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Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses



  1. #1
    Cassano

    Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses


    ------

    Bonjour à tous,

    J'ai un petit problème avec la stat de Maxwell-Boltzmann en théorie cinétiques des gaz. L'équation de M-B est une gaussienne en exp(-Av2). Si on détermine la vitesse la plus probable, correspondant au maximum de la distribution, on trouve , et si l'on calcule la valeur moyenne, on a .

    Or, la gaussienne est une répartition symétrique. Je n'arrive pas a comprendre pourquoi ces deux vitesses ne sont pas équivalentes. Je comprend les calculs qui mènent à ces deux résultats, mais je ne comprend pas pourquoi ils ne sont pas équivalents. Car on travaille avec un N et un t grand normalement en théorie cinétique des gaz. Personnellement, je vois plutot la vitesse la plus probable comme une moyenne d'ensemble, et la vitesse moyenne comme une moyenne temporelle. Mais pour des gaz sans interactions, l'hypothèse ergodique devrait s'appliquer, non?

    Si quelqu'un a une réponse "éclairante", je suis preneur!

    Merci d'avance

    -----
    "Vous qui entrez, laissez toute espérance" Dante

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  3. #2
    obi76

    Re : Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses

    Sans doute parce que le fait qu'une fonction soit symétrique est une condition non suffisante pour affirmer que sa moyenne est égale à la valeur de son maximum.

    Contre exemple simple :

    La fonction de est une fonction symétrique en 1, sa moyenne sur R vaut zéro et son maximum se situe en 1...

    Autre contre exemple sur ta Gaussienne (tu vera mieux je pense) : prend ta Gaussienne et translate-la sur R, ta valeur moyenne vaudra toujours la même chose, la valeur de son maximum lui bougera à ta guise... CQDF

  4. #3
    Cassano

    Re : Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses

    oO?

    Pourquoi est-ce que la moyenne ne serait pas changée? Si ma Gaussienne prend ses valeurs entre 10 et 20, et que je la translate pour qu'elle prenne ses valeurs entre 1010 et 1020, la moyenne en sera grandement changée! L'aire de la gaussienne sera la même certes, mais pas la moyenne...
    "Vous qui entrez, laissez toute espérance" Dante

  5. #4
    mariposa

    Re : Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses

    Citation Envoyé par Cassano Voir le message
    Bonjour à tous,

    J'ai un petit problème avec la stat de Maxwell-Boltzmann en théorie cinétiques des gaz. L'équation de M-B est une gaussienne en exp(-Av2).

    Bonjour,

    M-B n'est pas une gausienne relativement au module de vitesse. Il y a un facteur v2 devant.

    Si on détermine la vitesse la plus probable, correspondant au maximum de la distribution, on trouve , et si l'on calcule la valeur moyenne, on a .

    Or, la gaussienne est une répartition symétrique. Je n'arrive pas a comprendre pourquoi ces deux vitesses ne sont pas équivalentes. Je comprend les calculs qui mènent à ces deux résultats, mais je ne comprend pas pourquoi ils ne sont pas équivalents. Car on travaille avec un N et un t grand normalement en théorie cinétique des gaz. Personnellement, je vois plutot la vitesse la plus probable comme une moyenne d'ensemble, et la vitesse moyenne comme une moyenne temporelle. Mais pour des gaz sans interactions, l'hypothèse ergodique devrait s'appliquer, non?

    Si quelqu'un a une réponse "éclairante", je suis preneur!

    Merci d'avance
    Bonjour,

    .

    La première correspond à l'énergie moyenne 1/2.M.v°2 qui correspond donc à la moyenne des carrés pondérés par la distributions de vitessse. La deuxième c'est le max de densité de probabilite.

    En bref il ne faut pas confondre

    Le maximun de f(v)

    Une valeut moyenne de <H(v)> qui vaut

    Integrale de 0 à infini de H(v).f(v).dv

    où H(v) est une fonction quelconque de v.

  6. #5
    obi76

    Re : Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses

    Attends, je suis désolé. Quelque soit continue, (la moyenne quoi) est égale à avec a quelconque... (tant qu'il est fini). Si on n'est pas d'accord avec ça, on ne sera pas d'accord sur grand chose...

    EDIT : d'accord avec Mariposa, nos idées se rejoignent...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Cassano

    Re : Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses

    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    Attends, je suis désolé. Quelque soit continue, (la moyenne quoi) est égale à avec a quelconque... (tant qu'il est fini). Si on n'est pas d'accord avec ça, on ne sera pas d'accord sur grand chose...

    EDIT : d'accord avec Mariposa, nos idées se rejoignent...

    Alors permet moi de ne pas être d'accord. Prend une fonction rectangle de largeur A sur un intervalle [a,b].

    La moyenne vaut m=(a+b)/2. Si tu translate ta fonction ,tu vois bien que tu change ta moyenne (sans changer l'integrale de la courbe, i.e la surface).

    Integre entre -inf et +inf une fonction rectangle définie sur [-2,2] : la moyenne vaut zero. Integre cette même fonction sur les mêmes bornes, mais translatée [6,10], la moyenne vaut 8....
    "Vous qui entrez, laissez toute espérance" Dante

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  10. #7
    obi76

    Re : Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses

    on n'a pas la même définition de moyenne alors. Si tu as y = f(x), la moyenne de y est définie comme je t'ai dis.
    Toi tu prend y = f(x), tu prend la fonction inverse de f et tu fais sa moyenne. Désolé mais ce n'est pas la moyenne de f...

    Cordialement,

  11. #8
    Cassano

    Re : Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses

    Effectivement, nous n'avons pas la même définition de la moyenne.

    Pour moi la moyenne d'une variable aléatoire x pondérée par une fonction de probabilité f(x) est définie par

    "Vous qui entrez, laissez toute espérance" Dante

  12. #9
    jeremsk

    Re : Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses

    ca me fait plutot penser à une espérance mathématique ça Cassano ( celle de x )

  13. #10
    mariposa

    Re : Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses

    Citation Envoyé par Cassano Voir le message
    Effectivement, nous n'avons pas la même définition de la moyenne.

    Pour moi la moyenne d'une variable aléatoire x pondérée par une fonction de probabilité f(x) est définie par

    Bonjour,

    Ceci est correcte et se généralise pour une fonction h(x) quelconque:



    En supposant f(x) normalisée

    Pour appliquer à la distribution de M-B il faut d'abord exploiter la symétrie du problème à l'équilibre, cad calculer la distribution de particules entre v et v +dv (après intégration sur les angles).

  14. #11
    obi76

    Re : Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses

    Attend je crois qu'il y a mésentente là.

    La valeur moyenne de ta fonction porte ça sera toujours 0... un doute m'assaille

  15. #12
    mariposa

    Re : Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses

    Citation Envoyé par obi76 Voir le message
    Attend je crois qu'il y a mésentente là.

    La valeur moyenne de ta fonction porte ça sera toujours 0... un doute m'assaille
    bonjour,

    si h(x) est symétrique la moyenne est nulle.

    Seulement dans le cas de la distribution h(v) qui n'est pas la distribution de M-B la variable v varie de 0 à infini

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  17. #13
    Cassano

    Re : Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses

    Citation Envoyé par jeremsk Voir le message
    ca me fait plutot penser à une espérance mathématique ça Cassano ( celle de x )

    Certes, mais l'espérence mathématique d'une distribution de probabilité n'est rien de plus que la moyenne...

    @Obi : je pense que tes doutes sont fondés. Si la fonction porte n'est pas centrée en 0, la moyenne n'est pas nulle (elle est donnée par la formule que j'ai donné avant).

    @Mariposa : je suis d'accord. D'ailleurs, j'ai dis que je comprenait très bien les formules et les calculs qui conduisent à ces deux résultats. Ce qui m'étonne c'est qu'ils ne soient pas identiques... d'un point de vue physique je veux dire
    "Vous qui entrez, laissez toute espérance" Dante

  18. #14
    mariposa

    Re : Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses

    Citation Envoyé par Cassano Voir le message

    @Mariposa : je suis d'accord. D'ailleurs, j'ai dis que je comprenait très bien les formules et les calculs qui conduisent à ces deux résultats. Ce qui m'étonne c'est qu'ils ne soient pas identiques... d'un point de vue physique je veux dire
    Bonjour,

    il n'y a aucune raison que le maximun de la densité de probabilité coïncide avec le moment d'ordre 2 puisque la distribution n'est pas gaussienne.

  19. #15
    Cassano

    Re : Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses

    Bon ben c'est bon je crois que j'ai eu moi même la réponse à ma question.

    J'ai tracé sur Maple la distribution statistique de Maxwell . C'est bien une gaussienne, centrée en 0, de moyenne nulle, et avec un amx situé en zéro.

    Ensuite j'ai tracé la distribution de maxwell-Boltzmann, c'est-à-dire la distribution de Maxwell pondérée par le facteur . Le truc, c'est que la fonction de distibution ne prend dépend que du module de la vitesse, et donc il faut intégrer sur l'espace des vitesses entre 0 et . Et la on n'a plus une gaussienne : on observe une petite dyssymétrie a droite. Car a cause du facteur de Boltzmann, la distribution est contrainte a 0 en 0, alors qu'elle tend vers 0 en . Ce qui explique pourquoi la vitesse moyenne et la vitesse la plus probable ne sont pas les mêmes (je pense).

    Si des plus spécialistes peuvent confirmer mes élucubrations
    "Vous qui entrez, laissez toute espérance" Dante

  20. #16
    mariposa

    Re : Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses

    Citation Envoyé par Cassano Voir le message
    Bon ben c'est bon je crois que j'ai eu moi même la réponse à ma question.

    J'ai tracé sur Maple la distribution statistique de Maxwell . C'est bien une gaussienne, centrée en 0, de moyenne nulle, et avec un amx situé en zéro.
    Cette formule est correcte uniquement si dans ta formule dv = dVx.dVy.dVz

    Ensuite j'ai tracé la distribution de maxwell-Boltzmann, c'est-à-dire la distribution de Maxwell pondérée par le facteur .
    C'est çà mais tu ne précises pas pourquoi.

    Le truc, c'est que la fonction de distibution ne prend dépend que du module de la vitesse, et donc il faut intégrer sur l'espace des vitesses entre 0 et .
    C'est çà, mais pourquoi? (la réponse est liée à la précedente)

    Et la on n'a plus une gaussienne : on observe une petite dyssymétrie a droite. Car a cause du facteur de Boltzmann, la distribution est contrainte a 0 en 0, alors qu'elle tend vers 0 en .
    Ce n'est pas a cause du facteur de Boltzmann mais à cause du terme en v2 que la distribution est nulle pour v=0

    Ce qui explique pourquoi la vitesse moyenne et la vitesse la plus probable ne sont pas les mêmes (je pense).

    Non, la vitesse moyenne est strictement nulle (heureusement car on est à l'équilibre). La seule vitesse qui est intéressante c'est <v2> car à un facteur près elle vaut k.T. c'est la raison pourlaquelle on assimile la température à l'agitation des molécules.

  21. #17
    gatsu

    Re : Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses

    Citation Envoyé par Cassano Voir le message
    Bonjour à tous,

    J'ai un petit problème avec la stat de Maxwell-Boltzmann en théorie cinétiques des gaz. L'équation de M-B est une gaussienne en exp(-Av2). Si on détermine la vitesse la plus probable, correspondant au maximum de la distribution, on trouve , et si l'on calcule la valeur moyenne, on a .

    Or, la gaussienne est une répartition symétrique. Je n'arrive pas a comprendre pourquoi ces deux vitesses ne sont pas équivalentes. Je comprend les calculs qui mènent à ces deux résultats, mais je ne comprend pas pourquoi ils ne sont pas équivalents. Car on travaille avec un N et un t grand normalement en théorie cinétique des gaz. Personnellement, je vois plutot la vitesse la plus probable comme une moyenne d'ensemble, et la vitesse moyenne comme une moyenne temporelle. Mais pour des gaz sans interactions, l'hypothèse ergodique devrait s'appliquer, non?

    Si quelqu'un a une réponse "éclairante", je suis preneur!

    Merci d'avance
    Salut,

    Il n'y a pas vraiment de mystère là dedans. Dans un premier cas c'est la norme des vitesses que tu vas rencontrer le plus souvent chez une particule et dans l'autre c'est la moyenne c'est à dire qu'elle tient non seulement compte de la valeur la plus probable mais aussi des autres valeurs "moins probables". Comme la norme est une quantité positive, il n'y a pas de compensation possible autour de la valeur la plus probable et donc la moyenne va differer a priori de la valeur la plus probable.
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck

  22. #18
    Cassano

    Re : Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses

    OK. merci a tous pour vos réponses.

    @ Mariposa : je suppose que cela vient du fait de l'isotropie du système. Les vitesses vx, vy et vz sont donc décorrélées, d'ou p(v)=p(vx)p(vy)p(vz).
    "Vous qui entrez, laissez toute espérance" Dante

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  24. #19
    mariposa

    Re : Statistique de Maxwell-Boltzmann et vitesses

    Citation Envoyé par Cassano Voir le message
    OK. merci a tous pour vos réponses.

    @ Mariposa : je suppose que cela vient du fait de l'isotropie du système. Les vitesses vx, vy et vz sont donc décorrélées, d'ou p(v)=p(vx)p(vy)p(vz).
    Absolument.

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