Démonstration d'une formule: "Intégration sur l'espace de phase"

[Fjord]

Bonjour,

Je cherche à faire la 1er question de l'exercice 1.6.2 de "Physique Quantique - 2ème édition" de Michel Le Bellac (CNRS Editions), concernant la démonstration de la formule de Planck du corps noir.

Il s'agit de démontrer la formule suivante:


étant une fonction arbitraire de , la position et l'impulsion.

Il est indiqué (note 22) que cela résulte de l'intégration sur l'espace de phase pour l'oscillateur harmonique classique à une dimension.

Je ne vois pas la signification de cette formule, ni comment l'obtenir.
Je n'arrive pas à retrouver l'homogénéité.
Je ne comprends pas la signification du .
Je ne vois pas sur quoi on intègre.

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?

Bonne journée,

Fjord
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[obi76]

Bonjour,

si je ne dis pas de bêtise (à vue de nez ça serai bien ça), votre n'est rien d'autre qu'un Dirac.

Si ça peut vous aider :

Vous constaterez que votre y ressemble assez curieusement

Cordialement

[Rincevent]

salut,

Je ne vois pas la signification de cette formule, ni comment l'obtenir.

le membre de gauche te donne la "valeur moyenne" de f(E) sur l'espace des phases en intégrant uniquement sur les configurations qui ont une énergie E fixée (c'est à ça que sert le delta de Dirac).

Je n'arrive pas à retrouver l'homogénéité.

la fonction de Dirac a pour dimension l'inverse de son argument. C'est donc l'inverse d'une énergie ce qui te donne bien une équation homogène.

Je ne comprends pas la signification du .

en plus de la propriété précédente rappelée par obi, il te faut utiliser celle-ci : où les sont tous les nombres telles que .

Je ne vois pas sur quoi on intègre.

sur les coordonnées définies sur l'espace des phases : une position x (extension du ressort) et une impulsion p.

en pratique, tu utilises la formule que je viens de te rappeler (en faisant attention que la fonction dans le delta ici peut s'annuler pour 2 valeurs de signes opposés) pour intégrer sur p et te débarrasser du delta de Dirac. Cela te donnera ensuite une intégrale à faire sur x avec pour bornes puisque l'extension maximale s'obtient quand toute l'énergie E est sous forme potentielle. Avec ça, tu devrais obtenir le résultat voulu (j'ai fait le calcul à la va-vite sur un bout de papier et j'obtiens bien ça à un facteur 2 près... que j'ai dû zapper quelque part en route )... indice : à la fin tu te retrouveras avec la dérivée d'arcsin à intégrer...

[Fjord]

Merci pour vos explications, je comprends maintenant la formule et je vois grossièrement comment la démontrer !

Par contre je ne comprends pas bien cette formule:

Dans le membre de droite, il y a un Dirac: cela signifie qu'en l'expression vaut ?

Si je fais la première intégration sur p, la fonction que je considère est ici:


Elle est nulle pour:


Et sa dérivée vaut:


L'application de la formule conduit donc à:


Mais je trouve bizarre que l'on ait des Dirac...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Rincevent]

Par contre je ne comprends pas bien cette formule:

et pour cause : elle est fausse

faut une intégrale de chaque côté ou pas du tout...

m'enfin t'as compris le principe

[Fjord]

m'enfin t'as compris le principe

En effet, oui, merci !

[Rincevent]

juste une remarque au cas où :

Si je fais la première intégration sur p, la fonction que je considère est ici:

la fonction dans le Dirac est sans rien de plus... donc sa dérivée ne fait pas intervenir de f(E) et encore moins de dx...

[Fjord]

Bonjour,

En effet! Je me disais que comme c'est des constantes par rapport à p, je pouvais les rentrer dans le Dirac, mais c'est faux (que je puisse les rentrer)!

Bonne journée,

Fjord