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Metrique de kerr



  1. #1
    Finrod

    Metrique de kerr


    ------

    Bonjour,

    Je rencontre actuellement une difficulté. Je m'intéresse a la relativité générale et j'ai récemment refait les calculs permettant d'établir la métrique de Schwarzschild.

    J'essaie désormais de faire de même avec la métrique de Kerr c'est-à-dire lorsque le trou noir possède un moment angulaire. Je ne savais comment commencer le calcul. Comment s'écrit dans ce cas le tenseur énergie-impulsion quel est le lien avec ce moment angulaire? Comment doit-je considérer dès le début la forme de ma métrique?

    Suite à ce manque d'idées de base (et surtout sachant les calculs longs), j'ai effectué de vaines recherches sur internet. La plupart des sites ne se contentent que de donner le résultat final.

    J'espère que vous saurez apporter une réponse a mes questions.

    Finrod

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Rincevent

    Re : Metrique de kerr

    salut,

    la métrique de Kerr est une solution des équations d'Einstein dans le vide donc le tenseur énergie-impulsion est très simple : T=0

    après, le calcul est pas trivial... c'est pour ça que tu le trouves pas n'importe où : y'a plus d'EDP qu'avec Schwarzschild... [et ce sont des EDP pas des ODE]

    pour ce qui est de la forme de la métrique, c'est l'algèbre formée par les vecteurs de Killing (= générateurs des symétries) qui te dit par où commencer... donc si tu sais ce que ça veut dire, il te reste à supposer la stationnarité, l'axisymétrie et à en déduire les coefficients de ta métrique qui ne peuvent pas être nuls (puis à résoudre le système )

    bref, c'est pas pour rien qu'il y a autant d'années entre la solution de Schwarzschild et celle de Kerr... si malgré ce que je viens de dire tu n'es pas découragé, je peux te chercher de la doc plus précise...
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  4. #3
    ordage

    Re : Metrique de kerr

    Citation Envoyé par Finrod Voir le message
    Bonjour,

    Je rencontre actuellement une difficulté. Je m'intéresse a la relativité générale et j'ai récemment refait les calculs permettant d'établir la métrique de Schwarzschild.

    J'essaie désormais de faire de même avec la métrique de Kerr c'est-à-dire lorsque le trou noir possède un moment angulaire. Je ne savais comment commencer le calcul. Comment s'écrit dans ce cas le tenseur énergie-impulsion quel est le lien avec ce moment angulaire? Comment doit-je considérer dès le début la forme de ma métrique?

    Suite à ce manque d'idées de base (et surtout sachant les calculs longs), j'ai effectué de vaines recherches sur internet. La plupart des sites ne se contentent que de donner le résultat final.

    J'espère que vous saurez apporter une réponse a mes questions.

    Finrod
    Salut

    Tu peux trouver des éléments pour comprendre la démarche de Kerr et un exposé succint de sa solution:

    http://www-cosmosaf.iap.fr/TN_Kerr_JF_20_09_08.pdf
    (conférence faite à la SAF)

    ou si tu préfères les grands auteurs.

    http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0604/0604064v1.pdf

    par Brandon Carter, un maître du genre (qui est à l'observatoire de Meudon). L'article est abordable (mais en anglais).

  5. #4
    Seirios

    Re : Metrique de kerr

    Bonjour,

    Une question en passant : est-il possible d'aborder la relativité générale en interprétant les tenseurs comme des matrices ? (pour simplifier l'approche)
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  6. #5
    mariposa

    Re : Metrique de kerr

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    Bonjour,

    Une question en passant : est-il possible d'aborder la relativité générale en interprétant les tenseurs comme des matrices ? (pour simplifier l'approche)
    Bonjour,

    Je ne comprends pas le sens de ta question?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Seirios

    Re : Metrique de kerr

    J'aimerais en fait savoir s'il est possible de se passer de tenseurs pour étudier la relativité générale, au moins pour une première approche, en les remplaçant par des matrices, pour en simplifier l'étude. Est-ce plus clair ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  9. Publicité
  10. #7
    Finrod

    Re : Metrique de kerr

    Pour fair des calculs avec des tenseur d'ordre 2 c'est ce qui se passe. Mais ce n'est pas l'esprits du physicien qui lui travail sur les composantes.
    Ecrire une equation tensoriel c'est juste ecrire un systeme d'equation sur les composantes.

    Revenons a mon sujet, je remercie Rincevent et Ordage pour leur reponse.
    Ordage je prendrai ce soir le temps d'etudier tes documents.
    Rincevent je n'ai auparavant jamais utiliser de vecteur de killing peut tu m'endire d'avantage a leurs sujet et surtout en quoi ils sont impostant dans le calculs de cette metrique.

    Je vous remercie d'avance

  11. #8
    Rincevent

    Re : Metrique de kerr

    salut,

    les vecteurs de Killing sont grossièrement les champs vectoriels associés aux isométries (symétries) d'une métrique. Avec les mains ça veut dire que ce sont les champs de vecteurs qui sont tangents aux lignes de coordonnées le long desquelles les coefficients de ta métrique sont constants (un exemple dans le cas de la sphère : les lignes de latitude fixée).

    Savoir sous quelle forme tu dois/peux rechercher ta métrique en fonction des symétries que tu souhaites est assez important. Pour le dire autrement, ce sont eux que tu utilises pour démontrer "proprement" que la métrique de Schwarzschild a la tête qu'elle a.

    si tu n'en as jamais entendu parler et souhaites approfondir tes connaissances de RG, prends le temps de lire des choses de géométrie différentielle sérieuse. Un bon début pourra être les notes de cours de Carroll :

    http://nedwww.ipac.caltech.edu/level..._contents.html

    ce n'est pas le plus général du point de vue géo diff, mais ça te donnera certains outils importants dans un formalisme pas trop abstrait pour un physicien (si tu veux plus abstrait et rigoureux, fonce directement dans des bouquins de géométrie riemannienne)

    Citation Envoyé par Phys2
    J'aimerais en fait savoir s'il est possible de se passer de tenseurs pour étudier la relativité générale, au moins pour une première approche, en les remplaçant par des matrices, pour en simplifier l'étude. Est-ce plus clair ?
    y'a plusieurs problèmes dans ce que tu dis :

    - en RG, tu n'as pas que des tenseurs de rang 2, tu as aussi des tenseurs de rangs plus élevés

    - tu peux parfaitement t'amuser avec des choses en relation avec la RG en faisant ça, mais tu passeras à des années-lumière du contenu de la théorie. Si tu veux faire des choses intéressantes, hors-sujet par rapport à tes cours et qui n'impliquent pas d'aller plus loin que les algèbres de matrice tout en permettant de réflechir au sens de ce que tu fais, je te conseille de te pencher vers la physique quantique plutôt que la RG, voire même de la physique quantique relativiste (équation de Dirac). Mais même ça, pour bien le comprendre, il est encore une fois pas inutile de pas chercher à griller les étapes (donc bien avoir vu l'algèbre linéaire ainsi que les bases sur le calcul différentiel avant) et vouloir courir plus vite que l'orchestre
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  12. #9
    Seirios

    Re : Metrique de kerr

    Mais même ça, pour bien le comprendre, il est encore une fois pas inutile de pas chercher à griller les étapes (donc bien avoir vu l'algèbre linéaire ainsi que les bases sur le calcul différentiel avant) et vouloir courir plus vite que l'orchestre
    C'était juste une question
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  13. #10
    Rincevent

    Re : Metrique de kerr

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    C'était juste une question
    c'était juste une réponse

    mais dans quelques mois je pourrai te conseiller un bouquin pour apprendre la RR tout en voyant les bases de la RG sans en avoir l'air et tout ça avec un niveau de math qui devrait être le tien... faut juste que son auteur finisse de l'écrire mais c'est en bonne voie pour ce que j'en ai vu récemment...
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  14. #11
    Seirios

    Re : Metrique de kerr

    mais dans quelques mois je pourrai te conseiller un bouquin pour apprendre la RR tout en voyant les bases de la RG sans en avoir l'air et tout ça avec un niveau de math qui devrait être le tien... faut juste que son auteur finisse de l'écrire mais c'est en bonne voie pour ce que j'en ai vu récemment...
    Alors j'essaierai d'être patient Pour le moment je détermine le Pérez sur la RR.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  15. #12
    Finrod

    Re : Metrique de kerr

    Désolé de ne pas etre revenue plus tot. En effet vacances, et temps de comprendre (en gros) ce qu'est un vecteur de killing m'ont retardé.

    Voila je pense avoir compris ce que signifiait avoir un espace temps:
    - stationnair :Existence d'un vecteur de killing e orienté dans la temps définissant la coordonée x°, ce qui entraine que les coefficient de la métrique ne dépendent pas de x°
    - statique :e est orthoghonal au hypersurface definit par x°=cst
    -a symetrie sphérique: possede 3 vecteur de killing orienté dans l'espace telle que dans un certain systeme de coordonnées (x°,x1,thétha,phi) il s'ecrive
    a=(0,0,-sin(phi),-cos(phi)cot(thétha))
    b=(0,0,cos(phi),-sin(phi)cot(thétha))
    c=(0,0,0,1)
    satisfesant [a,b]=-c ; [b,c]=-a et [c,a]=-b
    L'ecriture des equation de killing entraine la nullité de certaine composante de la métrique est permet de la mettre sous la forme

    ds²=-A(r,t)(dx°)²
    -2B(r,t)(dx°)(dx1)
    +C(r,t)(dx1)²
    + D(r,t)((dthétha)²+sin²(thétha) (dphi)²)

    -l'axisymétrie elle ne permet d'introduir qu'un vecteur de killing qui dans le systeme precedent s'ecris, c=(0,0,0,1) si Oz confondut avec l'axe de symétrie.


    Si j'ai ecris tout ceci c'est pour que vous me corrigiez si je fais une erreur.
    Mon probleme est simple supposé stationnarité est axisymétrie de l'espace temps entraine seulement que les coefficient de la métrique ne dépendent ni de x° ni de phi ce qui ne déblaie que trés peu le terrain.
    Avant de tenter l'ecriture des equations d'einstein.

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