Plus court chemin

[invite8a2da01f]

Bonjour,
Je souhaite trouver le plus court chemin de A à B, en utilisant le principe de Fermat.
Dans la partie 1, l'indice vaux : n(y)=racine(1+y), et la partie 2 est donnée par symétrie par rapport à D. (pièce jointe)
La forme générale des "plus courts chemins" est assez facile à trouver dans les parties 1 et 2 séparément ( de la forme yi0(x) = (x/(2*sin(i0)))² + x/tan(i0), i0 étant l'angle entre l'axe y et la tangent à la courbe en A=0 pour 1 et en B pour 2 ), mais je manque d'arguments pour affirmer que si un chemin minimal existe entre A et B alors sa restriction à 1 (ou 2) est parmi les plus courts chemins de 1 (ou 2) (donc de la forme yi0).

Si un plus court chemin y coupe D en un point C tel qu'il existe i0 avec yi0 (dans 1) passant par C alors ceci est vrai car sinon, on pourrait prendre le chemin constitué de yi0 et de y restreint à 2.
Le problème est que justement, tous les points de D ne sont pas atteints par des rayons lumineux...

En fait, je ne suis même pas sûr que cela soit vrai dans le cas général...

Merci d'avance
-----

[invite8a2da01f]

En fait je viens de me dire: si les intervalles sur D "accessibles" par yi0,1 (dans 1) et yi0,2 ne sont pas disjoints (intersection notée I), alors on peut trouver un rayon lumineux constitué par un yi01 et un yi0,2 qui passe par A et B (et par I) donc qui minimise le chemin AB (Fermat).
Donc dans ce cas le chemin est à chercher parmi les chemins de la forme yi0,1 sur 1 et yi0,2 sur 2 (et relié par continuité), reste à savoir lequel: à mon avis il s'agit du chemin passant par le milieu de I...
J'ai trouvé aussi que l'ensemble des points sur D accessibles à y0i,1 (2) sont d'abscisse I1=[0,racine(4+2*yb)] ( I2=[xb-racine(4+2*yb),yb] ).
Donc si xb < 2*racine(2+2yb), I est non vide: étude ci dessus.
Mais sinon... je ne sais pas quoi faire.