Devoir Electrostatique

[invite787e8665]

Je bloque sur le 2eme exercice d'un devoir maison d'électrostatique:

On considère une sphère de rayon R et de centre O, dans laquelle existe une distribution volumique de charges positives de densité P, seule fonction de la distance r (coordonnées sphériques), et donnée par l'expression suivante :



où a est une constante positive

1.Donner l'expression du volume dv de la coquille comprise entre les sphères de rayon r et de rayon r+dr, et de meme centre 0

Je pensais partir du la relation du volume d'un cube :
mais je n'aboutis a rien :/
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[invite19415392]

Sachant que le volume est une fonction de r, et qu'on te demande une variation (*) de volume, ne sens-tu pas qu'un outil mathématique comun pourrais t'être utile ?

(*) : parce que ladite coquille, c'est le volume qui différencie une sphère de rayon r et une sphère de rayon r+dr ...

[invite787e8665]

a partn m'embrouiller encore plus, non je ne vois pas

[Heimdall]

salut,


Bon normalement c'est marqué que le forum n'est pas là pour faire ces devoirs (en plus t'as pas peur tu le dis cash dans le titre ) mais voici un (ou deux) petits coups de pouce .


1) soit t'y vas à la barbare, tu as une sphère donc les coordonnées sphériques sont adaptées au problème.

quel est l'élément de volume en sphérique ?
une fois que tu l'as (si tu l'as pas marqué dans ton cours, tu fais un dessins et ça se retrouve assez facilement), tu fais une intégration sur les élements différentiels qu'il faut, avec les bornes qui vont bien. (un dessin ça aide !)

il faut voir l'intégrale comme un truc qui te permet "d'agrandir" jusqu'à une certaine taille (bornes) un élément infinitésimal, ici c'est l'élément volumique sphérique que tu agrandi, sauf dans une dimension...



2) soit t'y vas avec un petit raisonnement. Quand tu as ce genre de calcul à faire, il faut toujours prendre l'élément le plus grand possible. Le texte te demande le volume entre deux sphères la premiere de rayon r et l'autre r+dr... fait un dessin et colorie le volume recherché.

En plus dimensionnellement un volume c'est une surface multipliée par une longueur, que ferais-tu si on te demandais le volume d'une plaque de surface S et de hauteur dz ? là fait pareil pour une coquille à présent

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite787e8665]

J'ai pas demandé qu'on me donne ma réponse mais qu'on me guide et les phrases philosophiques, c'est loin de m'aider

Pour moi, Le volume de la coquille est =


mais jvois pas comment trouver dv a partir de ca

[invite787e8665]

Je trouve pour le volume de la coquille :



Mais si je passe par dV/dr pour trouver dr, je sais pas quoi faire du dr de al premiere expression

[invite523f4369]

Bonjour,

ben c'est simple comme bonjour :

il suffit de soustraire le volume de la sphère de rayon r de celle de rayon r+dr.... et il me semble extrêmemnt simple de calculer le volume de ces deux sphères....

PS : je ne vois pas ce que pi vient faire dans le volume d'un cube...

[invite787e8665]

Bonjour,

ben c'est simple comme bonjour :

il suffit de soustraire le volume de la sphère de rayon r de celle de rayon r+dr.... et il me semble extrêmemnt simple de calculer le volume de ces deux sphères....

PS : je ne vois pas ce que pi vient faire dans le volume d'un cube...

Bah on utilise Pi, parce que c'est une sphère

[invite9c9b9968]

Je crois que R is R voulait dire sphère

sinon, tu as le bon résultat, que veux-tu de plus ?

[invite787e8665]

Bah savoir si c'était le bon

[invite787e8665]

C'est encore moi.
Pour cette question, j'ai mit que dV=4r²dr
La question suivante demande de trouver dq a partir de dV et P(r), j'obtiens:
dq=a4dr

Mais apres, je doit trouver la charge totale Q

Or pour ca, je dois faire mais je n'est qu'un élément d'intégration, dr donc je dois intégrer de quel manière? (normalement je devrais avoir dPhi et dTho non?)

[Heimdall]

re-salut


bon, on reprends depuis le début pour que tu comprenne ce que tu fais, car là j'ai l'impression que tu essaies de calquer des formules.


tu as une sphère chargée en volume, avec une densité volumique de charge

supposons que ta densité de charge dépende des trois variables d'espace du système sphérique, c'est à dire, supposons que tu aies une densité volumique de charge de la forme


Comment trouver la charge totale de toute la sphère ? C'est simple, par définition la charge volumique est la charge que porte une unité de volume.

Soit alors un petit volume élémentaire appelé dV. Il contient la charge . Alors, la charge totale de la sphère est la somme sur toute ta sphère, de toutes ces petites charges élémentaires.

Concrètement tu devrais aditionné tous les petites charges une par une. Seulement il y en a tellement, et les petits volumes sont tellement petits, que tu peux dire que tout se passe comme si c'étaitcontinu

alors à ce moment, comme tu as dû le voir en maths (en terminale je crois), la somme discrète sur tous les éléments, devient une intégrale.


et donc tu te retrouves avec l'intégrale sur tout le volume de la sphère, de toutes les charges élémentaires.

c'est à dire :




Bon ça c'est dans le cas le plus général. Maintenant examinons ton affaire. Tu vois toute suite que le système sphérique est le plus adapté a ton problème. donc que peux tu faire ? => chercher l'élément de volume sphérique.

c'est (un dessin permet de le retrouver)


alors ton intégrale devient :




la formule semble compliquée... mais regarde la forme de ta densité volumique ed charge... elle ne dépend QUE de r !!
on dit qu'elle est invariante par rotation selon et (c'est appelé tout bêtement une symétrie sphérique).


ce qui signifie que l'intégrale se simplifie en trois intégrales chacune sur sa variable :




et regarde les deux dernières intégrales :

et voilà, tu retrouves :

!!!

Tout ceci est un peut formel, on peu voir ça d'une manière plus intuitive, mais qui revient au même.


Tu "vois" que ta densité ne dépend que de r, alors tu sens bien que sur une sphère de rayon r, celle ci aura la même valeur non ? alors tu vas imaginer une sphère... et la découper en plein de coquilles sphériques. La première de rayon 0 d'épaisseur dr, etc etc...

comme tu connais la charge dans cette coquille, tu somme (approximation continue => somme = intégrale) sur toutes les coquilles, en faisant varier r de 0 à R.

ce qui revient exactement au calcul du début, mais en plus intuitif.

[invite787e8665]

Merci Heimdall pour tes explications très détaillés, ca me permet de moins détesté la physique

[invite122a3db2]

Super Heimdall ton explication restera gravée dans les mémoires collectives shadoks

[invite122a3db2]

Juste une petite chose que j'aimerai qu'on m'explique :


Dans ce calcul on intègre entre 0 et tandis que n'est intégré qu'entre 0 et , comment cela se fait-il pour ? J'ai fait un schema mais je ne voie pas trop ...

Merci

[invite122a3db2]

Autant pour moi j'ai trouvé avec ce schema ...

http://www.sciences.univ-nantes.fr/p...pheriques.html