problème vitesses au périgée et à l'apogée

[inviteb61db6a9]

Bonjour!

j'ai un test de physique bientôt et j'essaie de résoudre ce problème de physique sans parvenir à la bonne réponse.. et je n'arrive pas à comprendre en quoi mon raisonnement est faux. peut-être pouvez vous m'aider? voici la donnée:

on donne le le périgée (rmin) et l'apogée (rmax) de l'orbite d'un satellite et on demande les vitesses minimale (vmin) et maximale (vmax) ainsi que la période.

mon raisonnement :

la vitesse est minimale à l'apogée, maximale au périgée.

on a conservation de l'énergie mécanique.
donc au périgée :
Ecin = 1/2*m*vmax^2
Epot = -G*M*m/(R+rmin)

avec m=masse satellite M=masse de la Terre R=rayon de la Terre

à l'apogée:
Ecin=Ecin = 1/2*m*vmin^2
Epot = -G*M*m/(R+rmax)

d'où ma première équation à deux inconnues :
Emec:
1/2*m*vmax^2-G*M*m/(R+rmin)=1/2*m*vmin^2-G*M*m/(R+rmax)

de plus, de par la conservation de la quantité de mouvement (ou la 2e loi de kepler), j'obtiens ma deuxième équation:

rmin/rmax=vmin/vmax

voilà. mais avec ça je n'arrive pas à la bonne solution.
avec les valeurs numériques données : rmin=107km rmax=352km
j'obtiens vmax=2.22 km/s alors que la réponse attendue est vmax = 7.9 km/s.

alors peut-être que mon raisonnement est complètement faux, que je n'utilise pas les bonnes relations,.. je ne vois vraiment pas comment empoigner le problème autrement....
si quelqu'un peut m'indiquer mon erreur ça serait top!

merci!
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[inviteb61db6a9]

petite correction : la deuxième équation ne provient évidemment pas de la conservation de la quantité de mouvement mais de la conservation du moment cinétique. lapsus...

[invitea3eb043e]

L'erreur est ici :
rmin/rmax=vmin/vmax

Ce n'est pas rmin et rmax qu'il faut considérer mais R+ rmin et R+rmax dans la loi de Képler

[inviteb836950d]

Bon j'ai fait la même bêtise, merci jean paul...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb61db6a9]

L'erreur est ici :
rmin/rmax=vmin/vmax

Ce n'est pas rmin et rmax qu'il faut considérer mais R+ rmin et R+rmax dans la loi de Képler

arf, évidemment!
Merci beaucoup à toi!

[inviteb61db6a9]

..je vais encore devoir soliciter votre aide...
maintenant je n'arrive pas à trouver la période du satellite! c'est sûrement très bête mais je ne vois pas comment m'y prendre.. j'ai pensé prendre la vitesse moyenne vmoy=1/2*(vmax+vmin) mais ensuite comment trouver le périmètre de l'ellipse?
ou alors faudrait-il plutôt utiliser la 3e loi de Kepler T^2/a^3=cste ? mais dans ce cas comment déterminer cette constante?

merci beaucoup!

[invitea3eb043e]

Le moment cinétique c'est, à un facteur 2 m près la vitesse angulaire balayée par le rayon vecteur. Tu peux aisément voir qu'au périgée ou à l'apogée le produit r v dt est le double de l'aire balayée pendant le temps dt.
D'après la loi des aires, cette vitesse angulaire est constante et tu peux la connaître si tu as les paramètres de l'apogée par exemple.
Donc il faut utiliser la formule de l'aire de l'ellipse et rien à voir avec le périmètre qui est difficile à calculer et inutile de surcroît. Tu en tires aisément la période.

[inviteb61db6a9]

Le moment cinétique c'est, à un facteur 2 m près la vitesse angulaire balayée par le rayon vecteur. Tu peux aisément voir qu'au périgée ou à l'apogée le produit r v dt est le double de l'aire balayée pendant le temps dt.
D'après la loi des aires, cette vitesse angulaire est constante et tu peux la connaître si tu as les paramètres de l'apogée par exemple.
Donc il faut utiliser la formule de l'aire de l'ellipse et rien à voir avec le périmètre qui est difficile à calculer et inutile de surcroît. Tu en tires aisément la période.

merci encore. je n'y avais pas pensé du tout..
bonne fin de journée!

[inviteb61db6a9]

en y repensant je ne vois pas pourquoi la vitesse angulaire serait conservée pour un tel mouvement.
on a la conservation du moment cinétique. et avec la vitesse en coordonnées polaires, avec O, le foyer de l'ellipse, on a v=dr/dt*e_r + r Ω e[INDß[/IND] (r= la norme du vecteur position, e_r le vecteur unitaire parallèle à r,e[INDß[/IND] le vecteur unitaire orthogonal à r, Ω=la vitesse angulaire)

donc on trouve L = m r^2 Ω d'où je dirais que r^2*Ω est une constante du mouvement et pas Ω (?).

donc en fait dans mon problème, si j'écris vmax= (R+rmin)*Ω puis T=2π/Ω, il s'agirait d'une approximation, en fait on aurait plutôt v(t)=vmax+vmax*dt = (R+rmin)*Ω ? mais là, je ne peux plus obtenir la période

ou alors, fort possible aussi, j'ai mal compris tes explications?

[inviteb61db6a9]

..désolée c'est pas très esthétique tout ca.
je voulais écrire e _ß et ce qui est en gras signifie vectoriellement (et donc la vitesse v (première apparition) devrait aussi être en gras)

[invitea3eb043e]

Je me suis mal exprimé en effet, la vitesse angulaire n'est pas constante, c'est la vitesse de balayage de l'aire qui l'est. Désolé de t'avoir induit en erreur.
L'apogée c'est a + c tandis que le périgée c'est a - c. A partir de là on déduit b² = a² - c² où b est le demi petit axe et l'aire de l'ellipse c'est pi*a*b

[inviteb61db6a9]

d'accord! merci beaucoup pour toutes ces précisions!