nombre d'or/Tore de Kam

[invite8e3a470d]

Est-il vrai que le nombre d'or est égale au Tore de Kam?
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[invite8ef897e4]

Aucun sens. Absurde. Amalgame complet entre :

• le nombre d'or, une quantite purement esthetique
• un theoreme mathematique general sur les systemes dynamiques complexes et leur stabilite a long terme

[invite8e3a470d]

Ah bon?Pourtant je l'ai lu dans un livre-encyclopedie tres interessant qui parlait surtout de la theorie du chaos et don il faisait allusion a cette égalité donc je ne pense pas que c'est parce qu' ils n'ont rien à voir qu'ils ne sont pas egaux.merci de ton point de vue tu a peut-etre raison voir surement mais sait on jamais.

[invite8ef897e4]

Peut-etre peux-tu arriver a trouver un lien entre ces deux choses. Mais elles ne sont surement pas egales.

Considere un systeme integrable decrit par les equations de Hamilton


Ce systeme est dit integrable parce que l'on peut trouver autant de quantites conservees que de degrees de liberte. Si de plus, le systeme possede une propriete supplementaires, s'il est separable, alors il est possible d'exhiber un changement de variable tel que les nouvelles coordonnees sont :

• des variables "action"
• des variables "angle"

de telle sorte que l'evolution du systeme est decrite totalement par les constantes , et les variables angles qui croient lineairement dans le temps. C'est l'origine du terme tore, le systeme se trouve sur un tore generalise a N dimensions :


Tu contemple ici le fameux fait que des composantes de frequences multiples entre elles "interferent", ou plus correctement peuvent exhiber ce phenomene que l'on appelle battement.

Maintenant, imagine que tu as un systeme "presque" integrable. Son hamiltonien est compose d'une partie principale integrable, et d'une petite perturbation non-integrable. Alors, plus rien ne force ce systeme a rester sur le tore generalise. Le reulstat remarquable de KAM, c'est qu'en fait il va "presque" y rester. Il est improbable que le systeme ne s'eloigne trop du tore, pourvu que la perturbation ne soit pas trop grande.

Ce genre de resultat fait appel au probleme des petits diviseurs, et des frequences irrationnelles en battement, et je ne vois aucun lien avec le nombre d'Or. Peux-tu approfondir ton affirmation ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee16ff47e]

Moi je vois un lien ! C'est que le nombre d'or est le plus irrationnel de tous les irrationnels, dans le sens où c'est celui pour lequel la décomposition en fraction continue converge le plus lentement.

[invite8e3a470d]

l'apparition de la stochasticité a grande échelle est liée a la destruction des tores de KAM qui se trouvent entre les deux résonances:comme l'espace des phases possède trois dimensions,les tores de KAM le divisent en deux régions distinctes puisqu'une trajectoire stochastique ne peut franchir la barrière que constituent ces tores(en effet un point de l'espace ne peut appartenir a la fois a une trajectoire régulière et a une trajectoire stochastique).Ainsi,tant qu'il subsiste un tore de KAM,les couches stochastiques des deux résonances sont distinctes et la stochasticité a grande échelle n'apparait pas.Il semble que ce dernier tore de KAM soit celui pour lequel le rapport des deux fréquences qui le caractérisent soit égal a (racine de 5-1)/2 : le nombre d'or!

et voila mon explication^^

[invite8ef897e4]

l'espace des phases possède trois dimensions

faux : l'espace des phases a toujours une dimension paire !

cela dit, tu sembles essayer de resumer des arguments qui devaient se tenir initialement. Mais je ne comprend pas vos arguemnts (a toi et a j.yves)

[invite8e3a470d]

désolé humanio tu as raison,l'extrait dicté ci-dessus provenant du livre"l'ordre du chaos" est incorrecte!car ils disent bien trois dimensions!ils ont tort et cela m'a inciter a me tromper!Humanio j'aurais une question a te poser :Quesqu'une trajectoire stochastique ?merci d'avance^^

[invite8ef897e4]

l'extrait dicté ci-dessus provenant du livre"l'ordre du chaos" est incorrect ! car ils disent bien trois dimensions ! ils ont tort et cela m'a inciter a me tromper!

Ben je suis tout autant desole que toi a vrai dire, parce que s'il s'agit du bouquin auquel je pense, il est edite par "Pour la science" et je croyais que ce journal etait assez serieux. En fait, peut-etre les auteurs ne sont pas tres clairs dans ce passage, peut-etre font-ils allusions aux trois dimensions de l'espace "ordinaire", peut-etre est-ce plus complique... je suis plutot surpris.

Qu'est-ce qu'une trajectoire stochastique ?

D'une facon generale, un ensemble de variables aleatoires dependantes d'un parametre est appele un processus stochastique. Typiquement, ce parametre est le temps. Cette definition mathematique est generalement acceptee par tout le monde. Donc, je crois que le terme "trajectoire stochastique" devrait faire allusion a "une trajectoire tiree au hasard dans l'espace des phases".

Cela dit, dans ce contexte, cela peut egalement faire reference a une realisation de trajectoire respectant les equations de mouvement mais specifiquement chaotique. Il est difficile de definir le terme "chaos" proprement. Trois ingredients sont generalement introduits. Considere un sous-ensemble compact (ferme borne) de l'espace total. Sur ce compact, on definit :

• une notion de transitivite tologique qui assure l'existence d'au moins une trajectoire dense dans le sous-espace compact. Dense au sens mathematique : cette orbite passe arbitrairement pres d'un point lui-meme arbitraire.
• l'ensemble de toutes les trajectoires periodiques est egalement dense
• il existe un critere de sensitivite aux conditions initiales

Ce sont les criteres de Devaney.

[mtheory]

Je viens de regarder mon Landau Lifshitz sur la mécanique des fluides.
Si j'ai bien compris(c'est flou dans ma tête cependant) ,et au moins dans le cas d'un fluide (turbulence), un écoulement stable et périodique dans un espace de phase à 2n dimensions se manifeste par une trajectoire fermé sur un cycle du point caractéristique de l'état du système.
Une petite perturbation périodique avec une seule fréquence fait alors que le points représentatif du système,bien que décrivant un truc à 2n dimensions,se trouve confiné sur un tore à deux dimensions,le chaos commence plus ou moins là et vers une troisième fréquence périodique.
En résumé les tores KAM seraient des sous variétés à m dimensions dans un espace à 2n dimensions caractérisant le système dynamique considéré.
Je crois,si j'ai compris mais un spécialiste serait le bienvenue,que cela met tout le monde d'accord.

[invite8e3a470d]

Merci baucoup pour vos explications

[mtheory]

Un petit truc marrant:

http://www.physics.cornell.edu/sethn.../Web/Chaos.htm

il semblerait d'ailleurs qu'on prenne souvent des libertés avec ce que l'on doit appeler des tores de KAM.
Du rab:

http://www-ensps.u-strasbg.fr/projet...g_poincaré.htm