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moment d'inertie d'un cône



  1. #1
    Darf33

    moment d'inertie d'un cône


    ------

    Bonjour, dans le cadre d'un projet j'ai besoin de calculer le moment d'inertie d'un cône sur l'axe x ou y. J'ai trouvé un discussion sur ce forum ( http://forums.futura-sciences.com/ph...e-un-cone.html ) mais ca ne m'aide pas vraiment. J'ai aussi regardé sur ce site http://www.sciences.ch/htmlfr/geomet...ieformes01.php mais la démonstration pour le cône s'arrête pour l'axe z. J'ai essayé à partir de ce site de faire quelque chose mais ca marche pas. Quelqu'un aurai-t-il une idée ?

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    LPFR

    Re : moment d'inertie d'un cône

    Bonjour et bienvenu au forum.
    Ce serait bien que nous, qui n'avons pas votre dessin devant les yeux, sachions autour de quel axe vous voulez faire le calcul. Ne pensez pas que tout le monde met x, y et z comme dans votre dessin.
    Au revoir.

  4. #3
    Darf33

    Re : moment d'inertie d'un cône

    Merci d'avoir répondu si vite. Pour ce qui est des axes, l'axe z correspond à l'axe du cône, c'est à dire la hauteur

    (image prise de la discussion http://forums.futura-sciences.com/ph...e-un-cone.html)

  5. #4
    LPFR

    Re : moment d'inertie d'un cône

    Re.
    Il faut que vous considériez le cône comme formé par beaucoup de disques d'épaisseur dz, situés à une distance z de l'axe x (ou y).
    Commencez par calculer le moment d'inertie 'dI' d'un disque d'épaisseur dz autour d'un de ses diamètres. Ce sera un différentiel de moment d'inertie car la masse du disque est différentielle. Exprimez ce moment d'inertie en fonction du diamètre du disque et non de sa masse.

    Puis calculez le moment de ce même disque mais par rapport à un axe parallèle au diamètre situé à une distance 'z' du premier. Utilisez la formule ad hoc.

    Maintenant, calculez le diamètre d'un disque situé à une distance 'z' de l'axe x (ou y).
    Le moment d'inertie sera l'intégrale des dI que sont maintenant exprimés en fonction de la distance z.
    Bonnes intégrales.
    A+

  6. #5
    nabil1235789

    Re : moment d'inertie d'un cône

    bonsoir

    Avant tout salut à tout le monde.

    Pour les momemts d'inetie il faut tout d'abords faire des remarques qui vont certainement nous simplifieés les choses:
    1- Le cone admet deux plans de symetrie materielle (Ox,Oz) et (Oy,Oz)
    donc le repere (O,x,y,z) est pricipale d'inertie.
    En concequant les moments d'inerties a calculer sont donc:
    Iox = integ[(y^2 +z^2)dm]
    Ioy = integ[(x^2 +z^2)dm]
    Ioz = integ[(x^2 +y^2)dm] = integ[ r^2dm] avec: x^2 +y^2 = r^2

    2- Il faut remarquer aussi que le moment de la masse autour de (x) est egale au moment de la masse autour de (y) c'est a dire :
    integ[ x^2dm] = integ[ y^2dm]
    Donc d'apres ces remarques on a:
    Iox = Ioy = (Ioz)/2 + integ[ z^2dm]

    Ce qui fait on doit calculer : Ioz = I1 et integ[ z^2dm]=I2

    ** Calculons donc: I2 = integ[ z^2dm] = rho.integ[ z^2dv]

    hoix de l'element de volume dv ( on peut le choisir comme on veut a condition que z ne varie pas dans cet element)
    On utilise donc la remarque de LPFR: On subdivise notre cone en rondelle d'epaisseur dz ( donc dans ces rondelles (z) ne varie pas): dv = Pi.r^2.dz
    r(z) = ? tg(alpha) = R/h = r/z d'ou r = (R/h).z equation de la droite

    I2 = rho.integ[ z^2dv] = rho.integ [ z^2.Pi.r^2.dz]
    = rho.Pi.(R/h)^2.integ[ z^4.dz]
    = rho.Pi.R^^2.h^3/5
    Rho = m/ V
    determination du volume V du cone:
    V = integ(dv) = integ ( Pi.r^2.dz ) choix du meme element de volume
    = Pi.(R/h)^2.integ( z^2.dz)
    = Pi.h.R^2/3

    Donc I2 = rho.Pi.R^2.h^3/5 = [Pi.R^2.h^3/5].[m.3/Pi.h.R^2]
    soit I2 = 3.m.h^2/5

    ** I1 = integ(r^2dm) = rho.integ( r^2dv)

    choix de dv?
    on va choisir un tube de rayon interieure r et exterieur (r +dr)
    de hauteur (h -z)
    Donc dv = 2.Pi.r .dr.(h-z) = 2.Pi.r.(h-z).dr

    I1 = rho.integ( r^2dv) = 2.Pi.rho.integ[ r^3.(h -z).dr]

    Or : R/h = r/z implique z = (h/R).r

    en remplaçant on trouve : I1 = 3.m.R^2/10


    finalement :

    Ioz = 3.m.R^2/10
    Iox = Ioy = 3.m.h^2/5 + 3.m.R^2/20

    Voila sauf erreure de ma part
    bonne fin de soirée atout lemonde

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    LPFR

    Re : moment d'inertie d'un cône

    Bonjour Nabil.
    Votre méthode est nettement plus élégante et courte que la méthode bêbête que j'avais donnée.
    Je ne pas vérifié les calculs en détail mais si une erreur s'est glissée, "on laisse au lecteur studieux...".

    Je conseillerai, quand même, de faire le problème par les deux méthodes. La méthode bêbête est plus formatrice car elle est applicable même quand il n'y a pas des symétries. Votre méthode demande de trouver "l'astuce", et on n'est jamais assuré d'avoir l'inspiration. En faisant les deux, on pourra mieux apprécier, l'élégance de la seconde et l'intérêt d'avoir une bonne muse.
    Cordialement,

  9. Publicité
  10. #7
    nabil1235789

    Re : moment d'inertie d'un cône

    bonjour tres cher LPFR:

    Quelle méthode bêbête (hhhhhhhh) ; ecoutes pour faire des calculs choisis tj le chemin le plut court et le plus facile.

    1- Ioz = integ(r^2dm) = rho.integ( r^2dv)

    avec dv = rdrdtdz ( t= theta)
    Ioz = rho.integ( r^2dv)= rho.integ( r^3drdtdz)
    t :varie de 0 à 2.Pi ; z : varie de 0 à h et r : varie de 0 à r(z)
    donc: Ioz = 2.Pi.rho.integ( r^3drdz)
    = 2.Pi.rho.integ[integ( r^3dr)dz]
    il faut donc integrer en r ( car ces bornes dependent de z) puis integrer enfin suivant z.
    avec: r(z) = (R/h).z
    integ( r^3dr) = r^4(z)/4 = (R/h)^4.z^4

    Ioz = 2.Pi.rho.integ[(R/h)^4.z^4dz].(1/4)
    = (1/2).Pi.rho.(R/h)^4.h^5/5 = (1/2).Pi.rho.R^4.h/5

    Or rho = m/V = 3.m/Pi.h.R^2

    Ioz =(1/2) (Pi.R^4.h/5).3.m/Pi.h.R^2 = 3.m.R^2/10

    voila le meme resultat il suffit de faire les choses soigneusement

  11. #8
    Darf33

    Re : moment d'inertie d'un cône

    merci pour votre aide. Je regarderais les 2 méthodes plus en détails au cours de la semaine.

  12. #9
    Graam

    Re : moment d'inertie d'un cône

    Bonjour,
    Si je ne me trompe pas, cette méthode exprime le moment d'inertie du cône sur l'axe x ( ou y) dont l'origine est placée sur la pointe du cône , non pas en son centre d'inertie?

  13. #10
    LPFR

    Re : moment d'inertie d'un cône

    Citation Envoyé par Graam Voir le message
    Bonjour,
    Si je ne me trompe pas, cette méthode exprime le moment d'inertie du cône sur l'axe x ( ou y) dont l'origine est placée sur la pointe du cône , non pas en son centre d'inertie?
    Bonjour.
    Oui, c'est le cas ici. Mais il suffit de changer les limites d'intégration pour que le calcul se fasse à partir d'un point voulu.
    Ou, en partant de celui calculé ici, de calculer le moment d'inertie autour de l'axe passant par le centre de masses avec la formule ad hoc.
    Au revoir.

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