Renormalisation ?

[Les Terres Bleues]

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Comme la littérature de référence relative à ce sujet est essentiellement rédigée en anglais, je me suis permis un petit condensé que je me propose de soumettre à votre contrôle :

La renormalisation en électrodynamique quantique est-elle autre chose que la substitution à des valeurs qui tendent vers l’infini (et sont donc dépourvues de sens physique) de valeurs, désignées par la même notation, dont les composantes sont des opérateurs hermitiens d’un espace de Hilbert complexe, qui, elles, possèdent une signification puisqu’elles tendent alors vers zéro et sont physiquement mesurables, mais qui ne sont en fait, et en parlant franchement, que celles des particules "virtuelles" correspondantes aux particules étudiées et renormalisées ?

Merci d'avance et
Cordiales salutations.
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[Karibou Blanc]

La renormalisation en électrodynamique quantique est-elle autre chose que la substitution à des valeurs qui tendent vers l’infini (et sont donc dépourvues de sens physique) de valeurs, désignées par la même notation, dont les composantes sont des opérateurs hermitiens d’un espace de Hilbert complexe, qui, elles, possèdent une signification puisqu’elles tendent alors vers zéro et sont physiquement mesurables, mais qui ne sont en fait, et en parlant franchement, que celles des particules "virtuelles" correspondantes aux particules étudiées et renormalisées ?

Je ne comprends pas vraiment ce qu'essaie de décrire cette question. Néanmoins la réponse est non, pour de nombreuses raisons.

Non, la renormalisation n'est pas un "moyen" de se débarraser de valeurs infinies. C'est ce qu'on a cru au début (et malheureusement c'est ce qui est encore parfois enseigné). Les infinies n'interviennent que lorsqu'on extrapole la théorie quantique, c'est-à-dire qu'on la suppose valable, jusqu'à des énergies infinies. C'est cela qui est dépourvu de sens physique. Une théorie est effective en ce sens qu'elle n'est valable que pour un certain domaine d'énergie. Au-delà elle doit etre remplacée par autre chose. Selon cette approche, la renormalisation (le groupe de renormalisation en fait) nous apprend simplement comment les paramètres de la théorie effective évoluent lorsqu'on modifie l'énergie des interactions.

[gatsu]

Non, la renormalisation n'est pas un "moyen" de se débarraser de valeurs infinies. C'est ce qu'on a cru au début (et malheureusement c'est ce qui est encore parfois enseigné). Les infinies n'interviennent que lorsqu'on extrapole la théorie quantique, c'est-à-dire qu'on la suppose valable, jusqu'à des énergies infinies. C'est cela qui est dépourvu de sens physique. Une théorie est effective en ce sens qu'elle n'est valable que pour un certain domaine d'énergie. Au-delà elle doit etre remplacée par autre chose. Selon cette approche, la renormalisation (le groupe de renormalisation en fait) nous apprend simplement comment les paramètres de la théorie effective évoluent lorsqu'on modifie l'énergie des interactions.

Salut,

Donc on suppose qu'il y a une sorte d'auto-similarité dans le comportement à toutes les échelles d'energie et que cela se traduit seulement par des paramètres (renormalisés) dépendant au final de l'échelle considérée, c'est ça ?

[Les Terres Bleues]

Je ne comprends pas vraiment ce qu'essaie de décrire cette question. Néanmoins la réponse est non, pour de nombreuses raisons. (…) Selon cette approche, la renormalisation (le groupe de renormalisation en fait) nous apprend simplement comment les paramètres de la théorie effective évoluent lorsqu'on modifie l'énergie des interactions.

J’ai bien pris note des explications que tu m’as fournies et qui ne figurent plus dans la citation (les pointillés entre parenthèses), parce qu’il me semble les avoir comprises, en schématisant : « Non, on ne se débarrasse des grandeurs infinies, car on sait au départ que l’on travaille dans un domaine d’énergie délimité. »
Ce qu’essayait de décrire la question était le fait qu’il me semblait que le remplacement de valeurs, par d’autres valeurs désignées par la même notation, et dont les composantes sont des opérateurs hermitiens d’un espace de Hilbert complexe, me faisait penser que l’on substituait à une particule concrète (réelle) les valeurs d’une particule virtuelle (imaginaire) lui correspondant d’un point de vue spatio-temporel. Mais peut-être que la notion de groupe de renormalisation est différente de celle que je comprends ?

Cordiales salutations.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Les Terres Bleues]

Donc on suppose qu'il y a une sorte d'auto-similarité dans le comportement à toutes les échelles d'énergie et que cela se traduit seulement par des paramètres (renormalisés) dépendant au final de l'échelle considérée, c'est ça ?

D'après ce qui avait été expliqué sur un autre fil, j'en avais déduit à l'inverse qu'il existait en fait toute une théorie encore à construire relativement au domaine des très grandes énergies. Mais, je ne suis pas certain à 100 % de la justesse de mon interprétation.

Cordiales salutations.

[Les Terres Bleues]

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Juste pour apporter quelques éléments qui iraient plutôt dans le sens de Gatsu : « La renormalisation » LPTL – Jussieu Voir page 3.

(Mais ça n'est pas incompatible avec une théorie encore à construire.)

Cordiales salutations.

[Les Terres Bleues]

Ce qu’essayait de décrire la question était le fait qu’il me semblait que le remplacement de valeurs, par d’autres valeurs désignées par la même notation, et dont les composantes sont des opérateurs hermitiens d’un espace de Hilbert complexe, me faisait penser que l’on substituait à une particule concrète (réelle) les valeurs d’une particule virtuelle (imaginaire) lui correspondant d’un point de vue spatio-temporel. Mais peut-être que la notion de groupe de renormalisation est différente de celle que je comprends ?

Je m'excuse par avance de relancer cette question, mais la réponse à mon avis laisse subsister une trop grosse part d'incertitude quant au pourquoi d'une telle opération, sauf à ne pas se demander à quel acte on procède lorsque l'on fait appel au "groupe de renormalisation".
S'agit-il à travers l'interposition dans le calcul de la matrice auto-adjointe de remplacer concrètement les valeurs de la particule à renormaliser par celles de son antiparticule ?

Merci d'avance et cordiales salutations.

[Thwarn]

Salut,

Donc on suppose qu'il y a une sorte d'auto-similarité dans le comportement à toutes les échelles d'energie et que cela se traduit seulement par des paramètres (renormalisés) dépendant au final de l'échelle considérée, c'est ça ?

J'ai le meme genre d'interrogation ence qui concerne la TQC. Autant en Theorie Statistique des Champs je commence à percevoir ce que represente la renormalisation et l'utilisation qu'on en fait pour trouver les coefficient critique, etc. On fait couler le flot du RG pour trouver les points critiques et donc les transition de phase, ok.
Autant en TQC, j'ai du mal a voir ce que donne ce flot. Je sais que ça change les valeurs des constantes de couplages dans les experiences, mais j'ai toujours du mal à le comprendre (alors qu'en TSC, le changement de parametre est non physique, dans le sens qu'on ne la fait pas experimentalement, c'est une outil).
Si KB pouvait nous en dire plus

PS: quelqu'un pourrait me dire ce que signifie le fait de trouver un point fixe non trivial (ça je sais ce que c'est) en renormalisant la relativité générale? (ça je sais pas ce que ça veut dire).

[gatsu]

PS: quelqu'un pourrait me dire ce que signifie le fait de trouver un point fixe non trivial (ça je sais ce que c'est) en renormalisant la relativité générale? (ça je sais pas ce que ça veut dire).

Je croyais que la RG n'était pas renormalisable (en TQC en tout cas) ?

[Thwarn]

Ce que l'on sait, c'est que la RG n'est pas renormalisable avec le groupe de renormalisation perturbatif. Certaines personnes pensent que c'est faisable avec le groupe de renormalisation non perturbatif. De meme, Weinberg pense que la RG possede un point fixe non trivial. Mais je ne sais pas ce que ça veut dire en RG (ou en TQC), car pour moi, un point fixe caracterise une transition de phase, ce qui ne doit pas etre le cas en RG

[Thwarn]

Je me permet un petit up... la question m'interesse vraiment.

[Les Terres Bleues]

Ce que l’on sait, c’est que la RG n’est pas renormalisable avec le groupe de renormalisation perturbatif. Certaines personnes pensent que c’est faisable avec le groupe de renormalisation non perturbatif. De même, Weinberg pense que la RG possède un point fixe non trivial. Mais je ne sais pas ce que ça veut dire en RG (ou en TQC), car pour moi, un point fixe caractérise une transition de phase, ce qui ne doit pas être le cas en RG.

J’ignore pour le moment si nos deux questionnements vont finir par se rejoindre en un point (fixe) ou en un autre.

Je vais essayer d’expliquer en quelques mots le pourquoi de la renormalisation. (…) Pour résoudre ce problème on effectue une troncature qui amène toute une technologie mathématique complexe que l’on appelle groupe de renormalisation. (…)

J’aimerais bien en ce qui me concerne que : soit l’on démente, soit l’on confirme, est-ce que la troncature complexe mise en œuvre lors de la renormalisation en électrodynamique quantique ne "masque" pas la substitution des valeurs d’une particule concrète (réelle) par celle d’une particule virtuelle (matrice transconjuguée) lui correspondant d’un point de vue spatio-temporel ?

Malheureusement, l’approche perturbative est souvent la seule que l’on sache mettre en action. Il y a en effet peu de méthodes non perturbatives bien contrôlées à notre disposition. Il est donc très important d’étudier les équations exactes du groupe de renormalisation parce qu’elles fournissent un cadre non perturbatif à un problème commun à beaucoup de branches de la physique.

Quelques informations pourraient-elles apportées sur le sujet ?

Merci d’avance et
Cordiales salutations.

[Karibou Blanc]

Ce qu’essayait de décrire la question était le fait qu’il me semblait que le remplacement de valeurs, par d’autres valeurs désignées par la même notation, et dont les composantes sont des opérateurs hermitiens d’un espace de Hilbert complexe, me faisait penser que l’on substituait à une particule concrète (réelle) les valeurs d’une particule virtuelle (imaginaire)

Dans tous les cas (avant et apres renormalisation) les valeurs en questions (susceptibles d'etre infinies lorsque la théorie est extrapolée à des énergies infinies) sont toujours des observables, cad des composantes d'operateur (en diffusion il s'agit de la matrice S) agissant sur un espace de Hilbert (de Fock en fait).

Mais peut-être que la notion de groupe de renormalisation est différente de celle que je comprends ?

Le groupe de renormalisation indique comment les parametres d'une théorie quantique évolue lorsqu'on passe d'une échelle d'énergie donnée à une autre, les deux étant toujours inférieures à une échelle dite de "cut-off" qui correspond physiquement à la limite du domaine en énergie ou la théorie étudiée est valide.

Donc on suppose qu'il y a une sorte d'auto-similarité dans le comportement à toutes les échelles d'energie et que cela se traduit seulement par des paramètres (renormalisés) dépendant au final de l'échelle considérée, c'est ça ?

Oui, c'est cela. Les opérateurs de la théorie de change pas, pourvu qu'on reste dans le domaine de validité de la théorie, au dela il faut par exemple ajouter des degrés de libertés (des champs) et eventuellement de nouvelles symétries (des forces). Ce qui changent ce sont les couplages associées à chacun de ces opérateurs. Le groupe de renormalisation encode cette évolution avec l'énergie.
Note que cela est vrai également pour des opérateurs dits (à bien mauvais titre) non-renormalisables, cad de dimension de masse >4 en 4d.

Autant en TQC, j'ai du mal a voir ce que donne ce flot.

Comme tu l'as dit c'est différent de la TSC, ou le flot n'est qu'un outil pour dériver des exposants critiques, en s'appuyant sur l'hypothese qu'un point critique correspond à un point fixe du groupe de renormalisation, c'est à dire un point ou les parametres de la théorie n'évolue plus. Cela traduit les hypothèses d'auto-similarité, de longueur de corrélation divergente pendant une transition de phase. En TQC, c'est tres différent, le running avec l'énergie est physique, il représente les corrections à certaines observables classiques dues aux fluctuations quantiques. On ne cherche pas nécessairement à trouver des points fixes pour justifier l'utilisation du groupe de renormalisation, car le running est physique pour toute les échelles d'énergie.

Je croyais que la RG n'était pas renormalisable (en TQC en tout cas) ?

C'est assez subtil, et cela vient juste d'un choix historique, bien que mauvais aujourd'hui, de vocabulaire. Une théorie renormalisable n'est pas une théorie que l'on ne sait pas renormalisée (cad pour laquelle on ne sait pas calculer le running, le flot sous le GR, avec l'énergie. C'est simplement une théorie pour laquelle on ne sait pas extrapoler ce running à des énergies infinies. Avant on pensait que cela était catastrophique. Aujourd'hui, on sait qu'une telle extrapolation n'a pas de sens physique, une TQC est valable seulement dans un domaine d'énergie limité.

quelqu'un pourrait me dire ce que signifie le fait de trouver un point fixe non trivial (ça je sais ce que c'est) en renormalisant la relativité générale?

La relativité générale est donc non renormalisable, mais il est possible de la renormalisée à des énergies inférieures à la masse de Planck. La procédure est la meme que pour une théorie renormalisable, en particulier l'emploi du groupe de renormalisation se fait de la meme manière.

[Thwarn]

Comme tu l'as dit c'est différent de la TSC, ou le flot n'est qu'un outil pour dériver des exposants critiques, en s'appuyant sur l'hypothese qu'un point critique correspond à un point fixe du groupe de renormalisation, c'est à dire un point ou les parametres de la théorie n'évolue plus. Cela traduit les hypothèses d'auto-similarité, de longueur de corrélation divergente pendant une transition de phase. En TQC, c'est tres différent, le running avec l'énergie est physique, il représente les corrections à certaines observables classiques dues aux fluctuations quantiques. On ne cherche pas nécessairement à trouver des points fixes pour justifier l'utilisation du groupe de renormalisation, car le running est physique pour toute les échelles d'énergie.

C'est là que j'ai du mal à voir la physique dans le changement des couplages en fonction de l'echelle... c'est tellement contre-intuitif que je n'arrive pas à trouver une justification à ce fait. Tu aurais une façon de me faire sentir cela?

La relativité générale est donc non renormalisable, mais il est possible de la renormalisée à des énergies inférieures à la masse de Planck. La procédure est la meme que pour une théorie renormalisable, en particulier l'emploi du groupe de renormalisation se fait de la meme manière.

Mais que signifierait le fait de trouver un point fixe dans le cas d'une theorie non renormalisable?
Est ce que cela signifierait que justement le fait que ça ne soit pas renormalisable ne pose pas de probleme, car a partir d'une certaine energie le running s'arrete?
Une question annexe. On parle souvent du fait que la RG ne soit pas renormalisable pour dire qu'on arrive pas à la quantifier. Cela changerait-il quelque chose si on trouvait un point fixe?

[Les Terres Bleues]

Dans tous les cas (avant et après renormalisation) les valeurs en questions (susceptibles d'être infinies lorsque la théorie est extrapolée à des énergies infinies) sont toujours des observables, cad des composantes d'opérateur (en diffusion il s'agit de la matrice S) agissant sur un espace de Hilbert (de Fock en fait).

Avant toute chose, un grand merci pour l'ensemble de la réponse, y compris pour la partie concernant les questions d'autres intervenants, et dans laquelle il m'a semblé apprendre (peut-être même comprendre) beaucoup de choses.

Un dernier point, non pas sur les (directement ou indirectement) observables, car je suis persuadé que l'on n'est pas en capacité de mesurer du "virtuel", cette matrice S, n'est-elle pas essentiellement formée à partir d'un détour mathématique par les nombres complexes, donc par ce fameux "virtuel" ?

Merci d'avance pour ce dernier petit effort,
Cordiales salutations.

[gatsu]

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Juste pour apporter quelques éléments qui iraient plutôt dans le sens de Gatsu : « La renormalisation » LPTL – Jussieu Voir page 3.

(Mais ça n'est pas incompatible avec une théorie encore à construire.)

Cordiales salutations.

Je viens de regarder le lien que tu as proposé. Je ne me suis pas jeté dessus puisque je croyais que ça allait être une redirection vers le sujet de recherche de Bertrand Delamotte et Dominique Mouhanna entre autres qui travaillent sur la renormalisation non perturbative au LPTMC (ancien LPTL). C'était bien évidemment oublier le travail d'Annick Lesnes qui s'interesse à l'aspect mathematique des théories de renormalisation et de manière générale à l'obtention d'equations physiques effectives en faisant un coarse graining via le GR en temps ou en espace.
Le problème c'est que à ma connaissance, elle est plus interessée par les systèmes dynamiques au sens large (incluant les systèmes étendus) et les equations approchées que l'on peut obtenir via le GR en lieu et place du classique développement multi-échelle pour ces systèmes.
Donc je pense que ça n'a pas grand chose ou peu de chose à voir avec ta question d'origine qui était plutot dirigée vers les hautes energies et la TQC.

[gatsu]

Comme tu l'as dit c'est différent de la TSC, ou le flot n'est qu'un outil pour dériver des exposants critiques, en s'appuyant sur l'hypothese qu'un point critique correspond à un point fixe du groupe de renormalisation, c'est à dire un point ou les parametres de la théorie n'évolue plus. Cela traduit les hypothèses d'auto-similarité, de longueur de corrélation divergente pendant une transition de phase. En TQC, c'est tres différent, le running avec l'énergie est physique, il représente les corrections à certaines observables classiques dues aux fluctuations quantiques. On ne cherche pas nécessairement à trouver des points fixes pour justifier l'utilisation du groupe de renormalisation, car le running est physique pour toute les échelles d'énergie.

Oui ok mais en gros c'est comme si on appliquait le GR en TSC mais en dehors du point critique (i.e. pas de "vraie" auto-similarité et donc pas de point fixe) sans extrapoler du coup au échelles infinies où on sait qu'on va tomber sur des comportements pathologiques venant du fait que précisémement il n'y a pas auto-similarité au sens des phénomènes critiques, non ?

[Les Terres Bleues]

Donc je pense que ça n'a pas grand chose ou peu de chose à voir avec ta question d'origine qui était plutôt dirigée vers les hautes énergies et la TQC.

Tout à fait, et j'avais précisé en insérant ce lien qu'il n'abondait pas dans le sens de ma question mais davantage dans le tien : "Donc on suppose qu'il y a une sorte d'auto-similarité dans le comportement à toutes les échelles d'énergie et que cela se traduit seulement par des paramètres (renormalisés) dépendant au final de l'échelle considérée, c'est ça ?". Sujet qu'elle aborde effectivement sous l'aspect mathématique.

Mais nous avons dans ce fil plusieurs questionnements différents, et j'espère que Karibou Blanc va pouvoir s'en sortir sans être obligé de faire l'impasse sur "mon" souci matriciel.

Cordiales salutations.

[Karibou Blanc]

car je suis persuadé que l'on n'est pas en capacité de mesurer du "virtuel"

En réalité on mesure indirectement l'effet des particules virtuelles (qui représentent les fluctuations quantiques dans le formalisme de l'integrale de chemin en TQC) car elles contribuent à l'évolution des constantes de couplages, qui est entièrement observable. Comme par exemple la constante de structure fine, valant 1/137 pour des énergies très inférieures à la masse de l'électron et 1/128 pour des énergies autour de la masse du Z.

cette matrice S, n'est-elle pas essentiellement formée à partir d'un détour mathématique par les nombres complexes, donc par ce fameux "virtuel"

La virtualité de certaines particules (encore une fois il ne s'agit que d'un terme désignant les fluctuations quantiques dans un certain formalisme : la TQC en régime perturbatif) n'a rien à voir avec le fait que les états quantiques soient représentés par des nombres complexe. Cela est simplement une caractéristique de la mécanique quantique, où les états sont des vecteurs d'un espace de Hilbert (qui est un espace vectoriel sur C).

Oui ok mais en gros c'est comme si on appliquait le GR en TSC mais en dehors du point critique (i.e. pas de "vraie" auto-similarité et donc pas de point fixe) sans extrapoler du coup au échelles infinies où on sait qu'on va tomber sur des comportements pathologiques venant du fait que précisémement il n'y a pas auto-similarité au sens des phénomènes critiques, non ?

Par auto-similarité de la théorie lorsqu'on change l'échelle d'énergie, je voulais dire la forme des opérateurs apparaissant dans le lagrangien de celle-ci. Ceux-ci sont les memes, il n'y a pas de nouvel operateur qui apparait lorsqu'on effectue le running (ie lorsqu'on renormalise la theorie). Cela est vrai pour les théories non-renormalisables aussi bien que pour le cas renormalisable, pourvu qu'on se contente de prendre en compte les fluctuations quantiques correspondant à un domaine d'énergies inférieures au cut-off de la théorie.
Ainsi en renormalisant, seuls les couplages changent, pas la forme du lagrangien. C'est en ce sens que je parlais d'auto-similarité, et non à cause du fait qu'il y existe un point fixe ou les couplages n'évoluent plus.

et j'espère que Karibou Blanc va pouvoir s'en sortir sans être obligé de faire l'impasse sur "mon" souci matriciel.

De quel souci s'agit-il exactement ?

[Thwarn]

Par auto-similarité de la théorie lorsqu'on change l'échelle d'énergie, je voulais dire la forme des opérateurs apparaissant dans le lagrangien de celle-ci. Ceux-ci sont les memes, il n'y a pas de nouvel operateur qui apparait lorsqu'on effectue le running (ie lorsqu'on renormalise la theorie). Cela est vrai pour les théories non-renormalisables aussi bien que pour le cas renormalisable, pourvu qu'on se contente de prendre en compte les fluctuations quantiques correspondant à un domaine d'énergies inférieures au cut-off de la théorie.
Ainsi en renormalisant, seuls les couplages changent, pas la forme du lagrangien. C'est en ce sens que je parlais d'auto-similarité, et non à cause du fait qu'il y existe un point fixe ou les couplages n'évoluent plus.

Donc à ce moment là, que signifie non-renormalisable par rapport à renormalisable, si l'operation est faisable dans les deux cas?

[Karibou Blanc]

Donc à ce moment là, que signifie non-renormalisable par rapport à renormalisable, si l'operation est faisable dans les deux cas?

La différence réside dans le fait qu'une théorie renormalisable ne contient qu'un nombre fini d'opérateurs et que la procédure de renormalisation est possible quelque soit l'échelle d'énergie, meme arbitrairement grande. Une théorie non renormalisable contient en général une infinité d'opérateurs et la procédure de renormalisation implique alors de calculer une infinité de corrections, ce qui est en pratique (et en pratique seulement) impossible. Néanmoins, si l'on se limite à basse énergie (par rapport à l'échelle de cut-off apparaissant naturellement dans les opérateurs non renormalisables de la théorie), il est possible de limiter cette liste infinie à un sous-ensemble fini, suffisant pour le calcul d'observables à un niveau de précision donnée. Les autres opérateurs contribuant des effets négligeable devant ce dernier. La théorie non-renormalisable n'est alors ni plus ni moins qu'une théorie effective valable jusqu'à des énergies de l'ordre du cut-off. Ainsi, il suffit juste maintenant de renormaliser un nombre fini d'operateurs (dont certains peuvent etre non-renormalisables, cad de dimension de masse >4 en 4d). La différence avec une théorie renormalisable est que la renormalisation n'est possible que pour une précision finie, en général déterminée par l'expérience que la théorie est sensée reproduire.

Au passage dans cette approche moderne, une théorie renormalisable n'est qu'une approximation à l'ordre le plus bas (en termes d'importance des operateurs) d'une théorie effective, non-renormalisable. Aujourd'hui ce qui a un sens physique clair, c'est la théorie effective et non plus la théorie renormalisable.
On a pensé au début que ces théories n'avaient aucun intéret physique. Aujourd'hui, la situation

[Les Terres Bleues]

De quel souci s'agit-il exactement ?

En fait, les éléments que tu apportes dès le début de ton intervention répondent parfaitement à ma question. Donc merci.

En réalité on mesure indirectement l'effet des particules virtuelles (qui représentent les fluctuations quantiques dans le formalisme de l'intégrale de chemin en TQC) car elles contribuent à l'évolution des constantes de couplages, qui est entièrement observable. Comme par exemple la constante de structure fine, valant 1/137 pour des énergies très inférieures à la masse de l'électron et 1/128 pour des énergies autour de la masse du Z.
La virtualité de certaines particules (encore une fois il ne s'agit que d'un terme désignant les fluctuations quantiques dans un certain formalisme : la TQC en régime perturbatif) n'a rien à voir avec le fait que les états quantiques soient représentés par des nombres complexes. Cela est simplement une caractéristique de la mécanique quantique, où les états sont des vecteurs d'un espace de Hilbert (qui est un espace vectoriel sur C).

Sur ce dernier point, cependant, on est déjà dans l'interprétatif. Je veux dire par là qu'on pose le fait que les états quantiques représentés par des nombres complexes ne résultent que de l'utilisation de vecteurs d'un espace de Hilbert (ou de Fock), mais cela pourrait être aussi bien vu dans un ordre inverse : on utilise un espace vectoriel complexe parce que les fluctuations quantiques sont effectivement dues à des particules "virtuelles" mais interagissant d'une manière très concrète.

Pour le reste, et même si c'est un peu compliqué pour moi, encore merci.

Cordiales salutations.

[Thwarn]

La différence réside dans le fait qu'une théorie renormalisable ne contient qu'un nombre fini d'opérateurs et que la procédure de renormalisation est possible quelque soit l'échelle d'énergie, meme arbitrairement grande. Une théorie non renormalisable contient en général une infinité d'opérateurs et la procédure de renormalisation implique alors de calculer une infinité de corrections, ce qui est en pratique (et en pratique seulement) impossible. Néanmoins, si l'on se limite à basse énergie (par rapport à l'échelle de cut-off apparaissant naturellement dans les opérateurs non renormalisables de la théorie), il est possible de limiter cette liste infinie à un sous-ensemble fini, suffisant pour le calcul d'observables à un niveau de précision donnée. Les autres opérateurs contribuant des effets négligeable devant ce dernier. La théorie non-renormalisable n'est alors ni plus ni moins qu'une théorie effective valable jusqu'à des énergies de l'ordre du cut-off. Ainsi, il suffit juste maintenant de renormaliser un nombre fini d'operateurs (dont certains peuvent etre non-renormalisables, cad de dimension de masse >4 en 4d). La différence avec une théorie renormalisable est que la renormalisation n'est possible que pour une précision finie, en général déterminée par l'expérience que la théorie est sensée reproduire.

ok, merci pour ces precisions.

Au passage dans cette approche moderne, une théorie renormalisable n'est qu'une approximation à l'ordre le plus bas (en termes d'importance des operateurs) d'une théorie effective, non-renormalisable. Aujourd'hui ce qui a un sens physique clair, c'est la théorie effective et non plus la théorie renormalisable.
On a pensé au début que ces théories n'avaient aucun intéret physique. Aujourd'hui, la situation

haaaaa, il manque la fin

Par contre, tu pourrais preciser ce que tu veux dire par "une théorie renormalisable n'est qu'une approximation à l'ordre le plus bas d'une théorie effective, non-renormalisable"? J'avoue que je ne comprends pas, mais c'est peut-etre parce qu'il me manque la fin de la phrase suivante

[Les Terres Bleues]

ok, merci pour ces précisions.
haaaaa, il manque la fin
Par contre, tu pourrais preciser ce que tu veux dire par "une théorie renormalisable n'est qu'une approximation à l'ordre le plus bas (en termes d'importance des opérateurs) d'une théorie effective, non-renormalisable"? J'avoue que je ne comprends pas, mais c'est peut-etre parce qu'il me manque la fin de la phrase suivante

Tant pis, je me risque. Si c'est bon, c'est que j'aurai compris un peu, si c'est faux, KB aura la gentillesse de me démentir.

Pour moi la fin de la phrase est : "Aujourd'hui, la situation ... est complètement inversée par rapport aux conceptions d'origine."

Cordiales salutations.

[Karibou Blanc]

tu pourrais preciser ce que tu veux dire par "une théorie renormalisable n'est qu'une approximation à l'ordre le plus bas d'une théorie effective, non-renormalisable"?

Les opérateurs (en nombre infini) d'une théorie non-renormalisable (cad dire effective) peuvent s'organiser comme suit:



où est la dimension de masse de l'operateur i et une constante de couplage d'ordre 1.A basse énergie (devant M), les operateurs de moindre dimension de masse domine l'ensemble des opérateur. En effet, une simple analyse dimensionnelle montre que l'effet sur des observables mesurée à une énergie d'un operateur de dimension d=n sera supprimé par rapport à l'effet d'operateur de dimension d=m<n, d'un facteur de l'ordre de . Si bien que pour une précision fixée, seul un sous-ensemble fini de la liste ci-desses est pertinent. Par exemple pour une précision expérimentale de 1%, autour d'une énergie , seuls les operateurs de dimension d<6 seront pertinents, les autres seront négligeables devant la précision de la mesure donnée.

Maintenant une théorie renormalisable est composée uniquement d'operateurs de dimension . Elle correspond alors à ne conserver que les operateurs les plus important à basse énergie de la série infinie ci-dessus. En ce sens une théorie renormalisable n'est que l'approximation à l'ordre le plus bas d'une théorie effective. Il se trouve que "par accident", cette approximation ne dépend du tout de M, ce qui a induit en erreur (si l'on peut dire) les physiciens pendant de nombreuses années, où l'on a pensé que la renormalisabilité devait etre une propriété physique fondamentale (du fait que sa renormalisation ne dépendent pas d'une échelle arbitraire à haute énergie, ici M).


Un commentaire rapide sur le cas de la relativité générale. Dans ce cas, la théorie n'a pas d'opérateur renormalisable, l'ordre le plus bas est en 1/M^2 (cf. action de Einstein-Hilbert) où M est la masse de Planck. Cela signifie que la théorie n'a des effets importants, et par conséquent observables (pour des particules élémentaires s'entend, il est bien évident que, la gravité ne pouvant etre écranter, un systeme macroscopique aura une interaction gravitationnelle non négligeable meme à tres basse énergie devant M) que pour des énergies E de l'ordre de M. Ainsi, il est alors impossible de tronquer la série d'opérateur non-renormalisable à un ordre donné en 1/M, car tous les operateurs sont aussi pertinent les uns que les autres pour E=M. Il est par conséquent nécessaire de tenir compte d'une infinité d'opérateurs dans un régime d'énergie ou il est susceptible de se passer quelquechose de mesurable, ce qui rend impossible la procédure de renormalisation perturbative. Bien évidemment il est toujours possible de se placer à basse énergie , tronquer la série d'opérateurs (par exemple à l'ordre le plus bas, cad le scalaire de Ricci, R) et de renormaliser perturbativement la RG. Malheureusement, les effets sont extremement faibles dans ce régime et en pratique complement inobservables.

[gatsu]

Les opérateurs (en nombre infini) d'une théorie non-renormalisable (cad dire effective) peuvent s'organiser comme suit:



où est la dimension de masse de l'operateur i et une constante de couplage d'ordre 1.A basse énergie (devant M), les operateurs de moindre dimension de masse domine l'ensemble des opérateur.

C'est pas la même chose que d'écrire un lagrangien à un ordre quelconque et se rendre compte qu'en le soumettant au GR il est en fait constitué de terme relevant et d'autres non relevant ?
Genre quand tu parts du modèle d'Ising pour en faire une théorie des champs tu te rends compte qu'en réalité il y a une somme infinie de termes en puissance de (c'est le développement d'un log si je me souviens bien) et puis en appliquant le GR on se rend compte que seuls les termes jusqu'à l'ordre 4 sont dominants et que les autres termes (pour des raisons de dimension critique =4) sont irrelevants pour la physique à grande échelle....d'où l'importance du modèle .

Chui à coté de la plaque ?

[Karibou Blanc]

C'est pas la même chose que d'écrire un lagrangien à un ordre quelconque et se rendre compte qu'en le soumettant au GR il est en fait constitué de terme relevant et d'autres non relevant ?

Il n'y a pas besoin de considérer le running (cad les corrections quantiques via le flot du RG) pour se rendre compte quels operateurs seront "relevant" à basses énergies. Une simple analyse dimensionnelle suffit. Les operateurs irrelevant etant supprimés par des puissances (positives) du cutoff M, leurs contributions classique aux observables physiques est de l'ordre de (E/M)^n avec n positif.