Attracteur étrange de Lorenz

[invite34fcb0bb]

Bonjour à tous,

Je découvre ce forum, et j'en profite pour faire part à tout le monde d'un petit travail de vulgarisation que je suis en train de faire (par plaisir) sur l'attracteur étrange de Lorenz, le début de l'étude sur le chaos donc.

Il s'agit en fait d'une version simplifiée (et traduite !) des articles de Saltzman et Lorenz sur la convection de Rayleigh-Bénard, pour aboutir aux modele de Lorenz, l'analyser graphiquement, et faire des simulations numériques pour le cas chaotique.

Attracteur étrange de Lorenz

Je tiens à préciser qu'il s'agit d'une version d'essai, qui sera améliorée, notamment grace a vos commentaires, si vous êtes intéressés !
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[invite1c3dc18e]

tout d'abord bravo pour t'attaquer à la "vulgarisation" d'un des plus beaux pans de la physique !

Il y a juste une chose qui est plus ou moins juste c'est quand tu dis qu'il n'y a aucune composante stochastique: en réalité pour résoudre numériquement les équations différentielles et introduire la rupture de symétrie spatiale, tu dois introduire un bruit dans tes conditions initiales, sinon cela ne marche pas. Donc oui les équations sont déterministes, non, le système n'est pas déterministe...

Cordialement,

Anacarsis

[invite0fb72cf8]

Juste une petite remarque concernant ta définition du chaos:

- Apériodique aux temps long : il n’y a pas de comportement asymptotique vers
un point fixe, pas d’orbite périodique ou quasi-périodique.
- Déterministe : le système n’a pas de composante stochatisque (bruit).
- Sensible aux conditions initiales : 2 conditions initiales très proches conduisent
rapidement à des états très éloignés.

Selon ta définition, une simple dilatation sur IR va également être un système chaotique.

La définition de chaos que je connais (plus mathématique) est la suivante. Un système chaotique est un système dynamique déterministe tel que:
- le système possède un ensemble dense d'orbite périodiques
- le système possède une orbite périodique dense
- Sensible aux conditions initiales : 2 conditions initiales très proches conduisent rapidement à des états très éloignés.
Bref, à toi de voir. Je ne sais pas trop jusqu'à quel niveau tu dois creuser, mais si tu veux plus d'info, n'hésite pas à poser des questions.

EDIT: sinon, j'ai trouvé ton document très intéressant

[invité576543]

Juste une petite remarque d'ordre historique. Le début de l'étude du chaos en physique date de H. Poincaré, et non de Lorenz; et ce même si entre-temps le sujet a été pas mal en éclipse.

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite34fcb0bb]

Tout d'abord, merci pour vos commentaires !

@Anacarsis_47 :
Attention à ne pas confondre l'expérience et la modélisation (je n'ai peut etre pas été assez clair la dessus) : la modélisation par les 3 équations tres simples de Lorenz conduit à du chaos déterministe, sans composante stochastique. Si en condition initiale je choisis un point fixe INstable, je resterai sur ce point. Les expériences ont une partie sotchastique sinon, en effet, on ne verrai pas d'apparition de rouleaux de convection lorsque la différence de température est suffisante. Mais, et Lorenz l'a souligné dans son papier, ces equations ne prétendent pas decrire completement la réalite. Ca se passe bien comme prevu lorsque la température n'est pas trop élevée, mais pour la suite, il est difficile de séparer le bruit inherent à toute manipulation d'un vrai comportement chaotique (deterministe), et ce encore plus, a cause de la sensibilite aux CI.
Le modele est déterministe et peut montrer un comportement chaotique, les expériences, on ne sait pas, mais on peut etre sur qu'il y a du bruit !

@Ising (Ising, le vrai ?? ) :
Ma définition vient de mon cours de theorie du chaos (en physique), et j'ai confiance en ce que dit mon prof. Neanmoins, il peut s'agir d'une mauvaise interpretation de ma part. Je ne sais pas ce qu'est une "simple dilatation sur IR" ; si tu pouvais éclairer ma lanterne, je verifierai ce qu'il en est !

@Michel (mmy) :
En effet, je pense que ca devrait figurer dans mon article, je vais l'inclure. Merci !

[invité576543]

Je ne sais pas ce qu'est une "simple dilatation sur IR"

Une fonction sur le corps des réels (IR), x--> ax avec a non nul.

Cordialement,

[invite0fb72cf8]

Ma définition vient de mon cours de theorie du chaos (en physique), et j'ai confiance en ce que dit mon prof. Neanmoins, il peut s'agir d'une mauvaise interpretation de ma part. Je ne sais pas ce qu'est une "simple dilatation sur IR" ; si tu pouvais éclairer ma lanterne, je verifierai ce qu'il en est !

Tout d'abord, la dilatation, c'est bien ce qu'a dit Michel(mmy). Si tu considères les itérations de f(x) = a x pour a > 1, ou l'équadiff x'(t) = a x(t), pour a > 0, tu obtiens un système qui est chaotique sur IR \ {0}, selon ta définition en tout cas. Personnellement, je suis assez réticent d'appeler ça des systèmes chaotiques. Pose éventuellement la question à ton prof.

A+

Ising (pas le vrai, évidement...)

[invite34fcb0bb]

Oui en effet, ca n'est certainement pas un comportement chaotique, c'est un comportement divergent, absolument pas physique. En fait, la definition exacte est "apériodique aux temps longs". Une asymptote vers un point fixe ou vers l'infini (qui est alors considéré comme un point fixe) n'est pas un comportement asymptotique. Ca mérite d'être mentionner.

[invite1c3dc18e]

@Anacarsis_47 :
Attention à ne pas confondre l'expérience et la modélisation (je n'ai peut etre pas été assez clair la dessus) : la modélisation par les 3 équations tres simples de Lorenz conduit à du chaos déterministe, sans composante stochastique. Si en condition initiale je choisis un point fixe INstable, je resterai sur ce point. Les expériences ont une partie sotchastique sinon, en effet, on ne verrai pas d'apparition de rouleaux de convection lorsque la différence de température est suffisante. Mais, et Lorenz l'a souligné dans son papier, ces equations ne prétendent pas decrire completement la réalite. Ca se passe bien comme prevu lorsque la température n'est pas trop élevée, mais pour la suite, il est difficile de séparer le bruit inherent à toute manipulation d'un vrai comportement chaotique (deterministe), et ce encore plus, a cause de la sensibilite aux CI.
Le modele est déterministe et peut montrer un comportement chaotique, les expériences, on ne sait pas, mais on peut etre sur qu'il y a du bruit !

j'ai fait de la modélisation, et si tu rajoutes pas du bruit, ok je devrais dire plutôt une perturbation inhomogène, il est impossible d'avoir une rupture de symétrie du système...

Cordialement,

Anacarsis

[invite0fb72cf8]

Le modele est déterministe et peut montrer un comportement chaotique, les expériences, on ne sait pas, mais on peut etre sur qu'il y a du bruit !

C'est clair qu'en général, il y a du bruit. Ceci dit, dans la définition d'attracteur étrange et de mesure SRB (çàd grosso modo, une densité de probabilité qui va décrire le comportement asymptotique des points dans le bassin d'attraction de l'attracteur étrange), on fait parfois explicitement référence dans la littérature à une certaine notion de stabilité sous des perturbations aléatoires infinitésimales de l'application qu'on étudie.

[invite34fcb0bb]

Ok, la je suis dépassé ! Je vais me plonger dans la littérature un peu plus (le chaos est loin d'etre ma spécialité) et j'affinerai tout ca. Merci de vos remarques.