[exo] Travail d'une force

invite945d3fbd · 19/10/2008, 22h09

Voici le problème :
On pousse un bloque de $20 kg$ sur une superficie horizontale en exerçant une force $\vec{F}$ qui forme un angle $\theta$ avec l'horizontale.
Durant le mouvement, la force augmente en accord avec l'expression $F=6x$ [N] où N est le newton et l'angle $\theta$ varie selon la relation $\cos \theta (x)=0.70-(0.02m^{-1})x$ .
a)Calculer le travail realisé par cette force lorsque le bloque se déplace en ligne droite depuis $x=10m$ jusqu'à $x=20m$ .

Ce que j'ai fais : je sais que le travail est défini comme $W=\int_{P_0}^{P_1} \vec{F}d\vec{s}$ . Je connais $P_0$ et $P_1$ qui sont respectivement $10$ et $20$ . Je connais aussi $F$ , qui vaut $6x$ . Et c'est là que je bloque. Comment calculer $d\vec{s}$ ? J'ai essayé plusieurs choses, mais je ne suis arrivé qu'à des absurdités ou des mauvais résultats.

invite166a8317 · 19/10/2008, 22h47

Bonjour,

Attention il faut que tu fasses un produit scalaire entre F et le vecteur déplacement (dx pour moi)

On a alors F*dx = F * dx *cos (Théta(x)) = 6x * dx * (0,70 - 0.02x)

reste plus qu'à faire le calcul...

invite945d3fbd · 19/10/2008, 23h32

Je te remercie, ça a marché.
Pour les intéressés, la réponse est $350 J$ .

invite945d3fbd · 20/10/2008, 05h30

b)Calculer la vitesse du corps en $x=20m$ si le corps a une vitesse initiale nulle. Considérer deux cas : $\mu_d=0$ et $\mu_d=0.05$ .
Je n'arrive pas à la bonne réponse ( $\frac{5.9m}{s}$ et $\frac{4.6m}{s}$ ).
Premier cas : pas de force de friction.
J'ai écris que la force dans la direction de l'axe des $x$ vaut $F\cos \theta (x)=6x(0.7-0.02x)$ . Grâce à la 2ème loi de Newton, je sais que $a(x)=\frac{F_x(x)}{m}=\frac{6x(0.7-0.02x)}{m}=\frac{4.2x-0.12x^2}{m}$ .
Donc $v(x)=\frac{2.1x^2-0.04x^3}{m}$ . En remplaçant $x$ par $20$ , j'obtiens que la vitesse en $x=20$ vaut $2.1\cdot 20 -0.04\cdot 400=\frac{26m}{s}$ ce qui diffère de $\frac{5.9m}{s}$ . Où est (sont) mon(mes) erreur(s)?
Dans le cas où il y a une force de friction dynamique, j'obtiens que la vitesse en $x=20m$ vaut environ $\frac{13.515m}{s}$ .
Les calculs sont long donc je mets juste l'expression de l'accéleration que j'ai obtenu : $a(x)=\frac{6x(0.7-0.02x)-0.05(20\cdot 9.8+6x\cdot \sin \left( \arccos ( 0.7-0.02x) \right) )}{20}$ , donc v(x) vaut l'intégrale de $a(x)$ ...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**invite6dffde4c** · 20/10/2008, 13h26

Bonjour.
Il est de bon ton de respecter les règles élémentaires de politesse: Bonjour, Merci et Au revoir.
Je pense que votre force est mauvaise:
F= 6x cosθ –mg μ
Au revoir.

invite945d3fbd · 20/10/2008, 15h24

Bonjour LPFR,

Je pense que votre force est mauvaise:
F= 6x cosθ –mg μ

C'est l'expression que j'ai utilisé. Dans le premier cas $\mu _d=0$ donc la force vaut $6x\cos \theta (x)$ .
Et dans le second cas je n'ai pas tout écris, mais en effet je suis parti de $F_x(x)=6x \cos \theta -g \mu _d$ et je n'arrive toujours pas à la réponse.
On sait que $F_{\mu _d}=\mu _d\cdot N$ .
J'ai calculé la force normale comment étant égale à $mg+F\sin \theta (x)$ . Pour calculer $\sin \theta (x)$ j'ai dû utiliser la fonction $\arccos$ ... Pour enfin trouver l'expression $a(x)$ que j'ai écrite dans le message 4.
À bientôt.

**invite6dffde4c** · 20/10/2008, 16h17

Re.
Je ne sais pas si c'est un oubli dans TeX ou dans votre formule, mais c'est F= 6xcosθ-mgμ (il manque le m dans votre formule).
Et la force normale est mg -6x sinθ (avec un signe moins), car la force "soulève" un peu l'objet.
Et en aucun cas le résultat peu donner une formule si compliqué.
A+

invite945d3fbd · 20/10/2008, 18h13

Merci pour la réponse.
C'est un oubli dans le tex, mais non dans mon cahier.
Ah!!!! Pardon.... Je n'ai pas fais le dessin, mais la force appuie l'objet sur le sol en formant un angle $\theta (x)$ avec l'horizontale. Elle l'écrase. C'est mon erreur de ne pas avoir expliqué ceci avant.
C'est pour ça que j'ai écris que la normale vaut $mg+F\sin \theta (x)$ .
Bon j'écris tout maintenant :
La force résultante dans la direction de l'axe des x, $F_x$ vaut $F_x=F\cos \theta (x)-F_{\mu _d}=F\cos \theta (x)-\mu _d \cdot N$ .
Comme $N$ vaut $mg+F\sin \theta (x)$ , $F_x=F\cos \theta (x)-\mu _d (mg+F\sin \theta (x))$ .
Or je ne connais pas $\sin \theta (x)$ , donc je le calcule à partir de $\cos \theta (x)$ , d'où $\sin \theta (x)=\sin (\arccos (0.7-0.02x))$ . À partir de là je retrouve exactement la formule que j'ai mise dans le message 4... Mais le résultat ne concorde pas avec la réponse de l'exercice. Je ne vois pas où j'ai fais d'erreur.
Salut.

invite166a8317 · 20/10/2008, 19h33

Bonsoir,
je n'ai pas complètement suivi ton calcul mais tu peux aussi utilisé le fait que :
sin²a + cos²a = 1

invite166a8317 · 20/10/2008, 19h41

Personnellement je pense que arccos (théta (x)) n'est pas égale à arccos (0,7-0,02x)

mais tu peux écrire que sin² (théta) = 1 - (0,7-0,02x)²

**invite6dffde4c** · 20/10/2008, 19h44

Re.
Je n'avais pas vu que l'angle dépendait de x. Autant pour moi.
Quand on fait des calculs numériques on peut passer du sinus au cosinus par des fonctions inverses. Mais dans les calculs analytiques, autant passer par $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}$ .
Ce n'est pas très sympathique, mais c'est tout de même moins horrible de sin (arcos(x)).

Une autre chose. Quand vous intégrez l'accélération pour avoir la vitesse, d'où part l'objet? De 0 ou de 10 m? Il faut que votre intégrale soit définie. Et dans ce cas vous êtes parti à l'arrêt de la position zéro.

À demain (j'arrête pour aujourd'hui).

invite166a8317 · 20/10/2008, 19h48

C'est surtout que dans le premier exo il était écris :

Cos (théta) = 0,7 - 0,02 x et non théta = 07 - 0,02 x

invite945d3fbd · 20/10/2008, 20h54

Quand on fait des calculs numériques on peut passer du sinus au cosinus par des fonctions inverses. Mais dans les calculs analytiques, autant passer par .
Ce n'est pas très sympathique, mais c'est tout de même moins horrible de sin (arcos(x)).

Oui c'est vrai, mais tout de même le résultat ne doit pas changer.

C'est surtout que dans le premier exo il était écris :

Cos (théta) = 0,7 - 0,02 x et non théta = 07 - 0,02 x

Oui, $\cos \theta (x)=0.7-0.02x \Leftrightarrow \theta (x)=\arccos (0.7-0.02)$ .

Une autre chose. Quand vous intégrez l'accélération pour avoir la vitesse, d'où part l'objet? De 0 ou de 10 m? Il faut que votre intégrale soit définie. Et dans ce cas vous êtes parti à l'arrêt de la position zéro.

Je me cite (message 4) :

b)Calculer la vitesse du corps en $x=20m$ si le corps a une vitesse initiale nulle. Considérer deux cas : $\mu _d=0$ et $\mu _d=0.05$ .

Finalement je crois que je n'ai pas fais d'erreur. Je demanderai la réponse aux professeurs mercredi. Il y a sûrement une erreur dans la réponse. Notez que mon résultat est faux même lorsqu'il n'y a pas de friction (donc $\sin \theta (x)$ n'apparaît même pas.).
Je vous tiendrai au courant. Sur ce, bonne nuit et à bientôt.

invite166a8317 · 20/10/2008, 21h00

Autant pour moi...

Au revoir.

invite945d3fbd · 22/10/2008, 15h37

Re-bonjour,
Un professeur m'a fait voir comment il a résolu le problème, si je me rappelle bien il l'a fait à l'aide du travail et a calculé l'énergie dissipée par la force de friction. Cela étant dit, ma manière de faire n'est pas mauvaise et mes résultats son bons. Ils ne concordent pas avec la réponse car l'énoncé pouvait être interprété de deux manières différentes : Soit le corps commence à bouger à $x=10 m$ , soit à $x=0m$ . J'ai supposé qu'il commençait à bouger à $x=0m$ ...

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