Pendule

[mc222]

Boujours à toutes et à tous:


Je me pose un problème, celui du pendule

La question est la suivante:


Comment calculer l'accélération angulaire d'un pendule laché d'un angle de la verticale?

J'ai commencé le raisonnement en calculant maximum.
































Comment calculer "t" ?


Merci d'avance
-----

[invite60be3959]

Bonsoir,
il me semble que l'accélération angulaire est définie comme et que dépend du temps.

[invite3d779cae]

Tu pourrais mettre un dessin, comment tu as orienté les axes. Parce que si on place le niveau 0 au point le plus bas, alors :






J'ai fais un petit dessin brouillon pour bien voir.

http://pics.imagup.com/member/1251782229_pendule.jpg

[invite60be3959]

à moins que mc222 ai fait partir sont pendule "du haut", mais il existe alors une condition sur la vitesse initiale pour que le fil reste tendu.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mc222]

Voila voila^^

Bon, ensuite, considèrons notre pendule comme rigide, la poids tien tout seule.


Voila.

[Universus]

Le pendule est constitué d'une tige rigide de longueur R très peu massive de sorte qu'on néglige sa masse et d'une masse quasi-ponctuelle (de taille négligeable) de masse m à l'extrémité de la tige. Ton pendule balaie la surface d'un disque de rayon R. Dans ton contexte, je place le centre de mon système d'axe au centre du disque, l'axe des X à «l'horizontale» (la droite étant le sens positif) et l'axe des Y à la verticale (le haut étant le sens positif). Disons que la rotation est dans le sens des aiguilles d'une montre. Avec tout ceci, on dira que l'orientation du pendule est défini comme étant l'angle à l'origine entre la direction du pendule et les Y positifs. est fonction du temps.

On a donc, en tout temps, l'énergie cinétique où est la vitesse angulaire du pendule à un moment donné et l'énergie potentielle gravitationnelle est . L'énergie mécanique du pendule est donnée en tout temps par . On dérive cette expression par rapport au temps. Selon le principe de conservation de l'énergie, le membre de gauche est nul, on a donc :



Donc



Cela est logique, puisque deux forces s'appliquent sur la masse m : la poussée ou la tension de la tige (cela dépend de si la tige est vers le haut ou vers le bas) et la force gravitationnelle constante vers le bas. La première force est en tout temps radiale, donc ne contribue pas à l'accélération angulaire. La force gravitationnelle elle peut avoir un effet tout dépendant de l'orientation du pendule. L'expression ci-dessus nous indique, en conformité avec l'intuition, que la masse accélère le plus lorsque le pendule est horizontal () est nulle lorsque la force gravitationnelle est radiale, soit quand le pendule est à la verticale ().

Ce résultat aurait pu être obtenu plus rapidement si on définissait la droite perpendiculaire à la tige à un moment précis et à une distance R du centre de rotation du pendule. Il s'agit donc de la droite tangente à la trajectoire du pendule en un certain moment. D'après ce qu'on a dit, seule l'accélération tangentielle importe qui est donnée par la projection de sur . En divisant cette accélération par R, on obtient l'accélération angulaire.

Néanmoins, tu n'as pas l'expression de l'accélération angulaire en fonction du temps, ce qui revient à connaître l'équation horaire du pendule. Ce problème est bien plus complexe, mais possède une solution relativement simple et connue dans le cas où ton pendule effectueraient de petites oscillations avec sa position d'équilibre au point (x,y) = (0,-R).

[mc222]

Merci de ton attention universus,

On dérive cette expression par rapport au temps. Selon le principe de conservation de l'énergie, le membre de gauche est nul

Je ne connaissais pas cette procèdure qui consiste à dériver par le temps l'équation pour faire apparaitre un .

On a :




mR est constant donc on oubli

Comment passe tu de à ?

Pour le sinus, je suis d'accord, mais comment le apres est arrivé la ?



Tu l'auras compris , bien qu'ayant vu les dérivées et les primitives ( calcules intégrale, équations différencielles) en mathématiques, je ne suis pas habitué à les rencontrer en physique.^^


Voila, merci

[invite60be3959]

Comment passe tu de à ?

puisque Universus n'est pas connecté je me permet de répondre. Quand tu dérive c'est du type , avec g la fonction "au carré" et f(t)=omega(t). Donc



mais bon on note plutôt , le prime étant réservé à l'appellation d'autres variables éventuelles.

[Universus]

Merci vaincent pour l'explication. C'est en effet ça, il s'agit de la même idée (dérivation en chaîne) que celle appliquée sur le second terme de droite pour obtenir , le vient du fait qu'on dérive aussi par rapport au temps.

Sinon, la dérivation par rapport au temps n'est qu'une technique utile pour deux raisons :

étant constante pour le système étudié ici, on sait que la différentielle vaut 0, donc la dérivée de l'énergie mécanique par rapport à n'importe quelle variable indépendante (comme le temps ou l'espace) est nulle. On espère en dérivant, sachant que cela vaut 0, obtenir quelque chose de plus simple et moins dépendant de constantes comme m, R ou . Pour savoir par rapport à quoi dériver, bien on peut voir que nous sommes intéressés par l'accélération angulaire qui est une dérivée temporelle de la vitesse angulaire, elle-même dérivée temporelle de la position angulaire. Pour faire apparaître l'accélération angulaire donc il est logique de dériver l'expression par rapport au temps.

[mc222]

Merci de votre attention à tout les deux mais je reste perdu, la dérivation en physique est je trouve, bien plus compliqué qu'en maths^^.
Je comprend votre démarche, pour faire apparaitre l'accélération angulaire mais les formules me paraissent vagues.

Pouvez vous redétailler votre dérivation ? s'il vous plait? ( d'ou sort le "2" du "2ww'" ? du "w²"? ...)

Je tient à comprendre la marche à suivre pour voler de mes propres ailes.

Merci encore.

[Universus]

Comme vaincent l'a indiqué, il est commun en physique de noter la dérivation par rapport au temps avec un ou des points (dépendant de l'ordre de la dérivée) au-dessus de la variable à dériver:

où t est le temps et f une variable quelconque.

On a aussi la dérivation en chaîne : Soient f et g deux fonctions, on a que :



Ainsi, dans notre cas :



et

[mc222]

ok,donc:

(w²)' dérivé par omega = 2w ?

Comme :

(X²) = 2x ?

[Universus]

Oui, après tout x n'est qu'une lettre souvent utilisée en mathématiques, mais le symbole n'est pas plus 'fort' que le concept.

[mc222]

Ok , y a t'il d'autre règles ou formules de base pour la dérivation en physique?

[mc222]

Ensuite, peut-on expliquer que dans un système en équilibre, la somme des force est nulle par ceci:

Dans ce système, la quantitié de mouvement est constante donc sa dérivé par n'importe quelle variable, comme le temps est nulle.

La dérivé de "p" par le temps est la force "F" donc : dans ce système, la somme des forces est nulle.

Est-ce correcte?

[invite60be3959]

Ok , y a t'il d'autre règles ou formules de base pour la dérivation en physique?

Bonjour,

non pas fondamentalement. La dérivation en physique est la même qu'en mathématique (heureusement!), le truc c'est que l'on est habitué à certaines notations en math qui permettent de bien identifier quelle est la variable(par rapport à laquelle on dérive) et quelle est la fonction(que l'on dérive). Pour pouvoir appliquer tous ce que l'on connait en math à la physique, il faut dans un premier temps bien réfléchir aux rôle de chaques inconnues (ou données) du problème et savoir qui dépend de qui. Une fois ce travail effectué rigoureusement pendant quelque temps, ça devient automatique et tout devient plus simple !

[invite60be3959]

Ensuite, peut-on expliquer que dans un système en équilibre, la somme des force est nulle par ceci:

Dans ce système, la quantitié de mouvement est constante donc sa dérivé par n'importe quelle variable, comme le temps est nulle.

La dérivé de "p" par le temps est la force "F" donc : dans ce système, la somme des forces est nulle.

Est-ce correcte?

Oui c'est tout à fait correcte, et ça marche aussi pour un système en mouvement rectiligne uniforme (vitesse constante donc quantité de mouvement constante).