Groupes de symétrie

[invite54165721]

J'ai du mal à voir tout ce qui tourne autour de la notion de symétrie.
La première étant bien sur qu'est ce qu'une symétrie de la nature.
Il y a ensuite les groupes de symétrie.
Peut on en parler, indépendemment de modèles avec un lagrangien sur lequel ils s'appliquent?
cela semble bien etre le cas pour le groupe de pointcaré et pour CPT
Avec son groupe E8 Lisi a t il proposé un lagrangien invariant par un tel groupe de transformation?
Avait on les superalgebres avant le modele de Wess Zumino
J'espère que vous saisissez le sens de ma questin.
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[mariposa]

J'ai du mal à voir tout ce qui tourne autour de la notion de symétrie.
La première étant bien sur qu'est ce qu'une symétrie de la nature.
Il y a ensuite les groupes de symétrie.

Bonjour,

Opération de symétrie.

Pour comprendre la notion de symétrie on peut partir de la notion de la symétrie des objets géométriques. Un carré possèdent des éléments de symétries parceque si l'on fait une rotation de 90° autour d'un certain point (le "centre") celui-ci se recouvre lui-même.

Groupe de symétrie.

Il est facile de faire l'inventaire de toutes les opérations de symétrie du carré et de constater que si l'on définit la succesion (composition)de 2 opérations de symétrie on constatera facilement que les opérations de symétrie forment un groupe G.

Groupes discrets, groupes continus.

Si au lieu de prendre un carré j'avais pris un cercle je constate que le nombre de transformations est infini. Il s'agit d'un groupe continu, alors que le carré définissait un groupe discret (le nombre d'éléments est fini.

De la géométrie à l'algébre.


L'invariance d'une figure géométrique peut se transformer n expression algébrique. Par exemple pour le cercle on peur écrire:

x2 + y2 = R2

Les transformations qui laissent cette expression invariantes définissent un groupe. En l'occurence il s'agit d'un ensemble de matrices 2*2 à coefficient dans R qui conserve la norme, le groupe orthogonal noté SO(2).

On peut donc avoir des expressions algébriques qui restent invariantes sous des transformations mathématiques et qui n'ont pas d'équivalent géométriques.

Les invariances de la nature.

Prenons la loi de Newton

F = m.dv/dt

Cette loi reste invariante lorsque on effectue :

une translation temporelle
Une translation spatiale.
Une rotation spatiale.
Un changement de repère inertiel.

L'ensemble de ces transformations forment le groupe de Galilée.


Si on prend les équations de Maxwell on découvre que celle-ci sont invariantes selon un groupe appelé groupe de Poincaré. Le groupe de Galilée n'étant qu'un sous-groupe du groupe de Poincaré.

Donc lorsque l'on écrit des expressions mathématiques qui doivent intégrer la RR ces expressions doient être automatiquement invariante sous le groupe de Poincaré.

En QFT On montre qu'en plus de l'invariance du groupe de Poincaré les expressions (actions, Lagragiens) doivent être invariante sous une transformation discrete produit des 3 transformations CTP

[invité576543]

Le groupe de Galilée n'étant qu'un sous-groupe du groupe de Poincaré.

Je me permets de signaler que c'est incorrect. (Ne serait-ce que parce que ce sont deux groupes à 10 paramètres).

Par contre tout deux ont des symétries en commun, les translations 4D par exemple (un sous-groupe à 4 paramètres).

Cordialement,

[invite54165721]

Une des questions que je me pose concerne les groupes de symétries et les hamiltoniens.
Prenons le groupe SU(5) qui a été envisagé comme groupe de symétrie.
On a pris un multiplet avec 5 particules et un lagrangien conservé par des transformations ad hoc.
Il semble que ca a donné des prévisions non vérifiées.
Est ce le Lagrangien proposé qui n'était pas le bon ou cela disqualifie t il SU(5) comme groupe de symétrie?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Karibou Blanc]

Est ce le Lagrangien proposé qui n'était pas le bon ou cela disqualifie t il SU(5) comme groupe de symétrie?

En général, une fois une symétrie postulée, on écrit le lagrangien le plus général possible respectant celle-ci. Choisir le lagrangien revient à choisir la symétrie et les champs. Apres tout le reste est fixé, mis à part la valeur des coefficients de chaque terme. On pourrait alors penser qu'il suffit d'éliminer les termes indésirés en prenant un coefficient nul. Certes, mais c'est oublier que le lagrangien constitue un approximation classique de ces coefficients, et que ceux-ci recoive des corrections quantiques non-nulles (puisque ces termes sont autorisés par la symétrie). Ainsi, il est impossible d'éliminer des termes symétriques du lagrangien, à moins d'ajuster la valeur classique à celle de la correction quantique pour que leur somme s'annule. On appelle cela un "fine tuning".

Je me permets de signaler que c'est incorrect. (Ne serait-ce que parce que ce sont deux groupes à 10 paramètres).

En effet ! http://www.lpm.u-nancy.fr/webperso/c...re-19Oct06.pdf

[vaincent]

Il y a ensuite les groupes de symétrie.
Peut on en parler, indépendemment de modèles avec un lagrangien sur lequel ils s'appliquent ?

Les mathématiciens le font en tout cas ! Mais on sait que la nature recèle de nombreuses symétries plus ou moins visibles, et donc l'utilisation des groupes de symétrie semble inévitable, même s'il est tout à fait possible de travailler sans. Après tout est-ce-qu'on peut travailler sur les ondes électromagnétiques sans savoir que les équations de Maxwell son invariante de Lorentz ? Il me semble que oui. Mais savoir qu'elles sont effectivement invariante de Lorentz permet de réveler une symétrie de la nature non-triviale, la quantité conservée étant ici la vitesse de la lumière.

Avec son groupe E8 Lisi a t il proposé un lagrangien invariant par un tel groupe de transformation?

Oui à la section 3.2. Mais sous forme de l'action "of everything" (!). Il détail ensuite quelques sous parties de cette action , mais très succintement, son étude détaillée restant à faire en majeur partie.