Modèle de réacteur nucléaire

[tpscience]

Bonjour à tous,

je suis en train d'essayer de faire un exo sur les phénomènes irréversibles (niveau master de physique) et plusieurs questions me dérangent :

On considère donc un mélange homogène d'U et de C formant le coeur d'un réacteur nucléaire.
En négligeant les effets de bord, on me demande de montrer que :

où v est la vitesse moyenne des neutrons émis par les noyaux U,
est le libre parcours moyen. Pour N on admet que la capture se produit toutes les N collisions d'un neutron sur un noyau U et k correspond au nombre de neutrons émis pour chaque neutron capturé.

Je ne vois donc pas comment démontrer cela.

Merci par avance aux éventuelles aides.
-----

[invitef4c6a1be]

Bon, c'est un classique de cinétique des réacteurs, dit modèle de cinétique ponctuelle prompt.
Pour le démontrer ce résultat, il faut considérer l'évolution de la population de neutrons entre et .

La première étape est de se demander quel est le temps de vie moyen d'un neutron entre son émission et son absorption. Le libre parcours moyen des neutrons est , c'est-à-dire qu'ils parcourent en moyenne une distance entre chaque choc. Etant donné que les neutrons réalisent en moyenne chocs entre leur émission et leur absorption, la distance moyenne parcourue par les neutrons entre leur émission et leur absorption est donc de . Les neutrons ayant une vitesse moyenne , on en déduit le temps de vie des neutrons:

Examinons maintenant la variation de la population de neutrons sur un intervalle de temps élémentaire, entre deux instant et :

• Le temps de vie des neutrons étant , il disparaît donc neutrons (par absorption)
• Chaque neutron capturer engendre nouveaux neutrons. Dans le même intervalle, il se crée donc

On fait le bilan:

Soit finalement (division par et écriture explicite de ):

Voili voilà. Je tiens à apporter quelques commentaires à ce modèle de cinétique. Il est relativement correct pour décrire la cinétique d'une bombe: l'évolution est exponentielle, et explose dès lors que . Tout pilotage serait impossible.

Pour décrire plus correctement un réacteur, il faut tenir de l'existence de ce que l'on appelle des neutrons retardés. Ce sont ces neutrons retardés qui assurent la possibilité de piloter le réacteur. Si cela t'intéresse je peux te donner des indications pour ce cas plus réaliste.

Neutroniquement vôtre...

[tpscience]

Bonjour, merci beaucoup pour tes indications.

Effectivement tes suppléments semblent assez intéressant, mais je me demandais en fait si cette équation changeait (très certainement) si on ne négligeait plus les effets de bord !! Que faudrait-il ajouter comme condition(s) ?
Merci beaucoup encore pour tes réponses très claires !!

[tpscience]

J'ai également cherché longuement des sites plus ou moins complet sur le sujet (traitant la partie avec des équations biensûr) et je n'ai rien trouvé de satisfaisant, dumoins cette équation n'y était pas traitée.
Auriez-vous des sites ou des articles ou autres à me conseiller svp ?

Merci beaucoup encore.

[A voir en vidéo sur Futura]

[KLOUG]

Bonjour

Si la neutronique est un sujet d'exercices pour vous, je pense que la lecture de ces ouvrages publiés par EDP sciences vous seront fort utile.

http://livres.edpsciences.org/ouvrag...=2-86883-637-2

http://livres.edpsciences.org/ouvrag...=2-86883-706-9

Et plus généralement le lien
http://livres.edpsciences.org/phpdig...ng=neutronique

vous donnera la liste des ouvrages disponibles.
Paul REUSS et Jean BUSSAC ont été des neutroniciens de très haut niveau. Il sont tous les deux en retraite maintenant mais Paul REUSS continue à faire des conférences.

Vous avez aussi l'ensemble de l'ouvrage sur le nucléaire dans les techniques de l'ingénieur. Et je crois que Paul REUSS y a collaboré.

Bonne continuation

KLOUG

[tpscience]

Bonjour,

merci beaucoup pour la biblio en effet cela semble assez complet.
Toutefois, pour pouvoir avancer un peu ce week-end même j'aimerais bien avoir plutôt des adresses de sites internet ou articles accessibles gratuitement sur le web.

Merci encore.

[invitef4c6a1be]

Un premier post sur les différents ouvrages consultables.

Ah les cours de neutronique de Paul Reuss... Sachez que bien qu'il soit à la retraite, il est professeur émérite à l'INSTN Saclay, où il a un bureau, dans lequel il continue à préparer les examens de neutronique des promotions du Génie Atomique...

Etant donné le peu de formation nucléaire en France, il faut regarder les formations à l'étranger si tu souhaites trouver des lectures appropriées. Tu peux par exemple jeter un coup d'oeil aux liens suivants:
Cours à l'EPFL
Le cours Nuclear Reactor Kinetics de Daniel Rozon, de Polytechnique Montréal:
Sommaire
Chapitre 1
Chapitre 2
Chapitre 3

J'ai pas mal d'autres cours de neutronique. Si ça intéresse,...

[invitef4c6a1be]

Un second en ce qui concerne la question des effets de bord...
Le problème est ici clairement simplifié, et est considérer dans une approche ponctuelle (ou 0D: pas de dépendance spatiale), ce qui suppose en effet un milieu infini. Pour répondre à ta question il faut entrer un peu plus loin dans la neutronique.
Le coefficient que tu utilises ici est souvent appelé coefficient de multiplication infini: tout neutron initial fini par être absorbé par un noyau d'uranium, qui en fissionnant émet nouveaux neutrons. Ce schéma est vrai uniquement en milieu infini et on note généralement

[invitef4c6a1be]

Dans le cas d'un milieu fini, il faut tenir compte qu'un neutron peut fuir du milieu. On corrige donc la valeur de par une probabilité de non-fuite du milieu. La nouvelle valeur obtenue est appelée coefficient de multiplication effectif, noté , et est juste le produit de par la probabilité de non-fuite.

Pour le détail de la probabilité de non-fuite, tu trouveras sûrement dans la littérature l'expression:

Où est l'aire de migration des neutrons, et le laplacien géométrique de la configuration. La démonstration de cette relation vient de la description de la neutronique dans l'approximation de la diffusion (on peut en parler si tu le souhaites...)

En définitive, les effets de bord sont pris en compte en considérant le coefficient de multiplication effectif a la place du coefficient de multiplication infini: la formule reste donc inchangée pourvu de corriger par .

[invitef4c6a1be]

Maintenant, je te propose quelques indications pour aborder une modélisation un peu plus réaliste de la cinétique d'un réacteur...

Ce modèle est toujours un modèle de cinétique ponctuelle, mais prend en compte ce que l'on appelle les neutrons retardés. En effet, lors des fissions de l'uranium, certains produits de fission possède des excès de neutrons. Ces noyaux -dit précurseurs-, pour retrouver leur stabilité, émette un neutron, de façon retardée. Ainsi, sur une génération de neutrons, une fraction provient de ces neutrons retardés.

Je te propose donc de procéder comme suit:
On note la densité neutronique, la concentration de noyaux précurseurs, la fraction de neutrons retardés, le temps de vie moyen des neutrons, la constante de décroissance radioactive des précurseurs.

On commence par faire un bilan sur la concentration de précurseur. Etablir que la concentration de noyaux précurseurs vérifie:

Puis un bilan sur la densité neutronique. Décomposer les termes entre la création provenant des fissions, ceux provenant des neutrons retardés, et enfin le terme de disparition. Monter alors que la densité de neutron vérifie:

Tu en déduis donc que l'évolution de la densité neutronique vérifie un système différentiel. En pratique, on distingue plusieurs groupes de neutrons retardés. Tu peux essayer de déterminer ce que deviennent ces équations en prenant plusieurs groupes de tels neutrons (ca change pas grand chose en fait...)

Aussi, en pratique, on est amené à introduire la notion de réactivité et le temps de vie effectif des neutrons . Montrer alors que les équations de la cinétique ponctuelle à un groupe de neutrons retardés se mettent sous la forme:

[tpscience]

Bonjour,

encore une fois merci beaucoup pour ces développements !!

Si j'ai bien compris la condition de bord implique juste de passer de avec l'expression de keff que tu as donné ?
Ne pourrait-on pas passer aussi par des conditions sur le flux ? En l'imposant égal ou pas à 0 suivant que l'on considère ou pas les conditions de bord ??
Si on pose par exemple ce flux tel que : où est la densité de particules, comment pourrions nous obtenir une équation quasi aussi simple que la première ?
Ne pourrions-nous pas essayer de s'éviter l'emploi du coefficient ici dans un modèle plus "simpliste" ?

Merci encore

[invitef4c6a1be]

Le coefficient que tu utilises dans ton raisonnement est le nombre de neutrons émis par capture par l'uranium. Ce paramètre est correct dans le cas d'un milieu infini: un neutron n'a pour autre issu que d'être abosrbé.
Dans le cas d'un milieu fini, il faut aussi tenir compte qu'un neutron émis à la possibilité de sortir du milieu. Le coefficient doit donc être modifié de sorte à tenir compte de la probabilité qu'a un neutron émis de sortir du milieu. C'est la seule modification qui doit intervenir, et donc dans les équations de la cinétique, il suffit donc de remplacer par .

Je ne connais pas d'autres approches que celle des neutrons retardés pour décrire la cinétique d'un réacteur. Dans les simulateurs, ce sont ces équations qui sont intégrées. De même, en salles de commande, un instrument, appelé réactimètre, intègre ces équations avec 6 groupes de neutrons retardés pour donner la réactivité.

Après, concernant les conditions à la limite sur le bord du réacteur, elle interviennent effectivement dans le calcul du , et ce sont elles qui permettent d'arriver à l'expression que je t'ai donnée. Je m'explique.

Pour décrire le flux de neutrons dans le réacteur, il est possible de se placer dans un cadre (approximatif mais assez réaliste) qui est la diffusion monocinétique. On a alors un découplage entre l'aspect temporel, déterminé par les équations de la cinétique, et l'aspect spatial. Etant donné ce découplage, le problème spatial est stationnaire. Le flux (spatial) de neutron suit alors une équation de diffusion (pour un milieu homogène):

étant le nombre moyen de neutrons émis par fissions, le coefficient de diffusion du milieu, et les sections efficaces macrscopiques d'absorption et de fission du milieu. Il est possible de montrer cette équation avec des hypothèses assez classiques.
Le rapport représente la probabilité pour qu'un neutron absorbé produise une fission. De fait, la quantité est le nombre moyen de neutrons émis par capture, c'est-à-dire, si tu as bien suivi:

On défini l'aire de migration par (ceci est aussi une approximation dans le cadre de la théorie de la diffusion à un groupe d'énergie, et la notion d'aire de migration est plus profonde que cette simple définition). Tout ceci te permet de réécrire l'équation de la diffusion sous la forme:

avec , appelé "laplacien matière" du problème (ou "buckling" dans les ouvrages anglo-saxons). Pour résoudre cette équation, il te faut bien sûre des conditions aux limites. Par exemple une condition de vide sur le bord, mais ca peut être autre chose: une condition courante est par exemple l'annulation du flux entrant sur le bord (mais pas du flux entrant). Ceci étant dit la résolution de cette équation, combinée aux conditions à la limite permet d'obtenir ce que l'on appelle une "condition de criticité", liant les paramètres matière et géométrique. De manière condensée, cette condition s'écrit le plus souvent:

où est appelé laplacien géométrique de la configuration.
Après, une maniière de procéder est de considérer l'expression du , c'est grosso-modo:

Tu as:


Quand au terme de fuite, il faut compter tous les neutrons qui sortent du volume, c'est-à-dire qui traversent la surface par la normale sortante. Pour faire ce calcul, il est nécessaire d'intégrer l'équation de la diffusion sur tout le volume, puis d'utiliser la formule de Green pour transformer l'intégrale du Laplacien sur le volume par l'intégrale du flux sortant sur la surface. C'est un calcul un peu lourd et qui demande de jongler un peu avec les paramètres, et en particulier d'utiliser la condition de criticité, et de savoir que le courant sortant s'écrit .
Enfin bref, tout calcul fait, tu aboutis à l'expression:

Ca demande un peu de connaissance en neutronique, mais c'est complètement abordable, qui plus et au niveau master. N'hésite pas si tuas des questions ou des incompréhensions.

[tpscience]

Merci encore, les choses sont plus claires en effet pour la compréhension du phénomène.

Maintenant, j'ai continué à faire quelques recherches et je suis tombé sur un exo quasi similaire à mon cas d'étude.
Donc on commence par demander la démonstration de l'équation sans effet de bord comme tu m'as expliqué au tout début et ça c'est ok, no pb !!

Puis par la suite, on demande encore cette équation avec les effets de bord et avec un flux par unité de surface de où est la densité de particules.
Il faut donc ici aboutir à l'expression :

où L est la longueur du côté du cube représentant le coeur du réacteur nucléaire.

[PS : les lettres pour les constantes n'était pas les mêmes mais j'ai transposé tout cela...]

Et donc là, je ne vois vraiment pas comment ils obtiennent une telle expression ?!!

[invitef4c6a1be]

As tu un lien vers le sujet de cet execice ou l'énoncé. Je crois voir ce qu'il faut faire...

[tpscience]

Et bien dans l'énoncé ils ne font que définir chaque termes présents dans les équations.
On considère toujours un mélange d'uranium et de carbone formant le coeur du réacteur nucléaire. Le coeur est supposé être un cube de côté L.
Puis on demande, en tenant compte des effetes de bord et en admettant que le flux de particules par unité de temps et de surface vaut avec comme étant la densité de particule, de montrer la relation que j'ai présenté précédemmment, soit :

...??

[tpscience]

En fait, je ne vois pas comment apparaît ce facteur 3nv/2L.

Je le comprend comme étant un terme de perte neutronique (perte due à l'échappement du coeur cubique) dont 2L/3 comme étant un facteur géométrique. Mais après je ne vois pas quelle pourrait-être la démonstration ???

Merci encore.

[invitef4c6a1be]

Oui, tout à fait, ce sont les pertes neutroniques par fuites. Pour montrer la formule, il faut faire un bilan global sur tout ton volume pendant un intervalle de temps élémentaire . Tu as:

• Un terme d production de neutrons:
• Un terme d'absorption de neutrons:
• Et enfin un terme de fuites. Celui ci est un peu plus compliqué. Je te détaille l'approche.

Considérons ce qui se passe sur une face du réacteur. Les neutrons qui vont sortir du réacteur par cette face pendant correspondent à l'intégrale du courant neutronique sur cette face:

Maintenant, la densité de neutrons vaut, en la supposant uniforme dans le volume:
Donc pour une face:
Et toujours en considérant la distribution uniforme, pour une face:
Ensuite, un cube à 6 faces, d'où le terme de fuite:

Puis tu conclues:
Ce qui te donne finalement le résultat demandé.

Cette approche des fuites est assez simplifiée et évite le recours à la théorie de la diffusion. Cependant, elle ne justifie pas le pourquoi du courant en ...

[tpscience]

En effet, je pense que le flux choisi a l'a été de façon totalement arbitraire.
Pour ton calcul je n'avais pas cette définition pour dn en fonction du flux, donc maintenant c'est bien plus clair !!

Il serait donc possible avec cela de définir la taille minimale de ce coeur pour permettre le démarrage d'une réaction nucléaire en chaîne ?
Pour cela il faut considérer pour le minimum k=1, non ??
Mais en fait en faisant ça on arrive sur une solution de n(t) en fonction de t, donc comment en déduire avec une petite application numérique une telle valeur de L minimale ???

Encore merci.

[invitef4c6a1be]

Tout dépend de l'application que tu souhaites faire... Dans un réacteur, tu souhaites avoir un état stationnaire, un état stable, c'est-à-dire:

Dans les faits, il faut pouvoir diverger le réacteur, donc avoir .
La condition est donc celle que tu as écrit dans le premier cas, et dans le second:

Je rédige actuellement des notes sur la cinétique des réacteur. Si celà t'intéresse, je te les communiquerai.

[tpscience]

En effet, je veux bien que tu me les envoies, merci.

Pour la condition en effet je n'avais pas posé la condition dn/dt=0. Donc pour le cas d'une taille minimale je devrais poser k =1 + 3N/2L soit si on cherche L : L = 3N/2(k-1) ?

Merci encore.

[invitef4c6a1be]

Oui c'est ca. C'est ce que l'on appelle la notion de taille critique. Avec la densité, tu arrives à la masse critique. Cette approche de détermination de la taille critique n'est pas académique et n'est pas la démarche mise en oeuvre dans le calcul des réacteurs...

[tpscience]

Ok d'accord, mais ici cela semble être juste une petite application pour un exo.
Cependant en prenant N=100, k=1,04 et =10cm j'arrive à une taille de L=375m et je trouve cette valeur plutôt grande !
Est-ce une erreur de calcul ou alors ce sont des valeurs typiques ??

Merci encore.

[tpscience]

En fait je pense que cette grande valeur vient du fait que =10cm. Cela semble être une grande valeur pour un libre parcours moyen !! A voir ...!!

Merci.

[invitef4c6a1be]

Le réacteur que tu modélises est un réacteur à uranium modéré au graphite. En effet, le libre parcours moyen est plutôt de l'ordre de 2,5 cm dans ce type de réacteurs si mes souvenirs sont bons. Ce qui te donne 93,75m.
Pour info, l'ordre grandeur pour les derniers réacteurs de ce type construit en France (UNGG), la hauteur était de 80m je crois. Si quelqu'un peut confirmer...

[KLOUG]

Bonsoir

Pour info, l'ordre grandeur pour les derniers réacteurs de ce type construit en France (UNGG), la hauteur était de 80m je crois. Si quelqu'un peut confirmer...

Un batiment REP classique fait de l'ordre de 50 mètres de haut.
Les UNGG que l'on surnomme "les cathédrales" sont effectivement plus grands et 80 mètres correspond tout à fait à l'ordre de grandeur.

Bonne continuation
KLOUG