[Electricité] Exo sur le régime apériodique

[citron_21]

bonjour,
j'ai un circuit RLC série libre que je relie à l'instant t=0, à un générateur délivrant un échelon de tension E.
On me demande, la solution de l'équation différentielle de la charge du condensateur, en régime apériodique.

(équa. diff.) : d²u_s/dt² + 2mw₀.du_s/dt + w₀².u_s = w₀².E
(équa. caractéristique de l'equa.diff. sans second membre) : r² + 2mw₀.r + w₀² = 0

Δ=4w₀².(m²-1)

le régime apériodique est lorsque m<1.

donc dans ce cas, je sais que la solution est du type :
u_s=A.exp[w₀.(-m-racine(m²-1)).t] + B.exp[w₀.(-m+racine(m²-1)).t] + E

(j'ajoute + E pour le second membre de l'équa. diff.)

voila, et pourtant, la correction me donne la solution u_s, qui se trouve être complètement différente de la mienne (même après que j'aie déterminé mes constantes A et B) :

u_s=E.[1-exp(-mw₀t).(cos(wt) + (mw₀/w).sin(wt))]

je ne vois pas pourquoi ils mettent w, et comment on peut avoir des cos et sin...

merci de me dire pourquoi ma proposition est fausse...
merci d'avance
-----

[LPFR]

Bonjour.
Dans l'exposant des exponentielles (pardon), vous avez la racine d'un nombre négatif (m²-1). Donc vous aurez des 'j' qui vont apparaître. Utilisez les formules d'Euler pour les transformer en sin et cos.
Je pense que oméga est oméga _o multiplié par un facteur. Oméga_o est, probablement, la fréquence propre non amorti (pour m=0). Avec l'amortissement, la fréquence d'oscillation diminue légèrement, d'où oméga sans le zéro.
Et je pense que votre solution et celle donnée, sont les mêmes, malgré l'aspect différent.
Au revoir.

[citron_21]

ok je vois, donc vous me conseillez de faire :
Δ=4w₀².(m²-1)
Δ=4w₀².(1-m²).j²
pour pouvoir prendre la racine de Δ.
A t-on le droit ?

[LPFR]

A t-on le droit ?

Re.
Si j'exagérais un peu je dirais que vous avez l'obligation de le faire.
De toute façon, avoir la racine carré un nombre négatif est la même chose qu'avoir un 'j'.
Et c'est même inquiétant si le 'j' ni disparaît pas. Vous êtes en train de calculer des choses réelles. Si des choses imaginaires apparaissent, c'est qu'il y a quelque chose qui n'est pas possible dans la réalité. À moins que les 'j' ne disparaissent.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[citron_21]

mais c'est des maths ?
après calculs, je trouve w=w₀.racine(1-m²)

[LPFR]

Re.
Les calculs qu'ils vous restent à faire c'est bien des maths, mais avec un œil de physicien.
Les 'j' doivent disparaître. Et c'est peut-être une bonne condition pour déterminer les coefficients A et B.

Et les 'j' qui apparaissent c'est la réponse des mathématiques à la physique. Quand quelque chose n'est pas possible dans notre monde réel, il est peut-être possible dans le monde imaginaire (comme les sinus > 1). Donc, si des 'j' apparaissent et ne s'en vont pas, c'est qu'il na pas ce type de solution dans notre monde.
Dans votre cas, vous savez qu'il y a une solution (peut-être pas oscillante). Donc, les 'j' doivent disparaître en tripatouillant les équations.
A+