Le chat et la souris

[invitebed24623]

S’ils vous plais pourrai vous m'aider a résoudre cet exercice que je n’arrive pas a faire et merci d'avance.

Un chat est au centre d’une pièce circulaire de rayon R = 10 m, il aperçoit une souris qui se
tient près du mur. Il s’élance vers elle. La souris se met à courir le long du mur circulaire avec
une vitesse constante v0 dans le sens direct. Le chat court à la même vitesse en restant
constamment sur le rayon qui joint le centre du cercle à la souris.
1. Quelle est la trajectoire du chat ?
2. Le chat rattrape-t-il,la souris, si oui quelle distance aura –t-il parcouru avant de
l’attraper ? Quelle est la durée de la poursuite si v0 = 2 m.s-1 ?
3. Le chat mange-t-il la souris ?
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[Coincoin]

Salut,
Malheureusement pour toi, nous ne pouvons pas t'aider : tu ne nous dis pas ce que tu as fait et ce qui te pose problème, donc comment voudrais-tu qu'on t'aide ?

[LPFR]

Bonsoir.
Ce problème vient d'être posé ici il y a quelques jours.
Il a été posé en Scientific American il y a quelques décennies. Je crois que c'était dans la section Metamagical Games, qui avait succédé à Matematical Games de Martin Gardner.
Malheureusement je ne souviens plus de la date (ni de la solution). Mais il me semble que c'était avec un torero et un taureau.
Au revoir.

[verdifre]

bonsoir,
le plus simple est peut etre de poser le probleme en coordonées polaire
le chat et la souris ont une vitesse angulaire constante (le chat est constament sur le rayon)et le chat et la souris ont des vitesses sur trajectoire constantes et egales ( en norme)
pour moi, il me semble clair que la trajectoire du chat va se rapprocher asymptotiquement du cercle decrit par la souris
fred

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jaunin]

Bonjour,
Je verrais bien le principe de la spirale d'Archimède.
Cordialement.
Jaunin__

[winc]

Salut,

dans un premier temps, je te conseil de calculer la vitesse angulaire du chat qui va dépendre du temps. Si tu la multiplis par la distance du chat par rapport au centre de la pièce (le rayon en fait) tu obtiendras la vitesse linéaire du chat(perpendiculaire à sa trajectoire). Il ne te reste plus qu'a intégrer cette vitesse linéaire (avec les conditions aux limites adéquates au problème) pour obtenir la trajectoire...

[winc]

j'ai oublié de dire que le rayon va aussi dépendre du temps...

[winc]

Je viens de me rendre compte que seul le rayon va dépendre du temps...ça simplifie les choses que le chat est une vitesse constante

[mécano41]

Bonjour,
Je verrais bien le principe de la spirale d'Archimède.
Cordialement.
Jaunin__

Bonjour,

J'interprète peut être mal l'énoncé mais : il est dit que "le chat reste sur le rayon", mais pas que sa vitesse Vo est dans la direction de ce rayon ; donc il me semble qu'il faut supposer que le vecteur Vo est constamment tangent à sa trajectoire. Dans ce cas, ce n'est pas une spirale d'Archimède.

Mais ce n'est que mon interprétation...

Cordialement

[LPFR]

Bonjour.
Ce n'est sûrement pas une spirale d'Archimède.
Il suffit d'imaginer que la vitesse de la souris soit plus grande que celle du chat. Dans ce cas, au bout d'un certain temps le rayon de la position du chat au lieu de s'incrémenter va se décrémenter. Même chose si la situation de départ n'est pas le centre. Suivant les cas le rayon commence par augmenter ou par diminuer.
Tout cela pour dire que la courbe est plus compliquée qu'une simple spirale d'Archimède.
Je crois que dans le problème original, la vitesse des deux coureurs était la même et que le résultat est que le taureau rattrapait le torero malgré cela. Parce que, vers la fin, le taureau tourne dans un "cercle" de rayon inférieur mais avec une vitesse angulaire plus grande.
Au revoir.

[winc]

J'ai enfin résolu cet exercice, mais les choses sont dicutables pour la distance parcourue par le chat.
Bon pour que se soit plus faciles passons tout d'abord en coordonnées polaires. Par définition le vecteur position d'une particule qui se déplace sur un cercle de rayon (qui peut dépendre du temps) est donné en coordonnée polaire par :



où



( est l'angle polaire dans le sens direct)
Commençons par la trajectoire de la souris. Puisque son mouvement est uniformément circulaire, on a , avec la vitesse angulaire donné par :



où est le temps mis pour faire un tour et vaut simplement . Au final, le vecteur position de la souris est égal à :



qui sera facile à tracer sur un graphe paramétrique.

Passons au chat. Il se déplace toujours sur le rayon (tournant) reliant la souris au centre de la pièce, il a donc la même vitesse en angulaire que la souris. Par contre son rayon n'est pas constant. Si on appel sa vitesse (supposée constante), alors sont rayon en fonction du temps est . Et son vecteur position s'écrit donc :



Sur le graphe joint j'ai tracé dans le plan (xy), en bleu la trajectoire de la souris, en rouge celle du chat, , , et le temps va de 0 à 5 s.


Pour connaître au bout de combien de temps le chat rattrape la souris il suffit d'égaler leurs vecteurs position respectifs, ce qui donne :



Dans le cas du graphe, .

Maintenant on pourrait se dire que la distance parcourue par le chat est égale à l'abscisse curviligne de la spirale intégrée sur les 5 s de course, mais on peut voir les choses autrement. La formule précédente représente simplement un mouvement rectiligne uniforme et donc le chat n'aurait parcourut que R c-à-d 10 m !! Comment le concevoir alors que l'on voit bien sur le graphe que la longueur de la spirale (qui au passage est une spirale d'Archimède par définition) est bien plus grande ?

Imaginons une planche qui va du centre de la pièce à la souris et qui tourne à la même vitesse angulaire. Cette planche représente en fait le rayon sur lequel le chat marche. Si sous cette planche il y a un traceur qui dessine la trajectoire du chat sur le sol, on retrouvera bel et bien la spirale ci-dessinée, mais l'on se rend compte que le chat lui aura marcher uniquement sur la planche de 10m et n'aura donc parcourue que 10m !

A vos remarques ! j'avoue que pour la distance parcourue je ne suis pas sûr de mon coup ....

[verdifre]

bonjour,
je crois qu'ill faut partir du fait que la norme de la vitesse du chat est constante et sa composante tangentielle est r x teta
donc on peut calculer la composante radiale
on peut aprés en tirer l'expression de dr/dteta
teta = omega t ===> on devrait pouvoir en sortir r(teta) puis r(t)
fred

[LPFR]

Bonjour.
Je viens seulement de m'apercevoir que le problème présenté ici est beaucoup plus simple que l'original que j'avais évoqué (celui de Scientific American).
Effectivement, ici le chat reste dans le rayon qui relie la souris au centre, alors que dans l'original, le chat court toujours vers la souris, mais sans rester nécessairement sur le rayon.
Au revoir.

[winc]

Bonjour.
Je viens seulement de m'apercevoir que le problème présenté ici est beaucoup plus simple que l'original que j'avais évoqué (celui de Scientific American).
Effectivement, ici le chat reste dans le rayon qui relie la souris au centre, alors que dans l'original, le chat court toujours vers la souris, mais sans rester nécessairement sur le rayon.
Au revoir.

Si le chat court toujours vers la souris et que le mouvement de celle-ci est uniformément circulaire alors obligatoirement le chat restera sur le rayon tournant avec la souris ! C'est le cas ici...

[verdifre]

bonsoir
on trouve que la vitesse radiale = racine( V² - R (teta)²)
==> la vitesse radiale tend vers 0 quand on se rapproche de la souris

fred

[LPFR]

Si le chat court toujours vers la souris et que le mouvement de celle-ci est uniformément circulaire alors obligatoirement le chat restera sur le rayon tournant avec la souris ! C'est le cas ici...

Re.
Vous avez répondu un peu trop vite. Réfléchissez un peu et vous verrez que ce n'est pas le cas. Remplacez le chat par un escargot, par exemple.
A+

[verdifre]

pour moi le chat met un temps infini pour rattraper la souris mais peut sentir son odeur quand même
fred

[winc]

Re.
Vous avez répondu un peu trop vite. Réfléchissez un peu et vous verrez que ce n'est pas le cas. Remplacez le chat par un escargot, par exemple.
A+

ben je ne vois pas c'que ça change, à part peut-être la bave de l'escargot qui l'empêchera de rester sur le rayon ! Nan plus sérieusement, cela revient à diminuer la vitesse du chat et la spirale fera un nombre plus grand de tours avant d'atteindre la souris, mais il restera tout de même sur le rayon.
J'aimerai bien que vous m'expliquiez, je ne vois pas vraiment votre raisonnement...

[winc]

pour moi le chat met un temps infini pour rattraper la souris mais peut sentir son odeur quand même
fred

Non, vous pouvez regarder le graphe que j'ai joint, les deux courbe sse coupent, et le cercle n'est pas une asymptote de la spirale d'Archimède, sauf dans le cas où la vitesse du chat est infiniment petite (formule . D'ailleurs rien qu'à la lecture de l'énoncé on sent que le chat rattrapera forcément la souris, sinon pourquoi demander combien de temps met-il ?

[LPFR]

ben je ne vois pas c'que ça change, à part peut-être la bave de l'escargot qui l'empêchera de rester sur le rayon ! Nan plus sérieusement, cela revient à diminuer la vitesse du chat et la spirale fera un nombre plus grand de tours avant d'atteindre la souris, mais il restera tout de même sur le rayon.
J'aimerai bien que vous m'expliquiez, je ne vois pas vraiment votre raisonnement...

Re.
Pour rester sur le rayon, la composante tangentielle de la vitesse du chat doit être toujours ωr, ce qui fixe sa composante radiale à sqrt(V²- ω²r²). Mais la composante radiale est dirigée vers la souris, donc, la somme des deux composantes ne peut pas être dirigée vers la souris.
A+

[winc]

Lorsque je calcul le vecteur vitesse du chat (en dérivant le vecteur position définit plus haut (message avec graphe)) j'obtient en effet :



avec . Et donc il vrai que la composante tangentielle de la vitesse vaut . Quant à la composante radiale, elle est définie dans l'énoncé comme étant de module constant, ce que l'on retrouve dans l'expression précédente.
Je pense que vous mélangez les composantes radiales du vecteur vitesse et du vecteur position. Pour que le chat reste sur le rayon, ce qui est obligatoire selon l'énoncé, le vecteur vitesse du chat ne doit pas être dirigé vers la souris, seul le vecteur position, qui est colinéaire à pointe toujours vers la souris.

Si on suit ce que vous disiez LPFR, il est impossible que le chat suive le rayon, et pourtant il est bien possible de construire une spirale d'Archimède sur le même principe que cet exercice...

[LPFR]

Re.

Quant à la composante radiale, elle est définie dans l'énoncé comme étant de module constant, ce que l'on retrouve dans l'expression précédente.

Je n'ai pas trouvé cette affirmation dans l'énoncé.

Je pense que vous mélangez les composantes radiales du vecteur vitesse et du vecteur position. Pour que le chat reste sur le rayon, ce qui est obligatoire selon l'énoncé, le vecteur vitesse du chat ne doit pas être dirigé vers la souris, seul le vecteur position, qui est colinéaire à pointe toujours vers la souris.

Si on suit ce que vous disiez LPFR, il est impossible que le chat suive le rayon, et pourtant il est bien possible de construire une spirale d'Archimède sur le même principe que cet exercice...

Je pense que vous m'avez mal lu. Je n'ai pas dit " il est impossible que le chat suive le rayon".
Ce que j'ai dit, et je le répète, c'est que dans le problème dont j'avais fait référence, c'est la direction de la vitesse du chat qui est imposée et non la position du chat le long du rayon qui va à la souris. El vos interventions avaient pour objet de prouver que c'était la même chose. Est ce sur ce point que je ne suis d'accord. Et je crois vous avoir prouvé que j'ai raison.
Ceci dit, le problème, dans cette version, ne m'intéresse pas. Ce n'est pas un vrai problème.
Au revoir.

[winc]

ok , désolé pour le mal entendu ....mais mes interventions n'ont pas pour objet de montrer que la vitesse et la position sont colinéaire, j'ai d'ailleurs montré l'inverse..

[obi76]

J'ai trouvé une technique nettement plus simple, mais très géométrie (et peut être faux, au quel cas je serai curieux de savoir ou...).

Imaginez 3 chats se trouvant au centre au temps t=0, et 3 souris qui vont tourner toutes à la même vitesse autour. On a un système invariant par rotation de 120°.

Par invariante, on peut déduire que le triangle formé par les 3 chats est équilatéral.

Soient , et les points représentant les 3 chats. Il est logique qu'à chaque instant, , et

Considérons un des cotés du triangle, par exemple. La vitesse d'"agrandissement" de ce segment va être égal à la somme de la contribution (= projection) de sur l'axe et de sur l'axe.

D'après les hypothèses de tout à l'heure (à savoir que et que le triangle est équilatéral), on a . ( et en norme).

Donc,

Au final (les 3 chats ont attrapés les 3 souris), on a un triangle équilatéral inscrit dans le cercle, donc de côté .

Le temps mis par le segment à atteindre , sachant que sa vitesse d'agrandissement est de va être de .

La distance parcourue va être de

Je ne sais pas ce que vous en pensez...

EDIT : contrairement aux réponses précédentes, où il est dis que , je pense que c'est supérieur (d'ailleurs ça parait logique : le trajet du centre au bord étant incurvé, il est nécessairement supérieur au rayon qui est la trajectoire la plus courte...)