Algorithme de lissage par polynôme

[invite050a6472]

Bonsoir,

Je rencontres en ce moment un problème de traitement de donnée : Je dispose de quelques 3780 couples de coordonnées d'un point se déplaçant dans l'espace suivant une courbe que l'on pourrait croire facilement assimilable a un polynôme de degré 4.
Ces coordonnées ont été acquise via video et pointage et présente donc pas mal d'erreurs.
L'idée serait donc de lisser cette trajectoire par un polynôme de degré 10 ou plus, si affinité !

Quelques recherches m'amènent a la méthode des moindres-carrés pondue par un sombre inconnu (Gauss, ou quelque chose dans ce goût ...) mais je ne vois ici qu'un moyen de vérifier l'erreur commise par l'approximation.

Y a-t-il donc selon vous un programme capable de traiter mon problème, ou bien un algorithme ou une méthode que je pourrais appliquer sur un logiciel de calcul formel ?

Merci d'avance, et bonne soirée !
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[obi76]

Maple, Matlab et labplot (tous les 3 sous linux, peut etre sous windaube je sais pas) le font sans aucun problème.

J'utiliserai même plutot labplot tout simplement parce que c'est probablement la solution la plus simple aux problèmes d'interpolation.

[invite88ef51f0]

Salut,
Plus tu augmenteras le degré de ton polynôme, plus ta courbe fera des choses bizarres (énormes oscillations entre tes points, ...).

Pour ton problème, regarde du côté des splines (des polynômes par morceaux, ça devrait t'intéresser.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Spline

[obi76]

Plus tu augmenteras le degré de ton polynôme, plus ta courbe fera des choses bizarres (énormes oscillations entre tes points, ...).

Non.

Si tu fais passer un polynôme par tous les points (donc de degré au moins aussi élevé que le nombre de points) alors oui elle fera n'importe quoi.

Un polynome de degré très inférieur au nombre de points (et là ça reste le cas) n'aura pas ce genre de réaction par la méthode des moindres carrés (d'où le nom moindre carrés d'ailleurs).

Pour une fois que c'est moi qui te reprend

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88ef51f0]

Je réagissais à ça :

l'idée serait donc de lisser cette trajectoire par un polynôme de degré 10 ou plus

Je ne suis franchement pas convaincu qu'il soit intéressant d'utiliser du degré 10 si du degré 4 est mieux justifié physiquement. Les améliorations ne seront qu'apparentes.

Après, il faut voir le problème plus en détails. Les méthodes d'interpolation (splines et autres) feront des choses bizarres si les points sont imprécis car ces méthodes forcent la courbe à passer strictement par les points.
Pour ce qui est des ajustements (moindres carrés, ...), il faut d'abord se fixer un modèle (avec certains paramètres). Woggi parlait de degré 4, y a-t-il une raison particulière ?

[obi76]

Ben après des approxim (j'insiste sur labplot, pour les interpol il est vraiment génial ^^) tu peux en faire comme tu veux.

En physique disons que degré 2 (parfois 3), log et exponentielle sont les plus fréquents.

Degré 4 ça commence à faire mais bon, à voir si c'est justifié. Comment est définie la trajectoire du point ?

[invite6dffde4c]

Bonsoir.
Je suis totalement d'accord avec Coincoin. On ne lisse pas une courbe pour faire beau et on ne choisit pas le degré du polynôme au hasard. Comme l'a dit Coicoin, on fait un modèle physique du phénomène est c'est la nature mathématique de ce modèle physique qui va décider de la courbe qui doit approcher les points. Vous n'utilisez pas un polynôme si le modèle physique vous dit que c'est un sinus ou une fonction de Bessel.

Les splines c'est un moyen d'approcher des courbes basées uniquement sur des intérêts esthétiques. Le splines ne correspondent à rien physiquement. Mais les courbes sont très agréables à l'œil. Son utilité est purement esthétique et on les utilise en CAO et en architecture.

La méthode des moindres carrées donne l'erreur moyen ou l'écart type des points au polynôme.

Au revoir.

[invite050a6472]

En fait, la trajectoire qui m'intéresse à une "tête de polynôme de degré 4" au sens où elle présente deux minima locaux et un maximum local, avec une belle courbure légère ... Bref, il ressemble. Seulement, le problème est là :

En effet, poser un modèle mathématique avec un polynôme de degré 4 me permet d'arriver à une belle solution, un portrait de phase qui ressemble agréablement à celui obtenu par acquisition, mais qui ne fait malheureusement qu'y ressembler...

Ce modèle, je l'ai déjà établi, mais j'aimerai obtenir un résultat qui "colle" cette fois a la réalité, de manière a pouvoir superposer un portrait de phase idéal au portrait de phase acquis ...

(Je suis ravi d'apprendre que Maple et MatLab existent sur linux ! Je vais voir labplot de suite)

[invite88ef51f0]

Physiquement, à quoi t'attends-tu ?

[invite050a6472]

Alors, le portrait de phase que l'on devrait obtenir en l'absence de frottements ressemble a une belle cacahouète (une belle coquille de cacahouète tout du moins).
En réalité, l'existence de ces frottements (qui, dans mes hypothèses, ne pourraient être que fluides" va amener le point à se rapprocher un peu plus d'une position d'équilibre, au bout d'un moment, il n'y a plus suffisamment d'énergie pour pouvoir franchir l'équilibre instable et le point se retrouve prisonnier dans une "cuvette".
Mon problème, c'est que dans l'acquisition que j'ai faites, la bille va plus loin que dans le cas idéal, au point que cette erreur ne puisse être négligeable ...

Mon but étant de trouver, en superposant le modèle théorique et l'acquisition un ordre de grandeur du coefficient de frottement, je met un point d'honneur a résoudre cette anomalie ! Seulement, a part les défaut de modélisation via le polynôme, je vois pas d'où ceci pourrait provenir ... :'(