[exo]Plan incliné mobile (pré universitaire)

[invite1ef9cf8e]

Bonjour.
Ca n'est certainement pas aussi compliqué ou aussi intéressant que certaines discussions à côté, mais bon, c'est là ou j'en suis pour l'instant..

Bon, alors ci dessous suit le problème et mon raisonnement jusque la ou je crois m'en sortir, c'est pas long :

Problème :

Un bloc de masse m est posé sur un plan incliné triangulaire de masse M posé lui même sur une table horizontale. Toutes les surfaces sont sans frottement. Trouver le module de l'accélération du plan incliné.

Bon, je me suis dit ceci :
(je place mes axes x parallelle à la surface de la table dans le sens de l'accélération de mon plan, y vertical vers le haut)
Le petit bloc de masse m va glisser sur le plan incliné.
Le Plan exerce sur lui une force normale N, en conséquence de quoi par réaction le bloc applique une force égale et opposée sur le plan.
En appelant W l'angle que fait la pente du plan incliné avec l'horizontale, la composante horizontale de cette force responsable de l'accélération de mon plan vaut : N*sinW
Et j'applique la 2nde loi de Newton, je dis:
(Sigma)F=ma<=> N*sinW=MA ou A est l'accélération communiquée à mon plan par rapport au sol.
Mais la je me pose une question et j'arrive pas à trancher. Quelque part il me semblerait plus logique de poser N*sinW=(m+M)A, puisque le bloc de masse m se trouve sur le plan. Mais en même temps je suis pas sur. Quelqu'un pourrait me dire laquelle des deux est correcte ? (m+M)A ou MA ? et surtout m'expliquer pourquoi choisir l'un plutôt que l'autre ? Merci.

De la je pourrai essayer de poursuivre mon problème et j'aurai sans doute compris quelque chose.

Petit schéma :


(ca va comme ca l'image ? )
Merci d'avance
-----

[invitea84d96f1]

Salut,
La petite flèche rouge inclinée sur ton dessin (// au plan incliné) ne peut pas être bonne à utiliser directement dans l'équation de Newton... c'est une accélération relative.
L'accélération absolue du bloc = l'accélération relative du bloc par rapport au plan incliné + l'accélération d'entraînement qui est l'accélération absolue du plan incliné. Elle n'est donc pas // au plan incliné.
J'essayerai de trouver un temps libre ce soir pour résoudre ton problème

[invite1ef9cf8e]

Merci de ta réponse et de même prendre le temps de le faire Tuan !
Pour l'accélération relative du petit bloc, je sais bien.
En fait ce que je compte faire, dire que

l'accélération du petit bloc selon x (notons ca a') vaut :

a'= A-a*cosW

et que l'accélération du petit bloc selon y notons ca a") vaut :

a" = -a*sinW

l'accélération totale du petit bloc par rapport au sol valant

a = ( (a')²+(a")² )^0.5

mon problème est que je demandais si je devais dire, pour le plan, que selon x (Sigma)F = MA ou (Sigma)F = (m+M)A. Mais en y planchant encore, je me suis dit qu'en considérant la réaction à la normale (celle responsable de l'accélération de mon plan donc), je considérais deja la composante "poids" du petit bloc, donc que le choix à poser est : (Sigma)F = MA. Est-ce bien correct comme raisonnement ?

En faisant ca et en continuant ce raisonnement ke trouve :

pour le bloc, selon x : (Sigma)F = -N*sinW = m(A - a*cosW)

J'additionne ca avec l'equation pour le plan incliné ((Sigma)F= N*sinW = MA) pour éliminer N :

NsinW - NsinW = MA + m(A - acosW) <=> 0 = A (m+M) - ma cosW
<=> m*a*cosW = A (m+M)

Et donc A = m*a*cosW/(m+M) ou a est l'accélération du petit bloc p/r au plan incliné. C'est pas encore tout à fait résolu parce que a est pas vraimentune donnée, faudrait encore l'éliminer..

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Intéressant et pas facile le petit problème.
On ne peut appliquer les lois de Newton que dans le référentiel inertiel: celui du centre de masses du système bloc + plan incliné (qui est celui du sol).

Vous avez bien N*sinW=MA pour le plan incliné, mais la réaction à cette force est celle qui donne l'accélération horizontale au bloc.
Il vous reste l'accélération verticale du bloc qui doit être due au poids moins la composante verticale de la normale.
Et je crois que la dernière relation est que le rapport entre l'accélération verticale et la différence (ou somme de valeurs absolus) de l'accélération horizontale du bloc et le l'accélération horizontale du plan, doit être parallèle à la pente du plan.
Je crois qu'avec ces trois équations on doit pouvoir trouver les trois accélérations.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea84d96f1]

...
mon problème est que je demandais si je devais dire, pour le plan, que selon x (Sigma)F = MA ou (Sigma)F = (m+M)A. Mais en y planchant encore, je me suis dit qu'en considérant la réaction à la normale (celle responsable de l'accélération de mon plan donc), je considérais deja la composante "poids" du petit bloc, donc que le choix à poser est : (Sigma)F = MA. Est-ce bien correct comme raisonnement ?
...

pour moi, oui.
Je poste d'abord mon schéma avec 5 équations à 5 inconnues. Je donnerai l'explication ensuite.

[invitea84d96f1]

Petites réflexions pour le choix des inconnues et leur sens positif
- c'est évident pour N,R…
- le plan incliné (corps (II)) part horizontalement à droite, d'où A (vecteur)
- le bloc (corps (I)) part à gauche ou/et vers le bas… Si (II) était infiniment plus "lourd", (I) suivrait la pente. Si (I) était beaucoup plus lourd que (II) (comme un coffre-fort ) le plan disparaîtrait vite et (I) ferait une "chute libre"… De là, je donne une inclinaison "u" plus forte que "w" à a (vecteur). Cela se justifiera par la 5^e équation.

Dans mon schéma joint j'ai écrit:
- l'équation vectorielle de Newton pour le corps (II), donc 2 équations algébriques (1) et (2) (faciles à comprendre ?)
- de même pour le corps (I), 2 équations algébriques (3) et (4).
On a eu jusqu'ici 4 équations à 5 inconnues A,a,N,R et u.
Une 5e équation s'obtient par la condition cinématique : a diffère de A par un vecteur-accélération-relative dont on connaît la direction seulement. Le triangle en vert explique la relation entre les 3 accélérations. Dans ce triangle on exprime la hauteur (en grise) par 2 manières, d'où l'équation (5).
A suivre…

[invitea84d96f1]

… suite
Pour simplifier l'écriture… cw=cos(w), sw=sin(w), cu=cos(u) et su=sin(u)

-(5) devient A.sw = a.su.cw –a.cu.sw (sin d'une différence)
ou mA.sw = ma.su.cw –ma.cu.sw (5')
- (1) et (3) donnent : MA = ma.cu (6)
- (2) et (4) donnent : (M+m)g –R = ma.su (7)
- (6) et (7) dans (5') donnent mA.sw = ((M+m)g –R).cw –MA.sw
ou ((M+m)g –R).cw –(M+m)A.sw = 0
ou encore… R.cw = (M+m)g.cw –(M+m)A.sw (8)

- multip. (1) par cw et (2) par sw…
N.sw.cw = MA.cw
N.sw.cw = -Mg.sw +R.sw
d'où R.sw = MA.cw + Mg.sw (9)

… OK ? ça va ?…

- multip. (8) par sw et (9) par cw…
R.cw.sw = (M+m)g.cw.sw –(M+m)A.sw.sw
R.sw.cw = MA.cw.cw + Mg.sw.cw
on élimine R et obtient A

A = mg.cos(w).sin(w) / (M +m.sin²(w))

A suivre... le temps que je vérifie ma dactylo.

[invitea84d96f1]

Avec (1), on obtient N = MA/sw = Mmg.cos(w) / (M +m.sin²(w))
La somme des carrés de (3) et de (4) donnera "a"
La division de (4) par (3) donnera la tangente de u
R s'obtiendra à partir de (2)
Ben voilà... si j'ai le courage je continuerai.
A+

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je suis complètement d'accord avec le raisonnement et les (très bons) dessins de Tuan. Mais je pense qu'on peut faire une misse en équations un peu plus légère. Avec 4 équations et non 3 comme j'avais dit hier. Je me suis trompé en comptant.
J'appelle l'accélération vers la gauche du bloc et l'accélération vers le bas. Et j'appelle l'angle du plan incliné (je garde les oméga pour les pulsations).
Voici mon système:




La seule équation qui mérite une explication est la (4). Dans le repère du plan incliné, l'accélération du bloc est dirigée suivant la pente. Et dans ce repère l'accélération horizontale du bloc et ah+A.
Je n'afficherai pas mes résultats et j'invite Tuan à faire de même. Nous ne devons pas nous substituer à Kiwiwak pour faire son exercice.
Je lui suggère d'éliminer, dans l'ordre: N, A et .
Kiwiwak, une fois que vous aurez résolu le système, montrez-nous vos résultats et nous vous dirons si nous sommes d'accord.
Au revoir.

[invitea84d96f1]

Bonjour,
Je crois sincèrement que notre jeune ami a assez "bavé" avec cet exercice pas si facile. L'explication détaillée que j'ai donnée est indispensable pour assurer un raisonnement rigoureux. La résolution du système d'équations proposées n'est pas simple non plus. Il devrait y avoir une autre manière...mais je ne l'ai pas trouvée à l'immédiat.
Cordialement

[invite6dffde4c]

Bonjour,
Je crois sincèrement que notre jeune ami a assez "bavé" avec cet exercice pas si facile. L'explication détaillée que j'ai donnée est indispensable pour assurer un raisonnement rigoureux. La résolution du système d'équations proposées n'est pas simple non plus. Il devrait y avoir une autre manière...mais je ne l'ai pas trouvée à l'immédiat.
Cordialement

Re.
Je pense que vos excellents dessins font 80% de la solution de l'exercice. Les explications des équations que nous avons données font 10%. On peut lui laisser le plaisir de faire les 10% restants.
En fin, c'est mon avis.
Cordialement,

[invite1ef9cf8e]

Tout d'abord un tout grand merci.
Ensuite : Nom d'un chien, je comprends mieux pourquoi j'ai eu tant de mal..
A = (m*g*sinW*cosW)/(M+m*sin²W) donc !

est la réponse à la question initiale.


J'y arrive assi par les 4 equations de LPFR

en élimnant par soustraction N entre 1 et 2

et en écrivant A en focntion du reste, que je substitue à A dans 4

Ce qui me permet de trouver une valeur de a(v) en fonction de a(h) M, m Tan(alpha) , ce que je substitue dans 3, ou je substitue aussi N par la valeur qu'il a dans l'equation 2 pour faire réapparaitre un terme A (c'est ce que je cherche).

Enfin, apres quelques réorganisation de ce que j'obtiens la, je remplace le dernier a(h) par MA/m (tiré de l'élimination entre 1 et 2=
ce qui vient se simplifier merveilleusement bien avec le m/M en facteur juste devant a(h).

Finalement en faisant passer les A du même côté et en mettant en évidence, je tombe sur

A = mg/(M*cot(alpha)+(M+m)*tan(alpha)

Ce qui peut s'écrire comme

A = (m*g*sin(Alpha)*cos(Alpha))/(M+m*sin²(Alpha)) En écrivant Tan et cot en tant que sin/cos et cos/sin, en passant au meme dénominateur (sin cos) qui passe en haut, en mettant en évidence A et en posant que sin² + cos² = 1

Y avais sans doute moyen d'eliminer plus proprement que ce que j'ai fait, m'enfin j'arrive à la bonne réponse.

Merci à tous les deux
Tuan, puis-je garder ton schéma des forces ?

[invitea84d96f1]

Re:
Mais bien sûr… ce que je publie devient naturellement publique ! (c'est mon avis… tiens, remarque que c'est déjà dans les mots, la société a tout déformé…).

J'ai une question subsidiaire, je voudrais avoir aussi l'avis de LPFR : J'ai failli utiliser ici la conservation de la quantité de mouvement et la conservation de l'énergie pour étudier les vitesses des corps (au départ la quantité de mouvement est nulle (vectoriellement bien entendu)).
Mais il y a le sol immobile puis la pesanteur ! Voulez-vous bien me rafraîchir la mémoire ? Il me semble que la condition de la conservation de la quantité de mouvement vienne de la somme nulle des forces ? non ?
Cordialement.

[invite6dffde4c]

J'ai une question subsidiaire, je voudrais avoir aussi l'avis de LPFR : J'ai failli utiliser ici la conservation de la quantité de mouvement et la conservation de l'énergie pour étudier les vitesses des corps (au départ la quantité de mouvement est nulle (vectoriellement bien entendu)).
Mais il y a le sol immobile puis la pesanteur ! Voulez-vous bien me rafraîchir la mémoire ? Il me semble que la condition de la conservation de la quantité de mouvement vienne de la somme nulle des forces ? non ?
Cordialement.

Re.
Oui, vous avez raison.
La conservation de la quantité de mouvement et la conservation de l'énergie dérivent des lois de base que nous avons utilisées ici.
Moi aussi, au départ, j'avais pensé que ce serait un chemin plus court, mais je n'ai pas trouvé le raccourci. J'ai essayé avec la conservation de l'énergie et la quantité de mouvement, mais les équations n'étaient pas plus simples.
De plus, je trouve que court-circuiter les forces et travailler avec l'énergie, bien que cela donne parfois de solutions plus courtes, peut aussi cacher les détails d'un problème. Ce n'est pas toujours le plus pédagogique (ça dépend du problème).
Cordialement,