filiation radioactive

[inviteba5a385f]

bonjour, je suis étudiant en première année de médecine et j'ai un petit soucis concernant une formule dans mon cours de médecine nucléaire,
et plus particulièrement concernant la filiation radioactive
où l'élément père 1 donne l'élément fils 2 (radioactif) donnant lui même un élément 3 (radioactif ou non cela n'a pas d'importance)

nous avons donc:

dN1 / dt = -λ1N1

dN2 / dt = λ1N1 - λ2N2

puis dN3 / dt = λ2N2

jusque là aucun soucis,

ensuite le prof nous donne la formule:

N2 = (λ1)/(λ2-λ1) * N1(0) * ( exp(-λ1t) - exp(-λ2t) )

là est mon soucis puisque ne voulant pas apprendre bêtement la formule j'ai tenté d'intégrer dN2 / dt = λ1N1 - λ2N2
au départ je suis partis du principe que N2(0)=N1(0)
et ne voyant que cela ne marchait pas j'ai pris N2(0) = N1(0)-N1(t) bref cela me conduisait à des intégrales impossible à résoudre c'est pourquoi je souhaiterais un éclaircissement concernant ce sujet

merci d'avance à celui ou celle qui prendra sur son temps pour m'aider
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[KLOUG]

Bonjour

Je pourrait bien sûr vous fournir toute la démonstration, mais sur le forum l'écriture des expressions mathématiques n'est pas chose aisée
Je vais essayer quand même.
En général j'utilise plutôt les activités et les périodes dans les formules.
Ceci dit ça marche avec lambda et les noyaux.

A t = 0 on a A_1,0 et A_2,0 = 0 ou N_1,0 et N_2,0 = 0

dN2 = λ1N1dt - λ2N2dt
dN2/dt = λ1N1 - λ2N2
dN2/dt + λ2N2 = λ1N1

Or A = λN

1/λ2 . dA2/dt + A2 = A1
dA2/dt + λ2A2 = λ2A1

Or A1 = A1,0 e^-λ1t

dA2/dt + λ2A2 = λ2 A1,0 e^-λ1t

Equa diff avec second membre

Résolution de dA2/dt + λ2A2 = 0
A2 = K e^-λ2t
Avec second membre
solution particulière supposée : k e^-λ1t

-k λ1 e^-λ1t + k λ2 . e^-λ1t = λ2 . A1,0 e^-λ1t

k (λ2 - λ1) = λ2 . A1,0
k = λ2 / (λ2 - λ1) . A1,0

solution générale
A2 = K e^-λ2t + λ2 / (λ2 - λ1) . A1,0 e^-λ1t

à t = 0 A2 = 0
d'où on tire K

K = -λ2 / (λ2 - λ1) . A1,0

Forme définitive

A2 = λ2 / (λ2 - λ1) . A1,0 [e^-λ1t - e^-λ2t]

Comme je préfère les périodes j'utilise plutôt la formule suivante :

A2 = T1 / (T1 - T2) . A1,0 [e^-λ1t - e^-λ2t]
je trouve ça plus simple et je l'ai en mémoire depuis longtemps.
avec bien sûr λ1 = Ln2/T1 et λ2 = Ln2/T2

En retransformant les activité en nombre de noyaux et les périodes en λ, vous retomberez sur votre formule.

Mais dans les tables nucléaires les données que l'on trouve le plus facilement ce sont les périodes et l'on demande plutôt de calculer des activités.


Bonne continuation
KLOUG

[inviteba5a385f]

merci beaucoup pour votre démonstration, cependant l'equation différentielle que vous avez résoud

"dA2/dt + λ2A2 = λ2 A1,0 e-λ1t

Equa diff avec second membre

Résolution de dA2/dt + λ2A2 = 0
A2 = K e-λ2t
Avec second membre
solution particulière supposée : k e-λ1t"

est une equation différentielle avec une fonction, sa dérivée et une autre fonction non?
et le mode de résolution implique une équation supposée
enfin je vous demande si c'est un type d'equation différentielle qu'on ne voit pas en terminale ( c'est à dire du type y' = ky ou alors y' = ay + b )

dites moi si je me trompe svp

et merci encore

[KLOUG]

Bonjour
J'avoue avoir un peu "oublié" mes maths en cours de route.
J'utilise la formule et la démonstration c'est un peu de tête que je m'en souviens. J'essayerai de vérifer.
Ceci dit c'est intéressant de la démontrer; mais c'est encore plus utile de l'appliquer.
Bonne journée
KLOUG

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteba5a385f]

inutile de chercher j'ai trouvé ma réponse en fouinant sur des sites plutôt compliqué à trouver
enfin vous m'avez bien eclaircit sur ce point
merci et bonne continuation