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Les forces et la géométrie



  1. #1
    jojo17

    Les forces et la géométrie

    Bonjour,
    Comment passe-t-on d'une description en terme de force à une description géométrique?
    Le principe d'équivalence est-il la pièce maîtresse du raisonnement à entreprendre?
    Quel est l'équivalent de la force en description géométrique?

    Merci.

    -----

    les gens qui ont des montres n'ont pas le temps. Sagesse africaine

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  3. #2
    chaverondier

    Re : Les forces et la géométrie

    Citation Envoyé par jojo17 Voir le message
    Comment passe-t-on d'une description en termes de force à une description géométrique ?
    On passe par la métrique du champ gravitationnel.
    Citation Envoyé par jojo17 Voir le message
    Le principe d'équivalence est-il la pièce maîtresse du raisonnement à entreprendre ?
    Disons qu'il est très important. Il exprime l'équivalence entre champ gravitationnel (dans un référentiel qui n'est pas en chute libre) et champ d'accélération (absolue) dans ce même référentiel (cad accélération des observateurs tout le temps au repos dans ce référentiel par rapport au référentiel localement en chute libre en l'évènement considéré).
    Citation Envoyé par jojo17 Voir le message
    Quel est l'équivalent de la force en description géométrique ?
    Le lien entre métrique de la Relativité Générale (s'exprimant dans le cadre d'une variété 4D pseudo-riemanienne) et la notion de force gravitationnelle propre à la gravitation Newtonienne (s'exprimant en espace-temps plat et y déviant, par l'action de la force gravitationnelle, les trajectoires des corps en chute libre) n'est pas très direct. On retrouve toutefois un lien assez direct entre métrique propre à la RG et force gravitationnelle perçue dans une optique Newtonienne (cad avec un espace-temps plat sous jacent et des forces de pesanteur donnant aux corps en chute libre des trajectoires courbées par l'action de ces forces) dans le cas des champs faibles (approximation dite post-Newtonienne).

    Par contre, en Relativité Générale, les trajectoires des particules sont des géodésiques "tracées" sur une variété différentielle 4D pseudo-riemanienne (plate seulement si la métrique pseudo-riemanienne peut-être choisie constante dans au moins un référentiel en chute libre). Les déviations des trajectoires de chute libre provoquées par la gravitation (par rapport à ces mêmes trajectoires si on avait pas de gravitation, cad dans le cas où on aurait un espace-temps plat) sont étroitement reliées au tenseur de courbure G d'ordre 2. Ce tenseur de courbure G dérive (par les formules appropriées) du tenseur métrique g, d'ordre 2 lui aussi, modélisant la gravitation.

    Par ailleurs, le tenseur de courbure G se trouve relié au contenu énergie matière (modélisé sous forme d'un tenseur énergie-impulsion T d'ordre 2) via l'équation de champ de la Relativité Générale :
    G = khi T.

    C'est donc le contenu énergie-matière qui courbe l'espace-temps (la matière en question pouvant, toutefois, se nicher dans une singularité située, en toute rigueur, en dehors de la variété 4D modélisant l'espace-temps). A noter qu'on peut avoir, sans conflit avec la Relativité Générale, une topologie non triviale dans un espace-temps plat (exemple : espace-temps statique hypertorique).

  4. #3
    jojo17

    Re : Les forces et la géométrie

    Merci pour cette explication.
    Cela dit, c'est quoi les points communs, ou les différences entre un vecteur, un tenseur de rang 1 et un tenseur de rang 2?
    J'ai un niveau bac en maths, comme le reste d'ailleurs.
    les gens qui ont des montres n'ont pas le temps. Sagesse africaine

  5. #4
    chaverondier

    Re : Les forces et la géométrie

    Citation Envoyé par jojo17 Voir le message
    Merci pour cette explication.
    Cela dit, c'est quoi les points communs, ou les différences entre un vecteur et un tenseur de rang 1
    Un vecteur, c'est un tenseur (contravariant) de rang 1.

    Cela dit, en géométrie différentielle (donc plutôt au niveau L3) on utilise aussi le terme de tenseur de rang un pour désigner un champ de vecteurs ou encore un champ de 1-formes distribué sur un ouvert d'une variété. Plus précisément, il s'agit d'un champ de vecteurs tangents à la variété (ou d'un champ de formes linéaires agissant, en chaque point de la variété considérée, sur l'espace tangent à la variété en ce point)...
    ...Mais bon, on sort alors largement du programme de math de terminale. Au niveau terminale, considérer qu'un tenseur de rang un c'est un vecteur (en reportant à bien plus tard les considérations d'espace tangent et d'espace cotangent sur une variété différentielle) c'est suffisant.

    Quand on se place dans le cadre restrictif d'un espace vectoriel E, un tenseur de rang 2, c'est
    • une forme bilinéaire t : (vecteur u, vecteur v) donne linéairement la valeur réelle ou complexe t=t(u,v)
    • ou encore un opérateur linéaire t : vecteur u donne linéairement vecteur v = t(u)
    • ou encore quelque chose de similaire faisant intervenir l'espace dual E* (l'espace vectoriel des formes linéaires sur l'espace vectoriel E).

  6. #5
    jojo17

    Re : Les forces et la géométrie

    Merci chaverondier pour ton effort explicatif, mais j'aurai du me méfier quand j'ai poster ce sujet, mes connaissances étant largement insuffisantes pour être pertinent. Surtout quand c'est toi qui réponds.
    j'en reste donc là pour le moment, le temps pour moi d'avancer dans ce que je peux comprendre, raisonnablement.

    Merci encore, et bonne journée.
    les gens qui ont des montres n'ont pas le temps. Sagesse africaine

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