Réflexion d'un paquet d'ondes

[Universus]

Salut à tous,

Je me suis mis à lire le premier volume de mécanique quantique de Cohen-Tannoudji et je fais à présent face à un certain problème à la section 2-a- du complément H₁, le complément traitant des états stationnaires d'une particule dans des potentiels carrés en une seule dimension. Il s'agit d'une situation où il y a un saut de potentiel en x=0. Dans la région I définie comme étant x<0, le potentiel vaut 0 tandis que dans la région II définie comme étant x>0, le potentiel vaut V₀. L'énergie de la particule étant E, on est dans la situation où E < V₀. L'équation de Schrödinger est . Cette équation a des solutions dans les deux régions qui sont les suivantes (en considérant aussi le fait que la fonction d'onde est bornée) :



avec et .

On demande à ce que la fonction d'onde et sa dérivée spatiale soit continue en x=0, ces conditions nous donnant donc les rapports suivants :



De là, on en déduit que le coefficient de réflexion R vaut :



Cela signifie que la particule est toujours réfléchie. Néanmoins, si on essaie de calculer le coefficient de transmission T qui est la norme au carré de l'autre rapport, on trouve un résultat toujours compris entre 0 et 4 exclusivement, ce qui est une probabilité non nulle, mais plutôt étrange (du fait de l'intervalle, mais aussi du fait que la particule est supposée être réfléchie...) de trouver la particule dans la région II, bien qu'on vienne de déterminer qu'elle était toujours réfléchie...

Oh, je pense que je viens de comprendre! Le fait que le premier rapport (celui dont la norme au carré donne R) soit une quantité imaginaire représente que l'onde réfléchie est déphasée par rapport à l'onde incidente. Cela provient du fait que l'onde 'voyage' en quelque sorte dans la région II avant d'être réfléchie. Bref, la particule est obligatoirement réfléchie, la réflexion ayant une probabilité de se produire qui décroit exponentiellement avec la distance dans la seconde région. Ai-je en gros bien compris? J'ai néanmoins toujours de la difficulté à voir que représente l'intervalle 0 à 4 et si la particule pénètre la région II, pourquoi n'y a-t-il pas de 'composante' dans (le B₂ ayant été annulé pour que la fonction d'onde soit bornée à l'infini positif, ce que je peux comprendre... mais quand même)?

Merci pour votre aide
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[invite5e5dd00d]

Pour moi, mais je peux me tromper, la définition de la transmission c'est T=1-R (tout ce qui n'est pas réfléchi est transmis)...

[Universus]

Oui, dans le cas où E>V₀, ils calculent R et T en faisant la norme au carré des deux rapports qu'ils ont (dans ce cas là, ce n'est pas B'_2/A_1 mais B_2/A_1, B'_2 étant mis nul pour considérer une particule incidente provenant de l'infini négatif) pour se rendre compte que la somme vaut bien 1. Dans le cas d'une barrière de potentiel, il en va de même. Je me dis que ça a du sens de définir la transmission comme la norme (au carré) du rapport de l'amplitude finale de l'onde par l'amplitude initiale, mais l'interprétation de cela m'est plus ardue dans le cas que je vous présente.

de plus, dans le cas de l'effet tunnel, on voit bien que T a un sens, sens qu'il acquiert du fait que la région II ne s'étend pas à l'infini et qu'une région III au potentiel aussi nul apparaît (on a donc toujours R+T=1).

[invite5e5dd00d]

Je suis d'accord avec ce que tu dis. A priori, la réflexion définit comme le rapport du module au carré des amplitudes me semble correct.

Tu trouves 1, cela veut dire que toutes les ondes sont réfléchies. A partir de là, aucune n'est transmise.
J'avais pas remarqué, mais ta barrière de potentiel s'étale sur tout x>0. Aucune paquet d'onde avec E<Vo ne peut être transmis dans ces conditions, c'est à dire se retrouver dans les x>0...

A la rigueur, le paquet d'onde peut un peu pénétrer la barrière de potentiel d'où ta fonction d'onde dans II. En quelque sorte, il y a transmission du paquet d'onde, il déborde dans la barrière de potentiel (effet tunnel), mais au bout du compte, l'exponentielle décroissante fait que le paquet d'onde a une probablité nulle d'être transmis complètement.

Donc, j'en déduis intuitivement que le problème vient de ta définition de la transmission dans ce cas. Les paquets d'ondes ne restent pas dans la région II, ils ne peuvent franchir la barrière de potentiel, et même si ils y passent un peu de temps (d'où le déphasage), ils finissent par être réfléchis.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Tu as bien raison! La transmission doit être prise comme le passage à travers toute la région de potentiel plus élevé que E, que je suis bête! Merci pour ton aide, on s'accorde sur le reste. Néanmoins, ça me turlupine toujours une coefficient T allant de 0 à 4 ou que le paquet d'ondes pénètre la région 2 (et qu'il puisse, intuitivement, avoir une partie de sa quantité de mouvement orientée positivement) sans avoir de composante avec une quantité de mouvement orientée positivement... Ou sinon c'est une erreur que je fais, le paquet d'ondes a une quantité de mouvement imaginaire de . Enfin, ça doit vraiment dire que physiquement, le facteur T n'a pas vraiment de sens en terme de norme au carré du rapport.

[invite5e5dd00d]

Tu as bien raison! La transmission doit être prise comme le passage à travers toute la région de potentiel plus élevé que E, que je suis bête! Merci pour ton aide, on s'accorde sur le reste. Néanmoins, ça me turlupine toujours une coefficient T allant de 0 à 4 ou que le paquet d'ondes pénètre la région 2 (et qu'il puisse, intuitivement, avoir une partie de sa quantité de mouvement orientée positivement) sans avoir de composante avec une quantité de mouvement orientée positivement... Ou sinon c'est une erreur que je fais, le paquet d'ondes a une quantité de mouvement imaginaire de . Enfin, ça doit vraiment dire que physiquement, le facteur T n'a pas vraiment de sens en terme de norme au carré du rapport.

Le coefficient T est-il définit dans ce problème comme tu le dis ? Est-ce ce qu'écrit Cohen (j'ai pas le mien sous la main, il est resté à Paris) ?
Bien sûr que le paquet d'onde va dans la région 2, mais il n'y reste pas... Ca n'a rien de choquant, c'est grâce à ce genre de phénomènes que l'effet tunnel existe.
Le paquet d'onde a bien une quantité de mouvement imaginaire d'après mes vérifs.
A mon avis, c'est juste ta définition de la transmission qui est fausse. Les ondes ne sont pas transmises du tout.

[Universus]

Oui, je pense aussi que j'avais mal défini en mots le terme de transmission. Cohen ne calcule pas T comme je l'ai fait dans ce cas, puisque R avait donné 1. Néanmoins, si on calcule T comme le carré de la norme du rapport donné (il donne le rapport et, dans les autres cas, il calcule T de cette façon), on obtient le résultat que T = 4E/V_0 . Mais cela n'a évidemment pas de sens, puisque clairement la particule ne se rendra jamais en x --> + infini (la probabilité y étant nulle). Je pense donc que, en considérant les cas que j'ai vus jusqu'à présent, la transmission n'a de sens que s'il y a une probabilité non nulle de détecter la particule à une distance infinie de là où elle a rencontré un saut de potentiel. Cela pourrait me servir de définition plus intuitive. Cette définition de la transmission présenterait aussi la chose de façon plus symétrique, les cas que j'ai rencontrés jusqu'à présent faisant tous intervenir une source située à l'autre infini des sauts de potentiel pour la particule.

[invite5e5dd00d]

Oui, je pense aussi que j'avais mal défini en mots le terme de transmission. Cohen ne calcule pas T comme je l'ai fait dans ce cas, puisque R avait donné 1. Néanmoins, si on calcule T comme le carré de la norme du rapport donné (il donne le rapport et, dans les autres cas, il calcule T de cette façon), on obtient le résultat que T = 4E/V_0 . Mais cela n'a évidemment pas de sens, puisque clairement la particule ne se rendra jamais en x --> + infini (la probabilité y étant nulle). Je pense donc que, en considérant les cas que j'ai vus jusqu'à présent, la transmission n'a de sens que s'il y a une probabilité non nulle de détecter la particule à une distance infinie de là où elle a rencontré un saut de potentiel. Cela pourrait me servir de définition plus intuitive. Cette définition de la transmission présenterait aussi la chose de façon plus symétrique, les cas que j'ai rencontrés jusqu'à présent faisant tous intervenir une source située à l'autre infini des sauts de potentiel pour la particule.

Voilà. Je pense que tu as tout compris.