vitesse de fermi et paramagnétisme de Pauli

[fitzounet]

bonjour/soir à toutes et à tous !

j'ai deux/trois petites questions : à quoi correspondent physiquement la vitesse de Fermi et la température de Fermi ?

Notamment j'ai pu lire deux choses :

1) La température de Fermi est la température en dessous de laquelle la physique classique n'est plus pertinente : or, pour le sodium, cette température vaut 23500 K.. à cette température, ça fait longtemps qu'on a plus de sodium solide.. ça voudrait dire que la physique classique n'est jamais pertinente ? si c'est vraiment le cas, pourquoi introduire cette notion alors ?

2) "La vitesse de Fermi correspond à la vitesse thermique classique" or cette vitesse est de l'ordre de 1/10 de c.. et la vitesse thermique classique est nulle à 0 K.. ça veut donc dire que le modèle classique est aussi HS sur ce coup-là ?


Encore une question : ( ça fait beaucoup d'un coup je sais, désolé ) que pouvez-vous me dire du paramagnétisme de Pauli ?

merci d'avance
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[Thwarn]

Bonjour,

pour les metaux, il est vrai que la temperature de Fermi (en dessous de laquelle la physique quantique intervient pour le systeme) est tres haute ce qui fait qu'en effet, un gaz d'electron a la plupart du temps un comportement dégénéré dans les metaux. Mais cette temperature depend de la densité de fermion. Ce qui fait que dans les gaz d'atome fermionique froid, la temperature de F est de l'ordre du µK. Ce qui signifie qu'a temperature ambiante, ce type de gaz se comporte comme un gaz classique.
Celle ci a donc bien entendu son utilité (sinon, elle n'aurait meme jamais été devellopée ). Ou dit autrement, la statistique classique est une limite haute temperature des statistiques quantiques.
De plus, dans la plupart des metaux, il est possible d'utiliser des calculs qu'on appelle semi-classique, où les equations du mouvement sont traités classiquement (par exemple une charge dans un champs EM), mais certaine chose le sont quantiquement. Ce qui mene à ta deuxieme question.

Les electrons etant des fermions, quand on les met ensemble, ils ne peuvent pas avoir la meme impulsion. Ainsi, un seul electron aura une impulsion nulle, un seul une impulsion k°, etc etc. L'ensemble des impulsions maximum KF forment ce qu'on appelle la surface de Fermi (à 1D, ce sera + ou - KF, à 2D un cercle de rayon KF, etc).
Ceci est le cas meme à temperature nulle. Donc les electrons d'impulsion KF (maximum) auront dans ce cas (simple, un ensemble d'electron sans interaction dans le vide) une vitesse VF=KF/m (où m est la masse des electrons), qui peut etre dans certain cas de l'ordre de c/10, et ceci contrairement à la physique classique.

Le traitement semi-classique dont je parlais plus haut constitu à tenir compte de certaines realités physiques (vitesse non nulle des electrons à T=0) tout en resolvant des equations de la physique classique.

[fitzounet]

merci beaucoup pour ces explications, je viens d'avoir l'occasion de découvrir en le traitement semi-classique en plus et pour le paramagnétisme de pauli, quelqu'un a-t-il des explications ?

[gatsu]

Bonjour,

pour les metaux, il est vrai que la temperature de Fermi (en dessous de laquelle la physique quantique intervient pour le systeme) est tres haute ce qui fait qu'en effet, un gaz d'electron a la plupart du temps un comportement dégénéré dans les metaux. Mais cette temperature depend de la densité de fermion. Ce qui fait que dans les gaz d'atome fermionique froid, la temperature de F est de l'ordre du µK. Ce qui signifie qu'a temperature ambiante, ce type de gaz se comporte comme un gaz classique.
Celle ci a donc bien entendu son utilité (sinon, elle n'aurait meme jamais été devellopée ). Ou dit autrement, la statistique classique est une limite haute temperature des statistiques quantiques.
De plus, dans la plupart des metaux, il est possible d'utiliser des calculs qu'on appelle semi-classique, où les equations du mouvement sont traités classiquement (par exemple une charge dans un champs EM), mais certaine chose le sont quantiquement. Ce qui mene à ta deuxieme question.

Les electrons etant des fermions, quand on les met ensemble, ils ne peuvent pas avoir la meme impulsion. Ainsi, un seul electron aura une impulsion nulle, un seul une impulsion k°, etc etc. L'ensemble des impulsions maximum KF forment ce qu'on appelle la surface de Fermi (à 1D, ce sera + ou - KF, à 2D un cercle de rayon KF, etc).
Ceci est le cas meme à temperature nulle. Donc les electrons d'impulsion KF (maximum) auront dans ce cas (simple, un ensemble d'electron sans interaction dans le vide) une vitesse VF=KF/m (où m est la masse des electrons), qui peut etre dans certain cas de l'ordre de c/10, et ceci contrairement à la physique classique.

Le traitement semi-classique dont je parlais plus haut constitu à tenir compte de certaines realités physiques (vitesse non nulle des electrons à T=0) tout en resolvant des equations de la physique classique.

Salut,

Attention quand même quand on parle de mécanique statistique pour laquelle les effets quantiques sont importants il y differentes implications possibles.
- La première consiste à écrire un Hamiltonien quantique dans le poids de Boltzmann (matrice densité en fait) et à définir la fonction de partition comme une trace sur tous les états de cet opérateur.
La limite classique s'obtient quand l'intervalle d'energie entre les niveaux discrets est très petit devant kT. Dans ce cas on peut utiliser la formule de trotter au premier ordre ce qui revient à imaginer que x et p commutent. On peut parler dans ce cas de limite haute température.

- La seconde consiste à utiliser des statistiques quantiques (Bose-Einstein ou Fermi-Dirac) à la place de la distribution canonique standard.
Pour devoir utiliser ces stats quantiques il faut que la distance moyenne entre deux fermions (bosons) soit très petite devant la longueur d'onde thermique de la particule. Bien sûr la température intervient mais la température de Fermi aussi (qui fait intervenir la densité de particules). Effectivement si la température est très grande devant la température de fermi normalement on peut seulement utiliser les stats classiques mais ce n'est pas usuellement appelé "limite haute température" à ma connaissance d'autant que les températures de fermi sont souvent si élevées qu'atteindre de telles températures parait surréaliste.

Le meilleur exemple qu'on puisse donner c'est lorsqu'on modelise une naine blanche avec des éléctrons et des neutrons. La densité d'electrons est telle qu'on doit traiter le gaz d'electrons avec des stats quantiques alors que les neutrons sont traités avec des statistiques classiques, et pourtant la température est la même, c'est juste leur température de Fermi respectives qui sont differentes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thwarn]

Salut,
tu fais bien de remarquer ces choses, que l'on ne precise pas assez quand on est trop dans le sujet.
Deux remarques :

- La première consiste à écrire un Hamiltonien quantique dans le poids de Boltzmann (matrice densité en fait) et à définir la fonction de partition comme une trace sur tous les états de cet opérateur.
La limite classique s'obtient quand l'intervalle d'energie entre les niveaux discrets est très petit devant kT. Dans ce cas on peut utiliser la formule de trotter au premier ordre ce qui revient à imaginer que x et p commutent. On peut parler dans ce cas de limite haute température.

- tu connais un bouquin où on introduit proprement la matrice densité thermique Tr(exp-H/T) proprement, parce que ça m'a toujours été balancé en 3s et je trouve ça un peu frustrant...

- La seconde consiste à utiliser des statistiques quantiques (Bose-Einstein ou Fermi-Dirac) à la place de la distribution canonique standard.
Pour devoir utiliser ces stats quantiques il faut que la distance moyenne entre deux fermions (bosons) soit très petite devant la longueur d'onde thermique de la particule. Bien sûr la température intervient mais la température de Fermi aussi (qui fait intervenir la densité de particules). Effectivement si la température est très grande devant la température de fermi normalement on peut seulement utiliser les stats classiques mais ce n'est pas usuellement appelé "limite haute température" à ma connaissance d'autant que les températures de fermi sont souvent si élevées qu'atteindre de telles températures parait surréaliste.
Le meilleur exemple qu'on puisse donner c'est lorsqu'on modelise une naine blanche avec des éléctrons et des neutrons. La densité d'electrons est telle qu'on doit traiter le gaz d'electrons avec des stats quantiques alors que les neutrons sont traités avec des statistiques classiques, et pourtant la température est la même, c'est juste leur température de Fermi respectives qui sont differentes.

- par contre, je trouve que tu pinailles sur ton deuxieme point
Je sais pas si c'est le terme consacré, mais comparer T et TF, et dire que quand T>>TF on est dans une limite haute temperature (qui devient classique) et T<<TF on se trouve la plupart du temps dans les solides à temperature nulle, ne me paraissait etre des termes plus ou moins approprié

[gatsu]

- tu connais un bouquin où on introduit proprement la matrice densité thermique Tr(exp-H/T) proprement, parce que ça m'a toujours été balancé en 3s et je trouve ça un peu frustrant...

"from microphysics to macrophysics" de Roger Balian je pense que c'est l'un des meilleurs sur ce sujet.

- par contre, je trouve que tu pinailles sur ton deuxieme point
Je sais pas si c'est le terme consacré, mais comparer T et TF, et dire que quand T>>TF on est dans une limite haute temperature (qui devient classique) et T<<TF on se trouve la plupart du temps dans les solides à temperature nulle, ne me paraissait etre des termes plus ou moins approprié

Effectivement c'est du pinaillage mais ce que je voulais souligner c'est qu'il y a plusieurs notions de "hautes températures" qui sont réellement differentes et ne conduisent pas à la même notion de "classique" (hamiltonien ou statistique ?).

[mariposa]

- tu connais un bouquin où on introduit proprement la matrice densité thermique Tr(exp-H/T) proprement, parce que ça m'a toujours été balancé en 3s et je trouve ça un peu frustrant...

3secondes? C'est beaucoup trop lent.


Ecris ta fonction de partition Z qui comprend dans l'exponentielle des énergies? c'est donc dans l'exponentielle la somme sur les énergies, Cad la trace de l'opérateur hamiltonien.

Comme la trace est invariante par changement de base l'hamiltonien peut-être écrit dans n'importe qu'elle base, d'où l'intérêt de cette formulation indépendante de la base ce qui n'était pas le cas de la forme de Z initiale..

[Thwarn]

3secondes? C'est beaucoup trop lent.


Ecris ta fonction de partition Z qui comprend dans l'exponentielle des énergies? c'est donc dans l'exponentielle la somme sur les énergies, Cad la trace de l'opérateur hamiltonien.

Comme la trace est invariante par changement de base l'hamiltonien peut-être écrit dans n'importe qu'elle base, d'où l'intérêt de cette formulation indépendante de la base ce qui n'était pas le cas de la forme de Z initiale..

ok pour la fonction de partition, mais ça n'explique pas pourquoi la matrice densité serait (exp-H/T)/Z (il y avait une erreur dans mon message precedent)., c'est a dire sans coherence a priori.

@ gatsu : merci pour la ref

[mariposa]

ok pour la fonction de partition, mais ça n'explique pas pourquoi la matrice densité serait (exp-H/T)/Z (il y avait une erreur dans mon message precedent)., c'est a dire sans coherence a priori.

@ gatsu : merci pour la ref

Tout dépend comment tu introduis la matrice densité.

Si tu la définie comme:

Somme sur m de Pm.|m><m|

où Pm est la probabilité d'être dans l'état |m>

Prend l'élément de matrice de <m| (exp-H/T)/Z |m>

Et tu trouves la classique réponse: Pm = (exp-Em/T)/Z

cQFD