Aide pour un exo de méca

[invite171486f9]

Bonjour à tous,
j'ai un exercice de méca que je viens de commencer; Seulement la réponse a la 1° question n'est pas la même que celle proposée par la correction. Voici l'énoncé :

"Un solide de petites dimensions P, de masse m, assimilable à un point matériel est placé au sommet A d'une sphère de rayon R=OA=1m. On déplace légèrement le point matériel de sorte qu'il quitte la position A avec une vitesse que l'on considère comme nulle, puis glisse sans frottement le long de la sphère"

1) En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, la position du point P étant repérée par l'angle θ=(i,OP), exprimer la valeur du vecteur vitesse de P, en fonction de θ, avant qu'il ne quitte la sphère.

Donc, voici ce que j'ai fais :
ΔE_c = ΣW(F) = W(P) + W(R) = W(P) + 0
ΔE_c = P.AP.cos(P,AP)
ΔE_c = mg.(θ-(Pi/2))R.cosθ
E_c(final) - E_c(initial) = mgR.cosθ.(θ-(Pi/2))
1/2.m.v_P² - 0 = mgR.cosθ.(θ-(Pi/2))
v_P = racine( 2gR.cosθ.(θ-(Pi/2)) )

Apparament, ce résultat est faux. D'ou vient mon erreur ?
Merci de toute aide !
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[LPFR]

Bonjour.
Vous n'avez pas dit à quel endroit le point quitte la sphère. Ce n'est pas à l'équateur.
Je crois que le problème est de trouver le critère qui permet de dire quand le point quitte la sphère.
Aussi longtemps que le point suit la sphère, la composante de son poids perpendiculaire à la sphère (et dirigée donc vers le centre), est plus grande que la force centripète nécessaire pour maintenir le point en mouvement autour de la sphère.
Cette force centripète est égale à:

Donc, il faut que vous trouviez la composante du poids dirigée vers le centre (qui dépend de thêta) et que vous la mettiez égale à la force centripète.
Tout cela se simplifie à merveille et cos(thêta) est égal à une fraction simple (je vous laisse la trouver).
Au revoir.

[invite171486f9]

En fait, les 2 questions suivantes sont :

2) En utilisant la relation fondamentale de la dynamique, exprimer en fonction de θ, la valeur de la réaction R exercée par la sphère sur le point P.

3) En déduire l'angle θ₀, lorsque le point matériel quitte la sphère? Quelle est la vitesse en ce point ? (je suppose qu'il faut poser R=0)

donc il ne faut apparament pas trouver la valeur de θ à laquelle le point quitte la sphère...

je comprend que l'on puisse décomposer le vecteur poids en ses 2 composantes selon e_r et selon e_θ, mais dans ce cas, la vitesse aurait une expression simple.
En réalité, la correction donne pour expression de la vitesse :
V=racine(2gR(1-sinθ))

je ne vois pas du tout comment aboutir à ça, par la méthode proposée...
merci d'avance

[LPFR]

Re.
Je suis d'accord avec la correction.
Il faut calculer de combien est descendu le point quand il arrive à un angle thêta. Cette perde d'énergie potentielle s'est transformée en énergie cinétique. C'est tout. De là vous déduisez la formule donnée dans le corrigé.
Conseil: thêta=0 pour le départ.
Et tournez 7 fois votre crayon dans votre main avant d'écrire des angles qui ne sont pas dans une fonction trigonométrique (en dehors du calcul d'un arc). Cela arrive très rarement.

" (je suppose qu'il faut poser R=0)" Nooooooooooooooooooooooooon!
R appartient à celui qui a rédige l'énoncé. Vous n'avez pas le droit d'y toucher.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

" (je suppose qu'il faut poser R=0)" Nooooooooooooooooooooooooon!

Le cri du désespoir de LPFR. C'est la première fois que je vous vois (écrire) comme ça

[invite171486f9]

quand je parlais de R, je parlais bien sur de la réaction de la sphère (qui compense la composante du poids selon e_r), et non pas du rayon de la sphère...

[LPFR]

quand je parlais de R, je parlais bien sur de la réaction de la sphère (qui compense la composante du poids selon e_r), et non pas du rayon de la sphère...

Ouf! Je préfère ça!

Mais il faut écrire avec "propriété". R a déjà une signification dans ce problème.

[invite171486f9]

En fait, je viens d'arriver à la solution par une méthode (conservation de l'énergie mécanique Em(A)=Em(P)).
Mais, je pensais que le théorème de l'énergie cinétique était :
ΔEc=ΣW(F)

Je ne me suis pourtant pas servi du travail du poids (ou alors, si par l'énergie potentielle de pensanteur )
je pensais pourtant que th. de l'énergie cinétique et th. de la conservation de l'énergie mécanique étaient 2 théorèmes distincts... ?

[inviteefa46b74]

le vecteur force de réaction de la sphere se déplace avec le solide,
alors pourquoi il ne travaille pas ?

[invite171486f9]

parce que W(F)=F.dl.cos(F,dl)
donc si la force F est perpendiculaire au vecteur déplacement élementaire (comme la réaction normale, car pas de frottement), alors le scalaire F.dl est nul, donc pas de travail...

[inviteefa46b74]

effectivement =)
t'as ptete oublier le sigma majuscule dans la formule ?

[invite171486f9]

parce que W(F)=F.dl.cos(F,dl)
donc si la force F est perpendiculaire au vecteur déplacement élementaire (comme la réaction normale, car pas de frottement), alors le scalaire F.dl est nul, donc pas de travail...

si tu parle de cette formule-la, ce n'est pas que je l'ai oublié, c'était juste pour mettre en évidence que le travail de la force de réaction est nul.
par contre pour le théorème de l'Ec ΔEc=ΣW(F), la il faut absolument le Σ

[inviteefa46b74]

ouki sergent =)
de plus, j'pense que t'aurais peut etre du poser AP = distance trouver grace au théoreme de pythagore, puisque à chaque instant tu connais l'altitude du systeme et son abscisse ( si je n'mabuse xD )

[invite171486f9]

oui, sauf que AP est un arc dans l'exo
la longueur d'arc AP change donc un peu par rapport à la longueur du segment AP. pas beaucoup, d'accord, mais il vaut mieux rester précis

[inviteefa46b74]

détrompe toi,
J'pense que dans la formule du travail la avec le cos et les normes des vecteurs, bah justement, il te faut juste la norme du vecteur, on veut juste la quantité, on s'en fout du déplacement, que ce soit un arc ou pas, le travail et le meme =)
J'me souviens d'un petit dessin avec un parachutiste qui allait d'un point A à un point B plus bas, dessus on y montrait tout les chemins hasardeux qu'il pouvait faire, mais écrit en rouge LE TRAVAIL ET LE MEME, car au bout du compte, la distance AB, elle reste universel, même si tu part de A pour rejoindre B en passant par la Chine

[invite171486f9]

mais la méthode que j'ai faite (que LPFR m'avait suggérée) et la méthode suggérée par la question, sont-elles équivalentes ?
théorème de l'énergie cinétique <=> théorème de la conservation de l'énergie mécanique ???

[inviteefa46b74]

demande à Mr Wikipedia

[inviteefa46b74]

mais la méthode que j'ai faite (que LPFR m'avait suggérée) et la méthode suggérée par la question, sont-elles équivalentes ?
théorème de l'énergie cinétique <=> théorème de la conservation de l'énergie mécanique ???

perso j'pense pas que c'est la même chose, parce que dans le premier t'as pas le mot mécanique, =)
th de l'energie cinétique c'est le truc que t'as fait

[invite171486f9]

wiki confirme ce que je pensais,
théorème de l'Ec et conservation de l'Em, ce n'est pas la même chose...
Mais je ne sais pas si la méthode de LPFR est celle suggérée par la question de l'exo ?

[inviteefa46b74]

Holala mdr
mais test l'autre si y'en a une qui marche pas, au lieu d'te poser des questions existencielles comme çà =)
et oublie pas mon pythagore hein x)

[invite171486f9]

ok

[invite171486f9]

pourquoi ne peut-on pas exprimer la vitesse du point par l'expression polaire habituelle (r point)e_r + r.(theta point)e_theta ?
comment avoir l'acceleration ? car l'expression de la vitesse trouvée n'est pas simple à deriver (donc ca m'étonnerait que l'accélération se trouve comme ca).
Merci d'avance de toute réponse

[inviteefa46b74]

c'est quoi l'expression polaire habituelle ?
tu parles d'un truc qui ressemble à l'écriture exp en complexe ?

[invite171486f9]

l'expression polaire habituelle c'est celle qui est écrite à coté :
r point (dirigé par er) + r.theta point (dirigé par e theta)
non ca n'a pas de rapport avec l'ecriture complexe exp (du moins a ma connaissance...)

[mamono666]

Il faut que tu dérives chaque produit:



tu auras:



Pour trouver et exprimes les deux vecteurs en cartésien et dérive ensuite.

[inviteefa46b74]

l'expression polaire habituelle c'est celle qui est écrite à coté :
r point (dirigé par er) + r.theta point (dirigé par e theta)
non ca n'a pas de rapport avec l'ecriture complexe exp (du moins a ma connaissance...)

T'étais en TS oO ?
parce que j'ai jamais vu cette écriture de ma vie ^^

[invitedf736170]

Bjr,
tu dois intégrer sur l'arc parce que le poids dépend de l'angle et tu trouveras le resultat donné par la correction. delta Ec=integrale de P.dl

[LPFR]

Bonjour.

pourquoi ne peut-on pas exprimer la vitesse du point par l'expression polaire habituelle (r point)e_r + r.(theta point)e_theta ?
comment avoir l'acceleration ?

Les expressions vectorielles peuvent être intéressantes ou indispensables.
Cela dépend du problème.
Dans ce cas-ci, avant que le point ne quitte la surface de la sphère, le problème peut être décrit par une seule variable, l'angle ou la distance parcourue sur la sphère. On peut utiliser la notation vectorielle, mais cela ne fait que compliquer les expressions (et probablement la compréhension).

Mais il y a des cas dans lesquels les expressions données par Mamono666 sont indispensables. Le mouvement des planètes, par exemple.

car l'expression de la vitesse trouvée n'est pas simple à deriver (donc ca m'étonnerait que l'accélération se trouve comme ca).
Merci d'avance de toute réponse

Non, ce n'est pas si compliqué. Comme V est en fonction de thêta, on peut écrite:

La première derivé est simple à calculer. Pour la seconde on peut écrire:


Puis remplacer V par sa formule en fonction de thêta.

Au revoir.

[stefjm]

Bonjour,

l'expression polaire habituelle c'est celle qui est écrite à coté :
r point (dirigé par er) + r.theta point (dirigé par e theta)
non ca n'a pas de rapport avec l'ecriture complexe exp (du moins a ma connaissance...)

Si, ce sont bien les mêmes concepts.
On pose , nombre complexe isomorphe à un vecteur du plan.
x est porté par . (car )
On dérive le produit par rapport au temps.

Le premier terme est porté par et le second par (Une multiplication par i fait tourné de .)
On retrouve bien la relation que tu donnes et on détecte un oubli de r dans la formule de mamono666 ci-dessous.

On dérive encore



On retrouve ainsi tous les termes de l'accélération. (centripète, entrainement, Coriolis)

Il faut juste savoir dériver un produit et une exponetielle complexe.

Il faut que tu dérives chaque produit:



tu auras:



Pour trouver et exprimes les deux vecteurs en cartésien et dérive ensuite.

[stefjm]

Un petit complément d'explications si besoin.
Le cas est plus simple (moins de dérivations composées car des termes sont constants)

http://forums.futura-sciences.com/post1749953-16.html