Quantité de mouvement d'une particule chargée dans un champ électromagnétique

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai lu qu'une particule chargée plongée dans un champ électromagnétique avait pour quantité de mouvement totale, en relativité restreinte :



Avec le potentiel électromagnétique.

Le terme représente l'expression de la quantité de mouvement pour une particule libre, mais j'aimerais savoir comment on obtient le terme , dont le champ électromagnétique doit être responsable.

Cela doit correspondre à un calcul assez simple en électromagnétisme, mais je n'ai rien trouvé dans mes recherches.

Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Merci d'avance
Phys2
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[Thwarn]

Salut,

pas besoin de faire de la relativité pour voir ça, ça vient de la mecanique analytique, plus particulierement la mecanique hamiltonienne.
Fait des recherche par la, et tu verras pourquoi l'impulsion est definit comme ça quand il y a un champs EM.

[Seirios]

pas besoin de faire de la relativité pour voir ça, ça vient de la mecanique analytique, plus particulierement la mecanique hamiltonienne.
Fait des recherche par la, et tu verras pourquoi l'impulsion est definit comme ça quand il y a un champs EM.

Grâce à tes indications, j'ai effectivement trouvé cette formule dans le chapitre sur le lagrangien et l'hamiltonien dans le Pérez de mécanique. D'après ce que j'ai compris, il ne s'agit pas de la quantité de mouvement, mais du moment conjugué, qui est différent de la quantité de mouvement puisque la forme du lagrangien d'une particule dans un champ électromagnétique n'est plus , mais , d'où l'expression du moment conjugué.

[Seirios]

En fait je viens de lire que l'énergie potentielle d'une particule dans un champ électromagnétique s'écrivait , ce qui explique la forme du lagrangien ; je suis en train de faire quelques calculs pour le démontrer, je n'ai plus qu'une erreur de signe à trouver, et je posterai mes calculs pour confirmer leur validité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Thwarn]

Tout à fait, c'est aussi ce qu'on appele l'impulsion, et qu'on utilise beaucoup plus car c'est elle qui se conserve avec l'énergie.

Par contre, si tu cherches une "vrai" vitesse, mesurable et invariante de jauge, il faut se souvenir qu'il ne suffit pa de diviser p par m.

[Seirios]

Je suis arrivé à l'expression correcte de l'énergie potentielle d'une particule chargée (de charge électrique q) dans un champ électromagnétique par ces calculs :

On a tout d'abord , soit .

D'où par intégration, .

Or ; quant au second terme, on peut écrire : .

Avec .

Or et .

D'où finalement, .

On a donc , ou en considérant l'énergie potentielle à l'état final nulle (et donc le potentiel également), , ce qui est bien le résultat.

D'où le lagrangien associé : , et un moment conjugué :

.

On a donc bien l'impulsion que l'on cherchait.

J'arrive bien au résultat, mais quelqu'un pourrait-il si mes calculs sont tout de même correcte ?

[Seirios]

Vraiment personne pour me dire s'il y a des erreurs dans mes calculs ?

[gatsu]

Vraiment personne pour me dire s'il y a des erreurs dans mes calculs ?

Salut,

A vue de nez j'aurais dit qu'il y a un problème dès le début parce que la partie magnétique de la force de Lorentz ne travaille pas en fait.
Malheureusement la façon de justifier le lagrangien d'intéraction d'une particule dans un champ electromagnetique est de dire que ce champ peut être entièrement décrit par la donnée d'un champ quadri-vectoriel .
Dès lors l'action la plus simple que l'on puisse écrire qui soit invariante par transformation de Lorentz est de la forme

Si tu relies le quadri-champ au potentiels scalaire scalaire et vecteur de façon adequat tu tomberas sur l'écriture correcte du Lagrangien en faisant apparaitre le temps coordonnée.

[Seirios]

A vue de nez j'aurais dit qu'il y a un problème dès le début parce que la partie magnétique de la force de Lorentz ne travaille pas en fait.

Donc l'énergie potentielle d'une particule dans un champ électromagnétique ne s'exprime pas comme , et il y a bien modification de la forme générale du lagrangien en électromagnétisme.
Ce qui m'étonne, c'est que si la partie magnétique de la force de Lorentz ne travaille pas, j'aurais dû trouver ...

[gatsu]

Donc l'énergie potentielle d'une particule dans un champ électromagnétique ne s'exprime pas comme ,

En effet (à ma connaissance).

et il y a bien modification de la forme générale du lagrangien en électromagnétisme.

Il faut juste se rendre compte que d'un point de vue pragmatique le Lagrangien doit permettre de retrouver les equations du mouvement d'un corps d'épreuve chargé dans un champ electromagnétique via les equations d'Euler-lagrange. Comme la partie magnétique de la force de Lorentz ne dérive pas d'un potentiel, c'est un peu évident qu'il faut changer la forme usuelle qui ne marche que lorsque la force dérive d'un potentiel.

Ce qui m'étonne, c'est que si la partie magnétique de la force de Lorentz ne travaille pas, j'aurais dû trouver ...

Précisément, l'équation que tu viens d'écrire est une tautologie. Je te rappelle que le que tu considères lorsque tu calcules un travail est sensé être orienté le long de la trajectoire de la particule exactement comme....la vitesse. Donc par construction vaut zero.

[Seirios]

En effet (à ma connaissance).

Pourtant sur cette page, on trouve cette forme de l'énergie potentielle Pourtant le terme vient de la présence du champ magnétique, qui ne dérive pas d'un potentiel...

Précisément, l'équation que tu viens d'écrire est une tautologie. Je te rappelle que le que tu considères lorsque tu calcules un travail est sensé être orienté le long de la trajectoire de la particule exactement comme....la vitesse. Donc par construction vaut zero.

Effectivement

[gatsu]

Pourtant sur cette page, on trouve cette forme de l'énergie potentielle Pourtant le terme vient de la présence du champ magnétique, qui ne dérive pas d'un potentiel...

Effectivement, mais après reflexion je n'appellerai toujours pas ça un "potentiel" dans le sens conventionnel du terme. Si on prend juste le gradient de ce terme on tombe sur la force magnétique plus un autre terme qui doit être compensé par une autre partie des equations d'Euler-Lagrange.

Donc justement j'insiste pour dire qu'il faut faire attention à ce genre de simplifications qui ont tendence à nous faire prendre, selon moi, des vessies pour des lanternes.

[isozv]

Bonjour,

Tu as la petite démo comme quoi la partie magnétique de la force de Lorentz ne travaille pas ici:

http://www.sciences.ch/htmlfr/electr...gnetique01.php

à partire de l'équation 36.103.

Et attention au site techno-sciences qui prend des copies non nécessairements mises-à-jour de Wikipedia.

[Seirios]

Effectivement, mais après reflexion je n'appellerai toujours pas ça un "potentiel" dans le sens conventionnel du terme. Si on prend juste le gradient de ce terme on tombe sur la force magnétique plus un autre terme qui doit être compensé par une autre partie des equations d'Euler-Lagrange.

Donc justement j'insiste pour dire qu'il faut faire attention à ce genre de simplifications qui ont tendence à nous faire prendre, selon moi, des vessies pour des lanternes.

J'avoue que je commence à me perdre ; pourquoi peut-on considérer a priori l'existence d'une énergie potentielle dérivant de la force magnétique, et pourquoi finalement cette considération constitue-t-elle un abus ?

Tu as la petite démo comme quoi la partie magnétique de la force de Lorentz ne travaille pas ici:

http://www.sciences.ch/htmlfr/electr...gnetique01.php

à partire de l'équation 36.103.

Merci

[gatsu]

J'avoue que je commence à me perdre ; pourquoi peut-on considérer a priori l'existence d'une énergie potentielle dérivant de la force magnétique, et pourquoi finalement cette considération constitue-t-elle un abus ?

Prace que, comme je l'ai dit, si tu considères le gradient du "potentiel magnetique" qui est donné dans ton lien et bien tu ne tombes pas sur la partie magnetique de la force de Lorentz mais si je ne me trompes pas il y a un terme en plus qui doit être compensé par un autre terme dans les equations du mouvements pour finalement donner la force magnétique. Ca montre bien que le terme en est "juste" un terme qui permet de retomber sur les bonnes equations du mouvement et c'est déjà super.

[Seirios]

D'accord, merci