Fourier inverse "à la carte"

[Tropique]

Hello,

Je souhaite créer dans le domaine temporel une forme d'onde correspondant à un spectre donné. Le spectre est en "peigne", avec toutes les harmoniques d'ordre 2, 3, ... jusqu'à n, d'amplitudes égales, n étant une valeur arbitraire, pex. 10 ou 20 mais pas nécéssairement infinie. La fondamentale est absente.

Je n'ai pas besoin de phases particulières entre les harmoniques, il y a donc une infinité de formes d'ondes qui répondent à ces critères.
Je souhaite utiliser ces degrés de liberté pour ajouter des contraintes:
Idéalement, l'amplitude ne pourrait prendre que deux valeurs, 0 et V.
Eventuellement, il serait possible, si nécéssaire, d'ajouter des valeurs. Comme ce signal servira à de l'analyse de signal et sera multiplié à un autre, il commandera un switch qui découpera le signal incident. On pourrait donc envisager p.ex. un signal bipolaire ou à 3 états: 1, 0, -1; le signal passe, il ne passe pas, il passe en étant inversé.

Je souhaite donc, à partir d'un spectre arbitraire, trouver une méthode déterministe pour créer le signal correspondant avec la contrainte des amplitudes discrètes.

NB: ce qui se passe dans le spectre au delà des 10 ou 20 raies utiles est sans importance et pourra être filtré.

Dans un problème comparable, il existe une méthode permettant de déterminer les instants de commutation d'une forme d'onde PWM pour ne générer que la fondamentale, et éliminer toutes les harmoniques jusqu'à un ordre arbitrairement choisi: ce sont les "magic sinewaves":
http://www.tinaja.com/glib/msintro1.pdf
C'est donc à peu près le contraire de ce que je souhaite faire, et je pense que ça doit être possible également.
Si quelqu'un a une idée géniale....
Merci.
-----

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Votre condition d'amplitude discrète 0 ou V, s'applique au signal résultant ou à chacun des harmoniques que vous additionnez?
Au revoir.

[invite15928b85]

Bonjour.
Peut-être une piste du côté des séquences binaires de longueur maximale (m-sequence en anglais). L’enveloppe du spectre est en sinus cardinal mais en choisissant une séquence assez longue, il peut y avoir un bon paquet de raies avant le premier zéro. De là à considérer que les 10 ou 20 premières sont d’amplitudes ~ identiques, à voir suivant la précision nécessaire.
Sinon, ces séquences sont particulièrement simples à générer par des registres à décalage bouclés convenablement. Et seulement deux niveaux de sortie.
Bonne journée.

[Tropique]

Bonjour.
Votre condition d'amplitude discrète 0 ou V, s'applique au signal résultant ou à chacun des harmoniques que vous additionnez?
Au revoir.

Au signal résultant, qui devrait donc idéalement être une séquence binaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tropique]

Bonjour.
Peut-être une piste du côté des séquences binaires de longueur maximale (m-sequence en anglais). L’enveloppe du spectre est en sinus cardinal mais en choisissant une séquence assez longue, il peut y avoir un bon paquet de raies avant le premier zéro. De là à considérer que les 10 ou 20 premières sont d’amplitudes ~ identiques, à voir suivant la précision nécessaire.
Sinon, ces séquences sont particulièrement simples à générer par des registres à décalage bouclés convenablement. Et seulement deux niveaux de sortie.
Bonne journée.

A priori, avec de telles séquences, je vais avoir des raies espacées de Fbase/2^m, càd un spectre quasi continu si m est grand. Je ne vois donc pas très bien comment exploiter cela.
Il y a également le problème de la porteuse supprimée: une impulsion de Dirac ferait presque idéalement l'affaire (à part que beaucoup d'énergie est perdue dans les raies allant jusqu'à l'infini), mais la fondamentale est présente également. Et la suppression de la fondamentale est essentielle.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Il me semble que vous devriez aller voir du côté des fonctions de Walsh et de la transformé d'Hadamard, qui sont mieux adaptées pour l'utilisation de fonctions carrées.
Mais je ne suis pas connaisseur du sujet.
Au revoir.

[Tropique]

Bonjour.
Il me semble que vous devriez aller voir du côté des fonctions de Walsh et de la transformé d'Hadamard, qui sont mieux adaptées pour l'utilisation de fonctions carrées.
Mais je ne suis pas connaisseur du sujet.
Au revoir.

Ce genre de méthode est effectivement envisageable. Mais pour arriver à faire ce que je veux faire, il n'est pas possible de survoler la théorie pour en extraire un "raccourci" utilisable directement: il faut la maîtriser complètement et en profondeur, et c'est un gros morceau...
Il y a déjà un bon nombre d'années que je n'ai plus affronté un problème de façon mathématique pure et massive, et je suis sérieusement rouillé...
Je préfère en général "ruser" pour contourner les difficultés.
Ici par exemple, je me suis fait la réflexion qu'une pseudo-impulsion de Dirac conviendrait presque parfaitement: le problème principal est la présence de la fondamentale. Pour l'éliminer, il suffit en principe de rajouter une amplitude équivalente en opposition de phase. Si on ajoute un train d'impulsions identique, mais décalé de 180°, on arrive à ce résultat.... mais on double simplement la fréquence, et le problème reste entier.
Pour éviter cela, il faut que le train d'impulsion supplémentaire contienne la fondamentale, mais n'élimine pas les harmoniques. Ce qui peut être obtenu en dédoublant l'impulsion autour du point de symétrie: on peut s'arranger pour garder le même contenu de fondamentale, sans éliminer les harmoniques.
C'est très bien, mais là où cela coince, c'est qu'avec des instants de commutation choisis selon l'inspiration du moment, l'égalité des harmoniques est sérieusement perturbée, et arriver à obtenir un spectre à nouveau plat par essais et erreurs est tâche impossible. J'aurais donc souhaité continuer ce raisonnement de manière similaire, pour arriver à déterminer intelligemment ces instants de commutation, mais pour l'instant, je bloque.
Je n'avais pas jusqu'à présent dévoilé ce raisonnement pour éviter de "polluer" l'esprit de ceux qui pourraient me répondre avec mes idées préconçues.

[invite15928b85]

Bonjour.
Il y a peut-être une approche semi-empirique possible, inspirée des magic sinewaves : disposer K fonctions "porte" de même amplitude sur une période T du signal final, chacune étant défine par sa largeur et son retard par rapport à l'origine. Le spectre de chaque porte est aisément calculable et le spectre du signal total est la superposition des l'ensemble des spectres. Si on veut fixer l'amplitude des N premières raies en utilisant K fonctions porte, on arrive à N équations pour 2K inconnues. Il faut donc fixer soit la largeur des portes, soit leur position, ou un mix des deux. On peut ainsi écrire N équations en fonction de K inconnues à cela près que l'on ne connait pas d'avance l'amplitude des raies (sauf pour la première, le fondamental, qui vaut zéro). On peut cependant réécrire le système d'équations en disant que A3 = A2, A4 = A3 ... AN = AN-1, ce qui ne fait plus que N-1 équations. On fait donc K = N-1 pour avoir autant d'équation que d'inconnues. Problème : les équations sont non-linéaires suivant les paramètres des portes (coeff des séries de fourier). Donc emploi de méthodes numériques d'optimisation sans garantie de convergence. C'est la démarche employée pour les magic sinewaves, il me semble.
Cordialement, F

[Tropique]

Merci de vos contributions, je vais méditer à tout ça....