Quantification de l'énergie ... écart type .

[invite61942757]

Bonjour .
Imaginons une particule astreinte à se déplacer dans une boite unidirectionnelle .
Supposons que cette particule se trouve dans un état que je vais désigner par état 1 . Soit Psi 1 la fonction d’onde qui représente cet état .
Si je mesure plusiers fois l’énergie de cette particule en remettant à chaque fois la particule dans l’état 1
les resultats que je vais obtenir doivent appartenir à l’ensemble des valeurs propres de l’opérateur H pour la fonction propre Psi .
Je vais désigner par <E> la moyenne des valeurs obtenues suite à cette mesure .
<E> est la somme des valeurs obtenues suite à la mesure divisée par le nombre de mesures .
<E> est encore égale à <Psi1|H|Psi1>.
J’ai calculé l’écart type avec la formule : Racine carré (<E² >-<E>² ) j’ai trouvé qu’il est égal à 0 . Pour moi , cet écart est la racine carré de la distance moyenne des resultats de mesures à la moyenne .
Je ne vois pas pourquoi LOGIQUEMENT cet écart est égal à 0 .
Il y a bien une différence entre la moyenne <E> et les resultats de mesure donc logiquement l’écart type ne doit pas être égal à 0 .
Ce qui me dérange encore de plus , c’est que selon mon cours de chimie-physique le fait que l’écart type est égal à 0 signifie que les énergies d'une particule dans une boite ne peuvent prendre que les valeurs :E1 ,E2 ,E3 ...
Je ne comprend pas comment je dois penser pour arriver à la conclusion de mon cours .
J'ai besoin s'il vous plait d'une réponse simple et satisfaisante .
Merci d'avance.
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[invitea3fc981a]

Bon, je vais essayer de faire plus simple que dans le message précédent car apparemment je n'ai pas été clair...

Il y a bien une différence entre la moyenne <E> et les resultats de mesure...

Ceci n'est vrai que s'il existe des énergies proches de l'énergie que tu cherches à mesurer. Or dans le cas d'un puits de potentiel (c'est le cas du confinement 1D), les énergies sont justement éloignées les unes des autres ! Autrement dit, si la particule enfermée se situe sur un niveau d'énergie, elle restera exactement à cette énergie, donc la moyenne sera strictement égale à zéro => écart type nul.

Pour faire le parallèle, prenons l'analogie suivant : prenons un bonhomme sur un trampoline, qui monte et descend doucement (il ne saute pas, ses pieds sont attachés à la surface du trampoline) ; si tu cherches à mesurer sa position, tu mesureras des hauteurs différentes, et différentes de la moyenne (c'est le cas classique : continuum de hauteurs). Dans le cas quantique, c'est comme si le bonhomme était sur un escalier : ses pieds sont attachés à une marche, donc si tu mesures sa position tu mesureras toujours la même. Pour changer de marche (de niveau d'énergie), il faut qu'il saute. Pour la particule enfermée dans le puits c'est pareil.

C'est plus clair ou c'est encore embrouillé ?

[invite0bbfd30c]

J’ai calculé l’écart type avec la formule : Racine carré (<E² >-<E>² ) j’ai trouvé qu’il est égal à 0 (...) Je ne vois pas pourquoi LOGIQUEMENT cet écart est égal à 0 .

Non, il n'y a effectivement pas de raison que dans le cas général cet écart-type soit nul. Tu as dû faire une erreur dans ton calcul. Cet écart-type n'est nul que si ton état initiale est un état propre de l'énergie (ce qui est un cas particulier).

[invite61942757]

Merci beaucoup Konrad et Chip .
... Imaginons une particule astreinte à se déplacer dans une boite unidirectionnelle et qui est dans un état 1 représenté par la fonction d'onde Psi 1 .
Si je mesure plusieurs fois l’énergie de cette particule en remettant à chaque fois la particule dans l’état 1 ,les resultats que je vais obtenir sont tous égales et égales à la valeur propre de l'opérateur H pour la fonction propre psi 1 donc je déduit que la particule dans cet cet état ne peut avoir que E1 comme énergie et que dans un autre état (état i) elle ne peut avoir que Ei comme énergie =>l'énergie est quantifiée.
Si je mesure plusieurs fois la position de cette particule en la remettant à chaque fois dans l’état 1 , les resultats que je vais obtenir vont être différentes et doivent appartenir à l’ensemble des valeurs propres de l’opérateur X pour la fonction propre Psi1 (cet ensemble est inclu dans l’ensemble des réels :R) .Dans ce cas il y a un écart entre les resultats de mesures et leur valeur moyenne , la position n'est pas quantifiée .
C'est ça ce que Konrad veux dire ? C’est ça ce que tu veux dire Konrad ?
Merci .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0bbfd30c]

Imaginons une particule astreinte à se déplacer dans une boite unidirectionnelle et qui est dans un état 1 représenté par la fonction d'onde Psi 1 . Si je mesure plusieurs fois l’énergie de cette particule en remettant à chaque fois la particule dans l’état 1 ,les resultats que je vais obtenir sont tous égales et égales à la valeur propre de l'opérateur H pour la fonction propre psi 1

Si psi1 est fonction propre de H, alors évidemment, par définition, la particule est dans un état d'énergie bien définie. En faisant sur cette particule une mesure d'énergie, de façon répétée (en replaçant à chaque fois la particule dans l'état initial), tu mesurera toujours la même énergie. Dans ce cas l'écart-type de l'énergie est bien entendu nul.

Mais c'est un cas particulier. La particule peut très bien être dans un état "quelconque", superposition de plusieurs états propres de H. Dans ce cas des mesures répétées de l'énergie (avec "remises à zéro" entre mesures) donneront différents résultats, et l'écart-type de E ne sera pas nul.

[invite61942757]

OK ,merci .
Je comprend beaucoup mieux maintenant .

[invite61942757]

Bonjour.

Si psi1 est fonction propre de H, alors évidemment, par définition, la particule est dans un état d'énergie bien définie. En faisant sur cette particule une mesure d'énergie, de façon répétée (en replaçant à chaque fois la particule dans l'état initial), tu mesurera toujours la même énergie. Dans ce cas l'écart-type de l'énergie est bien entendu nul.

Je ne comprend pas pourqoi tu as écrit:Si psi1 est fonction propre de H ... , c'est comme si Psi1 peut ne pas être une fonction propre de H .Cette idée me parait un peu illogique car Psi1 représente une particule => Psi1 est une solution de l'équation de Schrodinger => psi1 ne peut être qu'une fonction propre de H .
Est ce que mon raisonnement est correcte ?

Mais c'est un cas particulier. La particule peut très bien être dans un état "quelconque", superposition de plusieurs états propres de H. .

Quelqu'un peut m'expliquer cette idée ?

Soit B est un certain opérateur qui corespond à une observable donnée .Prenons le cas d'une particule décrite par une fonction d'onde Psi1 qui n'est pas une fonction propre de B .
Si je mesure la grandeur associée à B plusieurs fois en remettant la particule après chaque mesure dans son état initial est ce que les resultats que je vais obtenir vont être différents l'un de l'autre ?
Selon le troisième postulat de la physique , les resultats obtenus vont être les valeurs propres de B .
Les valeurs propres de quelles fonctions propres ???

Merci d'avance.

[invite0bbfd30c]

Je ne comprend pas pourqoi tu as écrit:Si psi1 est fonction propre de H ... , c'est comme si Psi1 peut ne pas être une fonction propre de H .Cette idée me parait un peu illogique car Psi1 représente une particule => Psi1 est une solution de l'équation de Schrodinger => psi1 ne peut être qu'une fonction propre de H . Est ce que mon raisonnement est correcte ?

Cela dépend de quoi on parle... si tu ne cherches que les états qui sont stationnaires, alors tu cherches les états solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps (autrement dit tu cherches les fonctions propres de H). Ces états, étant stationnaires, ont effectivement une énergie bien définie (donc, pour chacun d'eux, l'écart-type en énergie est nul).

Mais si cherches tous les états possibles, alors ceux-ci ne sont pas nécessairement stationnaires. Tout ces états, quelconques, sont solutions de l'équation de Schrödinger dépendante du temps, mais pas nécessairement de l'équation de Schrödinger indépendante du temps (puisqu'ils ne sont pas nécessairement stationnaires). Par exemple considérons un état qui est superposition de deux états propres de l'équation de Schrödinger indépendantes du temps (esIt) ayant des énergies propres différentes. Cet état n'est pas un état stationnaire, et n'est donc pas solution de l'esIt. Par contre il est solution de l'esDt.

Soit B est un certain opérateur qui corespond à une observable donnée .Prenons le cas d'une particule décrite par une fonction d'onde Psi1 qui n'est pas une fonction propre de B . Si je mesure la grandeur associée à B plusieurs fois en remettant la particule après chaque mesure dans son état initial est ce que les resultats que je vais obtenir vont être différents l'un de l'autre ? Selon le troisième postulat de la physique , les resultats obtenus vont être les valeurs propres de B . Les valeurs propres de quelles fonctions propres ???

Oui, les mesures vont donner plusieurs valeurs différentes, toutes étant des valeurs propres associées aux fonctions propres de B. Je pense qu'il faut que tu relises ton cours pour te familiariser avec ces idées. Si tu as le Cohen-Diu-Laloë, tu as un exposé très clair des postulats de la mécanique quantique (Chapitre III). Difficile de faire plus synthétique et plus clair...