Votre définition précise de la masse, svp

[Seirios]

Dans la métrique de Minkowski il peut aussi exister des quadrivecteurs x tel que x.x = 0

Désolé pour ma question de néophyte, mais c'est possible dans une métrique de Minkowski ? (peut-être un document plutôt que d'encombrer la discussion inutilement ?)
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[invite6754323456711]

Désolé pour ma question de néophyte, mais c'est possible dans une métrique de Minkowski ? (peut-être un document plutôt que d'encombrer la discussion inutilement ?)

Le quadrivecteur vecteur u = (1,1,0,0) est orthogonal à lui même avec comme convention (x⁰=ct, x¹, x², x³) et le produit scalaire de deux quadrivecteurs x et y = x.y = x⁰y⁰ - x¹y¹ - x²y² - x³y³


Mon objectif n'est pas d'encombrer la discussion inutilement mais bien de m'assurer (en ce qui me concerne) que la définition qui est donné de la masse inerte comme étant la norme du quadrivecteur energie-impulsion est bien correcte.

Cordialement
Patrick

[mach3]

Une autre interrogation : Dans la métrique de Minkowski il peut aussi exister des quadrivecteurs x tel que x.x = 0. C'est est à dire orthogonaux à eux mêmes. Est-ce la cas du quadrivecteur energie_impulsion du photon (dans le cas ou le photon n'a pas de masse jusqu'a preuve du contraire)?

oui ce serait le cas si il n'y avait pas un problème de définition, le photon ayant une masse nulle, il est trivial que son quadrivecteur énergie/impulsion ait une (pseudo)norme nulle.

Le problème de définition vient du fait que la quadrivitesse est le quadrivecteur position (dans référentiel de mesure) dérivé par rapport au temps propre de l'objet. Le premier problème c'est que le photon n'a pas de temps propre et le deuxième c'est que pour obtenir l'energie/impulsion il faut ensuite multiplier par la masse propre, qui je le rappelle est nulle.
J'y avais jamais pensé avant... comment défini-t-on le quadrivecteur vitesse (puis energie/impulsion) d'un photon? si cela à un sens bien sur.

m@ch3

[mach3]

bon je crois que je m'en sors finalement avec ce quadrivecteur du photon. Le quadrivecteur vitesse est effectivement problèmatique, mais pas le quadrivecteur energie-impulsion. Pour une particule quelconque on a :

(j'ai regroupé les composantes spaciales)

pour un photon ça devient :


avec le vecteur d'onde, de norme

on a donc comme norme :



donc bien un quadrivecteur de norme nulle

m@ch3

[invité576543]

bon je crois que je m'en sors finalement avec ce quadrivecteur du photon. Le quadrivecteur vitesse est effectivement problèmatique

Un quadrivecteur vitesse se définit comme dx/dλ, soit (dt/dλ, dx/dλ) une fois une base choisie, où λ est un index réel de la trajectoire.

Dans le cas d'une masse non nulle, la norme n'étant pas nulle, on peut normaliser à 1 le vecteur vitesse (j'utilise la signature +---), auquel cas il n'y a que deux choix possibles. Dans le cas d'une masse nulle, on ne peut pas procéder par normalisation pour avoir un qv unique.

La particularité est donc que le qv vitesse n'est pas normalisable, mais la notion existe quand même.

Cordialement,

[Rincevent]

Un quadrivecteur vitesse se définit comme dx/dλ, soit (dt/dλ, dx/dλ) une fois une base choisie, où λ est un index réel de la trajectoire.

pour être plus précis, ça c'est un vecteur tangent, pas une quadrivitesse.

la particularité est donc que le qv vitesse n'est pas normalisable, mais la notion existe quand même.

la notion de vecteur tangent existe, mais on ne parle pas de quadrivitesse pour une particule de masse nulle. Le terme est réservé pour les lignes d'univers du genre temps, qui plus est paramétrées affinement (pour les courbes du genre lumière il existe aussi des paramétrages affines, mais aucun paramètre intrinsèque semblable au temps propre qui est celui qu'on utilise pour définir une quadrivitesse).

mais pour la quadri-impulsion, pas de problème en effet.

[invite6754323456711]

où λ est un index réel de la trajectoire.

C'est quoi une trajectoire dans l'espace de Minkowski ? Nous avons déja surement le cas simple d'une personne immobile dans un référentiel R qui a une trajectoire définie qui est l'axe des temps de ce référentiel.

Maintenant c'est quoi l'équation paramétrique de la trajectoire dans le cas général (par exemple une longueur fini entre deux points de la trajectoire) ?

Patrick

[Rincevent]

c'est une équation paramétrique usuelle du genre x(a),y(a),z(a),t(a) qui peut généralement être écrite de manière implicite sous la forme x(t),y(t),z(t).

a est un paramètre quelconque, mais pour une particule massive il est courant de prendre le temps propre (qu'on peut voir comme une abscisse curviligne mesurée le long de la ligne d'univers).

[invite6754323456711]

Merci,

c'est une équation paramétrique usuelle du genre x(a),y(a),z(a),t(a) qui peut généralement être écrite de manière implicite sous la forme x(t),y(t),z(t).

Ne faut-il pas la quatrième coordonnée c : x(t),y(t),z(t), c si on choisi le temps comme paramètre ? ou le quadrivecteur dr/dt = <v,c>. v etant le vecteur vitesse mesuré dans le référentiel R par un observateur ?

Patrick

[Rincevent]

Ne faut-il pas la quatrième coordonnée c : x(t),y(t),z(t), c si on choisi le temps comme paramètre ?

plusieurs problèmes dans ce que vous dites :

- c n'est pas une coordonnée (c'est une constante qui apparaît, multipliée par gamma, dans l'une des composantes du quadrivecteur vitesse)

- le temps n'est pas un paramètre du point de vue spatiotemporel quand on écrit x(t),y(t),z(t).

l'idée est la suivante : dans un espace de dimension N, une courbe paramétrée est décrite par N équations donnant les N coordonnées en fonction d'un paramètre. Exemple bidimensionnel, une droite pourrait être x=5a;y=10a, où a est le paramètre qui varie selon la courbe à décrire.

si les N fonctions en question dépendent d'un même paramètre, et qu'elles sont "pas trop méchantes", on peut "inverser" l'une de ces équations pour obtenir le paramètre en fonction de l'une des coordonnées et ensuite réinjecter le résultat obtenu dans les fonctions donnant les autres coordonnées.

dans le cas bidimensionnel de la droite précédente, c'est trivial et cela revient à écrire a=y/10 d'où l'on déduit x=y/2. En appliquant cette méthode dans le cas général on obtient donc une description de la courbe à l'aide de N-1 équations dépendant de l'une des coordonnées que l'on a choisi de privilégier. Pour l'espace-temps, on écrit donc t=t(a) donne a=a(t) en inversant, et on injecte l'expression obtenue dans x(a),y(a),z(a) pour aboutir à x(t), etc.

Du point de vue spatiotemporel, c'est donc ce que l'on fait sans le dire nécessairement quand on se donne dès le départ des équations du mouvement sous la forme x(t),y(t),z(t). Mais on ne peut pas, du point de vue spatiotemporel, nommer "t" un paramètre car c'est une coordonnée de l'espace dans lequel est tracée la courbe étudiée.

ou le quadrivecteur dr/dt = <v,c>. v etant le vecteur vitesse mesuré dans le référentiel R par un observateur ?

on peut utiliser ce vecteur à 4 composantes (même si ici je vois pas trop pour quoi faire), mais ce n'est pas un 4-vecteur au sens strict du terme car il n'a pas une définition indépendante de tout système de coordonnées, contrairement à la quadrivitesse.