synchronise.
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[obi76]

C marrant comme truc

La "majorité" des métronomes allant à gauche OU à droite vont faire déplacer la planche, imposant ainsi ce déplacement à ceux qui vont dans l'autre sens que la majorité.
Je vois plutot ça comme ça

[inviteb836950d]

Bonjour,

Je viens de trouver cette vidéo sur internet:
Synchronisation de métronomes
Pouvez-vous m'expliquez pourquoi les métronomes se synchronise.

Très jolie manip !!

les métronomes sont tous à la même fréquence. Ils sont déphasés au départ.
Je pense que le fait de les mettre sur la planche à roulette va coupler les mouvements : certains vont prendre du retard et d'autre une légère avance jusqu'à ce qu'ils soient en phase avec la planche.

[mach3]

En observant bien on remarque l'ensemble ne cesse de vouloir se découpler (le métronome du centre en particulier est le premier à se décaler le plus par rapport aux autres), mais que dès qu'un déphasage à peine perceptible débute, quelque chose fait que le système se resynchronise. Ca doit être de la mécanique de haut vol pour prédire le comportement d'un tel système, c'est surement simulable.

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

D'un point de vue énergétique, je suis prêt à parier que la synchronisation est obtenue pour un minimum d'énergie dépensée.

Je ne sais pas si cela marche aussi bien avec un nombre pair? (majorité plus difficile à obtenir.)

Lorsque que les métronomes sont indépendants, leur phases sont indépendantes et il y a une erreur de phase constante (au premier ordre). Il n'y a pas d'intégration dans la chaine (différence de phase) -> Force -> vitesse du métronome=0 puisque fixés (posés)

Lorsqu'on introduit un degré de liberté, il n'y a plus d'erreur de phase.
J'intuite que cela revient à introduire une intégration dans la chaîne (différence de phase) -> Force -> vitesse du métronome.
Comme il y a un rebouclage qui contient une intégration, l'erreur est nulle.
C'est un très bel asservissement.

Sur ce système, c'est difficile de savoir qui impose la consigne de phase!

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Ce que nous avons dans la vidéo ce sont 5 oscillateurs couplés. On voit très bien la planchette se déplacer latéralement au rythme des métronomes.
Et, comme ça a été signalé, le métronome du centre a une amplitude qui varie en fonction du temps. Ce que l'on voit dans la phase finale ce sont des battements obtenus par la somme de deux modes d'oscillation: le métronome central en phase et en opposition de phase avec les autres quatre.

Pourquoi il ne reste que ces deux modes? En encore: l'amplitude de celui en opposition semble plus faible. Difficile à dire. Cinq métronomes devraient avoir au moins cinq modes d'oscillation. Pour quoi celui avec tous en phase semble privilégié?

Ce qui complique la situation est que les métronomes ne sont pas de simples oscillateurs linéaires. La fréquence dépend de l'amplitude. Quiconque a eu la "joie" d'utiliser un de ces maudits engins a entendu que les premières oscillations ont des périodes qui évoluent jusqu'à ce l'amplitude devienne constante.
La deuxième difficulté vient du fait que chaque métronome a un mécanisme qui fournit de l'énergie à l'oscillateur en fonction de son amplitude et qui tend à stabiliser l'amplitude.
Au revoir.

[Gilgamesh]

-

Dans l'histoire des sciences, cette jolie manip renvoie à l'observation de la "sympathie des horloges" par Huygens au XVIIe siècle, sauf que là il se produisait une opposition de phase ("l'une faisant tic lorsque l'autre fait tac").

Lettre de Christiaan Huygens adressée à son père Constantijn datée du 26 février 1665 :

Ayant été obligé de garder la chambre pendant quelques jours, et même occupé à faire des observations sur mes deux horloges de la nouvelle fabrique, j'en ai remarqué un effet admirable, et auquel personne n'aurait jamais pu penser. C'est que ces deux horloges étant suspendues l'une à côté de l'autre, à la distance d'un ou deux pieds, gardent entre elles une justesse si exacte, que les deux pendules battent toujours ensemble, sans jamais varier. Ce qu'ayant fort admiré quelque temps; j'ai enfin trouvé que cela arrivait par une espèce de sympathie: en sorte que faisant battre les Pendules par des coups entremêlés, j'ai trouvé que dans une demi-heure de temps, elles se remettaient toujours à la consonance, et la gardaient par après constamment, aussi longtemps que je les laissais aller (Huygens, 1893 : p. 244).

http://www.archipel.uqam.ca/1114/01/M10188.pdf

Cette « sympathie des horloges» (ibid. : p. 243), résultat des expériences d'Huygens, avait certes de quoi surprendre la communauté scientifique d'alors: « rien dans la description mathématique du pendule dont on disposait à l'époque ne permettait d'expliquer cette mystérieuse propagation d'un ordre d'une pendule à l'autre» (Gleick, 1991 : 367). Stupéfié, Huygens entreprend dans les jours suivant cette découverte une série d'expériences visant à expliquer ce phénomène sympathique. Huygens suppose d'abord que l'interaction cadencée des horloges résulte du mouvement de l'air occasionné par l'oscillation des pendules, puisqu'aucune synchronisation ne se produit lorsque la distance entre les deux horloges dépasse 6 pieds. Cette hypothèse est toutefois rapidement abandonnée, pUisque la synchronisation se produit même lorsqu'une planche de bois est placée entre les deux horloges de manière à empêcher les courants d'air. Supposant alors que la sympathie des horloges est produite par la vibration de leur support commun, Huygens suspend chaque horloge à une planche, puis repose les extrémités de chacune des deux planches sur le dossier de deux chaises se faisant dos à quelques pieds de distance. À première vue, rien ne change: les deux horloges demeurent en parfaite synchronie, l'une faisant tic lorsque l'autre fait tac. En décalant volontairement le balancement de l'un des deux pendules, Huygens s'aperçoit que les chaises supportant les deux planches sur lesquelles sont suspendues chacune des horloges se mettent étonnamment à se balancer sous la force oscillatoire des pendules désynchronisés, cette vibration subite ne cessant que lorsque les deux pendules retrouvent leur cadence. Comme le rapporte Huygens à Sir Robelt Moray, membre émérite de la Royal Society: « étant venu à la dite consonance les chaises ne se meuvent plus mais empêchent seulement les horloges de s'écarter parce qu'aussitôt qu'ils tâchent à le faire, ce petit mouvement les remet comme auparavant» (Huygens, 1893 : 256).

[invite786a6ab6]

Tous les système à "relaxation" (non linéaires) ont tendance à se synchroniser avec un signal extérieur s'ils ne sont pas parfaitement isolés. Ce principe servait jadis à synchroniser la base de temps des oscilloscopes ou du balayage ligne TV. Le coeur se synchronise très facilement avec n'importe quoi, même avec une pensée ... ce qui explique que certaines personne réussissent à faire varier leur rythme cardiaque par "la force de l'esprit".

[calculair]

bonjour,

C'est une manip spectaculaire et etonnante., la manip des holorges decrite par Gilgamesh est encore plus extraordinaire.

Une utilisation pratique est a proposer aux astronomes qui mesurent avec precision le temps, il suffit qu'ils achetent qu'une seule horloge de precision, les autres des machins à 4 ou 6 sous sont largement suffisants.....

L'energie necessaire à la synchronisation, doit être très faible.

Dans la video, il y a des moments de trés lègère désynchronisation, mais le système se resynchronisme rapidement..

[stefjm]

D'un point de vue énergétique, je suis prêt à parier que la synchronisation est obtenue pour un minimum d'énergie dépensée.
Je ne sais pas si cela marche aussi bien avec un nombre pair? (majorité plus difficile à obtenir.)

Merci à Gilgamesh pour avoir déterrer l'exemple de Huygens!
Cela marche donc aussi à deux oscillateurs, qui vont se débrouiller pour se retrouver en opposition de phase.
La manip des chaises montrent bien le minimum d'énergie dépensée lorsqu'il y a synchronisation.

Pourquoi il ne reste que ces deux modes? En encore: l'amplitude de celui en opposition semble plus faible. Difficile à dire. Cinq métronomes devraient avoir au moins cinq modes d'oscillation. Pour quoi celui avec tous en phase semble privilégié?

Pour moi, un mode est une fréquence sans aucune notion de phase. Comme il y a 5 métronomes identiques, je trouve assez normal de n'avoir qu'un seul mode au final. (Ils sont quasiements indépendants, très peu couplés.) Je vois la différence avec ou sans planche comme oscillateur en boucle ouverte ou oscillateurs en boucle fermée.

Ce qui complique la situation est que les métronomes ne sont pas de simples oscillateurs linéaires. La fréquence dépend de l'amplitude. Quiconque a eu la "joie" d'utiliser un de ces maudits engins a entendu que les premières oscillations ont des périodes qui évoluent jusqu'à ce l'amplitude devienne constante.

Je pense que c'estinutile d'introduire la non linéartité dans l'étude du couplage. La non linéarité permet d'expliquer pourquoi un oscillateur fonctionne longtemps. Sans la non linéarité, il est impossible de régler finement à 0 pile poil l'ammortissement du système qui, soit s'arrête, soit s'emballe. Avec la non linéarité, on arrive à obtenir les deux pôles imaginaires purs. (La NL "épaissit" l'axe imaginaire.)

La deuxième difficulté vient du fait que chaque métronome a un mécanisme qui fournit de l'énergie à l'oscillateur en fonction de son amplitude et qui tend à stabiliser l'amplitude.

Je ne vois pas ici une difficulté, mais simplement une tricherie pour obtenir nul ce fameux coefficient d'amortissement. (pas de partie réelle aux pôles)
C'est toujours la NL qui impose l'amplitude des oscillations.

Dans l'histoire des sciences, cette jolie manip renvoie à l'observation de la "sympathie des horloges" par Huygens au XVIIe siècle, sauf que là il se produisait une opposition de phase ("l'une faisant tic lorsque l'autre fait tac").

Je crois qu'il s'agit de la première PLL (Phase locked loop, boucle à verouillage de phase, le wiki français n'est pas bien...) de l'histoire!
En vignette une tentative de modélisation.
Sommateur de phi1+phi2, suivi d'un bloc de filtrage qui contient sans doute l'intégration force->vitesse.
VCO : voltage controle oscillateur, oscillateur controlée en tension, ici, c'est la vitesse de la planche qui modifie la fréquence des oscillateurs.
1/p (intégration) pour passer de fréquence à phase.
et rebouclage bien évidement!
Ce schéma justifie bien l'oposition de phase qui donne le delta phi nul.
D'ailleurs il doit manquer des signes dans le modèle sinon, c'est méchament pas stable.
Pas le temps de le faire propre, je vous le soumet en l'état.

Si des phisiciens veulent bien remplir les blocs et placer les - où il faut.

[invite6dffde4c]

Pour moi, un mode est une fréquence sans aucune notion de phase.

Re.
Ce n'est pas pour rien qu'on les appelle "modes". Cela veut dire "façon d'osciller" et pas seulement "fréquence".
Prenez deux pendules couples par un ressort.
Vous avez deux modes d'oscillation: les deux pendules en phase et les deux pendules en opposition de phase. La fréquence "en phase" est la même que celle d'un seuls des pendules isolé, et la fréquence "en opposition" est plus élevée du fait de la force de restitution supplémentaire du ressort de couplage.
Même chose pour des circuits LC couplés.
Les battements que l'on voit sont simplement la somme des deux sinusoïdes des deux fréquences. Par contre si vous lancez les deux pendules sur un seul mode, ils y resteront et il n'y aura pas de battements.
A+

[invite6dffde4c]

Bonjour.

Je pense que c'estinutile d'introduire la non linéartité dans l'étude du couplage. La non linéarité permet d'expliquer pourquoi un oscillateur fonctionne longtemps. Sans la non linéarité, il est impossible de régler finement à 0 pile poil l'ammortissement du système qui, soit s'arrête, soit s'emballe. Avec la non linéarité, on arrive à obtenir les deux pôles imaginaires purs. (La NL "épaissit" l'axe imaginaire.)

Il n'y a pas d'utilité à introduire la non-linéarité, autre que celle de respecter la réalité. Un métronome est un pendule composé qui oscille avec une amplitude tellement grande qu'on ne peut pas faire l'approximation de linéarité.
Et vous vous trompez si vous pensez qu'il n'y a que la non linéarité qui permet d'avoir une amplitude d'oscillation constante.
Prenons un oscillateur linéaire (électrique ou mécanique). Si vous l'alimentez à puissance constante, l'amplitude se stabilisera d'elle même quand les pertes (qui augmentent avec l'amplitude) seront égales à la puissance fournie.
L'autre possibilité est que la puissance fournie diminue d'elle même avec l'amplitude. Et je vous arrête tout de suite: non il ne s'agit pas d'un asservissement. Avec-vous déjà réfléchi à comment l'amplitude des pendules des horloges comtoises se stabilisait? Dans ce cas vous ne pouvez pas parler de non-linéarités. L'amplitude était suffisamment faible pour que les non-linéarités soient négligeables. Dans le cas des horloges à pendule, la puissance pour compenser les pertes était fournie au pendule par le mécanisme d'échappement. Et si vous regardez en détail, vous constaterez que quand l'amplitude augmente, l'échappement communique moins de puissance au pendule.
Je n'ai pas pris l'exemple des mécanismes à volant car il y a un petit détail que complique un peu le fonctionnement.

Je ne vois pas ici une difficulté, mais simplement une tricherie pour obtenir nul ce fameux coefficient d'amortissement. (pas de partie réelle aux pôles)
C'est toujours la NL qui impose l'amplitude des oscillations.

Je vous prie, laissez les maths et les pôles tranquilles. On n'a pas besoin de cela pour expliquer un dispositif physique.
Et la grosse différence est que le métronome dont l'amplitude diminue à cause des battements reçoit plus d'énergie.

Tout cela, la non linéarité et l'apport en énergie dépendant de l'amplitude rendent l'analyse des 5 métronomes plus délicat.

Je crois qu'il s'agit de la première PLL.

Non, vraiment pas!
Vous voyez des asservissements partout!

Au revoir.

[stefjm]

Bonjour LPFR, bonjour à tous,

Il n'y a pas d'utilité à introduire la non-linéarité, autre que celle de respecter la réalité. Un métronome est un pendule composé qui oscille avec une amplitude tellement grande qu'on ne peut pas faire l'approximation de linéarité.

Je suis d’accord à un détail près que j’ai déjà précisé.
Si l’amplitude est importante, on ne coupe pas à une étude en non linéaire (NL).
Si l’amplitude est faible, l’étude linéaire suffit à décrire le fonctionnement sauf la stabilisation de l’oscillation à coeff d’amortissement nul strictement

Et vous vous trompez si vous pensez qu'il n'y a que la non linéarité qui permet d'avoir une amplitude d'oscillation constante.

Pour avoir pas mal maniper d’oscillateur électronique, seule une NL permet la stabilisation.
Je doute que le principe ne soit pas valide en méca.
En terme de diagramme de Black-Nyquist, je ne vois pas comment vous réglerez la passage pile-poil par le point critique « -1 ».

Prenons un oscillateur linéaire (électrique ou mécanique). Si vous l'alimentez à puissance constante, l'amplitude se stabilisera d'elle même quand les pertes (qui augmentent avec l'amplitude) seront égales à la puissance fournie.
L'autre possibilité est que la puissance fournie diminue d'elle même avec l'amplitude. Et je vous arrête tout de suite: non il ne s'agit pas d'un asservissement. Avec-vous déjà réfléchi à comment l'amplitude des pendules des horloges comtoises se stabilisait? Dans ce cas vous ne pouvez pas parler de non-linéarités. L'amplitude était suffisamment faible pour que les non-linéarités soient négligeables. Dans le cas des horloges à pendule, la puissance pour compenser les pertes était fournie au pendule par le mécanisme d'échappement. Et si vous regardez en détail, vous constaterez que quand l'amplitude augmente, l'échappement communique moins de puissance au pendule.

Bien sûr qu’il s’agit d’un asservissement, certes très naturel (votre « elle-même »), mais un asservissement quand même. Un asservissement de coefficient d’amortissement nul, ou comme vous le signalez, un asservissement de puissance pour compenser les pertes.
Le pendule est naturellement contre réactionné (négatif) par les frottements.
Pour maintenir l’oscillation, il faut une réaction positive, exactement réglée pour compenser les frottements.
Cela se fait tout seul et se modélise soit par une NL, soit par un asservissement..

Je vous prie, laissez les maths et les pôles tranquilles. On n'a pas besoin de cela pour expliquer un dispositif physique.

Pour moi, un pôle est tout ce qu’il y a de plus physique. Cela me donne la réponse naturelle du système en

Et la grosse différence est que le métronome dont l'amplitude diminue à cause des battements reçoit plus d'énergie.

Oui.

Tout cela, la non linéarité et l'apport en énergie dépendant de l'amplitude rendent l'analyse des 5 métronomes plus délicat.

Tellement délicate que personne ne la faite ?
Je maintiens qu’on doit pouvoir oublier la NL pour une étude à la serpe.

Non, vraiment pas!

Je crois bien que si et voilà pourquoi.
La force à laquelle est soumise la planche qui soutient les métronomes dépend de la différence de phases entre les métronomes. (Comparateur de phase de la PLL et rebouclage des phases)
La vitesse de cette planche est filtrée par un intégrateur (PFD). Seule les basses fréquences subsistent. (Filtre passe bas de la PLL)
Cette vitesse agit sur la pulsation naturelle des métronomes en la modifiant légèrement en + ou en -. (L’équivalent du VCO de la PLL)

Dans le cas des horloges d’Huygens, pas besoin de NL pour l’étude de l’ensemble des horloges et l’opposition de phase confirme l’asservissement de phase à pi.
Pour les 5 métronomes, l’asservissement de phase se fait à phase nulle.
C’est très révélateur et intéressant ce lien entre parité (imparité) et phase pi (ou nulle)

Vous voyez des asservissements partout!

Oui ! et vous nulle part ?
En fait, on ne doit pas appeler asservissement exactement la même chose, d’où le différent.

Dès que je peux modéliser un phénomène physique à l’aide d’une contre réaction (ou variable d’état), je le fais. Cela donne une boucle d’asservissement plus ou moins naturelle.
Dans le cas de l’horloge seule, elle me paraît particulièrement évidente.

Un autre exemple ultra simple pour fixer les idées et vérifier si on n’est bien pas d’accord.

Circuit série résistance R, inductance L et générateur de tension parfait e, parcouru par un courant i.

La loi électrique s’écrit :
En écrivant, , un bête circuit RL apparaît comme un système bouclé à base d’intégrateur de gain . (cf la vignette)

Je ne sais pas trop pourquoi les physiciens n’aiment pas cette représentation à variables d’états ?

Cordialement.

[invited9d78a37]

bonjour
ce problème me rappele un de mes projets en mécanique non-linéaire : l'expérience FPU.
Cela consiste à relier entre eux N ressorts de constante de raideur non-linéaire.
L'expérience fut faites avec 32 ressorts. Ils (Fermi Pasta et Ulam) s'attendaient, du fait des non linéarités, qu'en injectant initialement de l'énergie dans le mode 1, cette énergie se répartisse sur tous les modes.
Cependant ils observerent que l'énergie revenait périodiquement dans le mode 1, et que seuls les premiers modes (2 à 5) étaient "excités".
Ce paradoxe fut levé en montrant qu'en faisant tendre N-> inf et Eini->inf, on retrouvait bien l'effet de thermalisation.

Revenons à nos pendules.
La non-linéarité peut donc expliquer le fait qu'un seul mode soit excité au lieu de 5 et aussi la désynchronisation périodique.
J'ai réutilisé mon code pour une chaîne de 6 ressorts, où l'énergie est initialement injectée dans le mode 1 (ca veut dire que mes ressorts sont déjà synchro). Le graphique est en pièce jointe.On voit bien que le mode 1 est prédominant et que le mode 2 désynchronise légèrement le mouvement.

Je me ralie donc à LPFR sur le fait que c'est la présence de non-linéarité qui doit être à l'origine de la synchronisation. Les pendules doivent se placer, pour la période de transition, cad de synchronisation, dans le mode 1 pour minimiser l'énergie puis on observe une dynamique non-linaire des pendules à l'instar de l'expérience FPU.

http://arxiv.org/pdf/nlin/0501053

PDF remplacé par un lien vers le document.
JPL, modérateur

[invite786a6ab6]

...
Revenons à nos pendules.
La non-linéarité peut donc expliquer le fait qu'un seul mode soit excité au lieu de 5 et aussi la désynchronisation périodique.
...

Dans le cas des pendules à balancier, il y a bien sûr la non linéarité en fonction de l'amplitude, mais il y a aussi un organe très non-linéaire, c'est l'échappement. Entre deux horloges ayant un léger couplage mécanique, je pense que la moindre vibration provenant d'une horloge peut influencer l'instant exact où l'échappement va... s'échapper, pour peu que cette vibration arrive au bon moment, mais tant que les horloge ne sont pas synchrone, le glissement de phase fait que tous les instants sont "explorés". Après un certain nombre de passages par cette phase "critique" nos horloges seront synchronisées et c'est uniquement la non linéarité de l'échappement qui permet de créer et de maintenir cet état synchronisé. Ce phénomène de synchronisation par "pompage" ressemble un peuà se qui se passe dans certains asservissements (PLL). En fait la non-linéarité est tellement grande qu'on peut parler de relaxation au moment où l'ancre s'échape c'est là que le gain aux perturbations causées par l'autre pendule est gigantesque et qu'un épsilon suffit à créer ce phénomène. D'ailleurs dans cette phase où le gain est très grand on peut peut-être parler effectivement d'asservissement entre les deux systèmes ; l'ancre au moment de l'échappement jouant le rôle de comparateur de phase à grand gain et le "feedback" étant assuré par la propagation des vibrations entre les horloges. Tic Tac Tic ....

[curiossss]

Bonjour,

Revenant sur cette expérience de synchronisation des métronomes, quelqu'un sait si des études ont été faites pour déterminer la vitesse de synchronisation en fonction du nombre de métronomes (ou tout autre oscillateur) ?

Dans la vidéo les oscillateurs sont placés sur un support rigide. Que se passerait-il si on plaçait une longue ligne de métronomes sur un support légèrement élastique ?

Et aussi, comportement des oscillateurs le long de cette ligne lorsqu'on force l'oscillation d'un oscillateur à l'une des extrémités de la ligne ?

Il y a là une étude intéressante à effectuer il me semble... avec des métronomes ou par simulation numérique (mais ce ne sera pas facile de modéliser les ondes de compression le long du support élastique).

Je trouve presque étonnant de ne rien trouver à ce sujet sur internet. Quelqu'un aurait-il des infos ? Merci.

PS : pour la simulation sur un support élastique je pense qu'on pourrait le remplacer par un ressort horizontal intercalé entre chaque métronome... Ca simplifie le problème.

[XK150]

Salut ,

Oui , tout cela est déjà fait ... un modèle simple parmi d'autres : https://www.researchgate.net/figure/...o_fig1_1920146
ou encore : https://www.sciencedirect.com/scienc...20746207001059

[stefjm]

Merci pour les sources.

[curiossss]

Salut ,

Oui , tout cela est déjà fait ... un modèle simple parmi d'autres : https://www.researchgate.net/figure/...o_fig1_1920146
ou encore : https://www.sciencedirect.com/scienc...20746207001059

Merci pour les liens. Mais cela concerne la synchronisation de 2 pendules et il y a une abondante littérature sur le sujet. Mon questionnement se porte sur la vitesse de synchronisation de beaucoup de pendules, et de sa dépendance avec les caractéristiques du lien qui relie les pendules entre eux. Par exemple, pour des métronomes posés sur une table, l'élasticité du matériau de la table par rapport à l'énergie cinétique des métronomes a forcément un impact qu'il serait intéressant d'étudier pour voir s'il y a des conditions particulières qui mèneraient à des phénomènes intéressants non anticipés. Par exemple sur une longe ligne de métronomes on constaterait une variation de phase, mobile ou pas. Etc...