Compression étagée

[invitea7dc4381]

Salut à tous,

Je bute sur un exo de thermo et j'aurais besoin d'un peu d'aide il s'agit de trouver une pression P2 qui minimise la consommation d'énergie des compresseurs (la compression ici est bi-étagée). mon souci ici est de savoir si je considère dQ=0 (échange d'énergie). Voici un bref résumé de l'exo :
Dans le compresseur K1, l'air atmosphérique est comprimé de la pression P1 à la pression intermédiaire P2, ensuite il est refroidi avec de l'air dans l'échangeur, jusqu'à la température ambiante; en sortie de l'échangeur, l'air es comprimé ensuite dans K2 jusqu'à la pression P3. On donne P1, P3, T1, et T (température ambiante). On considère l'air comme un gaz parfait diatomique de constante massique r. On suppose que tout les rendements sont unitaire et que l'air est sec.
Quelle est la pression P2 qui minimise la consommation d'énergie des compresseurs?
Merci d'avance
-----

[LPFR]

Bonjour.
Oui. La compression est adiabatique. Le gaz n'a pas le temps d'échanger de la chaleur avec les parois des pistons (ou très peu).
C'est pour cela qu'il faut refroidir après la compression. Si on pouvait le faire pendant la compression et que celle-ci soit isotherme, on perdrait moins d'énergie.
Au revoir.

[invitea7dc4381]

Merci, mais c'est ce que je craignais car si je fait cette hypothèse je trouve T1 = T2, ce qui me parait surprenant. De plus le P2 que je trouve est égal à P1. J'ai essayé de le résoudre en utilisant les deux formules ci après :
D'après la loi de Laplace T1/T2 = (P1/P2)^(§/§-1)
et dQ=mC_pdT Q = mC_p(T2-T1)
merci encore;

[LPFR]

Re.
Vous n'avez pas deux états mais quatre, qui séparent 3 processus: compression adiabatique, refroidissement à volume constant puis re-compression adiabatique.
Vous ne pouvez pas réduire ça à deux pressions et deux températures.
Et il faut que vous calculiez le travail fait pas le compresseur à chacune des compressions, en fonction de la pression intermédiaire.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea7dc4381]

Je sais qu'il y 4 états et 3 processus pour avoir déjà fait le diagramme T-S. Mais je ne peux pas calculer le travail des compresseurs sans connaitre P2 et T2 et c'est la que je coince.
Merci

[LPFR]

Je sais qu'il y 4 états et 3 processus pour avoir déjà fait le diagramme T-S. Mais je ne peux pas calculer le travail des compresseurs sans connaitre P2 et T2 et c'est la que je coince.
Merci

Re.
Vous vous fixez une pression P2 résultat de la première compression et dont il faudra déterminer, à la fin, la valeur optimale.
Vous calculez V2 et T2 en utilisant la loi de Laplace et la loi des gaz parfaits.
Le travail du compresseur est:

Il faut mettre P en fonction de V ou vice-versa en utilisant la loi de Laplace.
Puis vous refroidissez le gaz à T3 à volume constant et vous déterminez P3.
Puis vous recommencez une compression adiabatique entre P3 et P4. Et vous calculez le travail qui dépendra de P3 qui dépend de P2.
Puis vous cherchez P2 qui minimise le travail total.
A+

[invitea7dc4381]

Vous vous fixez une pression P2 résultat de la première compression et dont il faudra déterminer, à la fin, la valeur optimale.
Vous calculez V2 et T2 en utilisant la loi de Laplace et la loi des gaz parfaits.
T₂V₂^$-1=T₁V₁^$-1, et en le combinant à la loi des gaz parfaits il reste V1 dans l'équation. Seulement, voilà je n'ai pas les volumes donc je ne pourrai pas calculer V2 et quand bien même je prends la loi de laplace que ce soit suivant P,V ou P,T ou encore T,V il y toujours une inconnue. J'ai utilisé la même démarche de résolution que vous depuis le début mais pour la détermination de P2, je n'ai que P1, T1, T3, et r. Je pourrais calculer Q en utilisant la formule Q = m rho n avec m : masse, rho : masse volumique et n le rendement et vu qu'il est unitaire n=1 mais je n'ai que r.
Merci.

[FC05]

En gros, il faut établir le travail de la première puis de la seconde compression en fonction de p2, faire la somme, puis dériver l'expression pour trouver son min.

[LPFR]

Re.
La pression optimale ne dépend pas du volume traité. Donc vous pouvez le choisir arbitrairement égal à Va (avec "a" comme "arbitraire").
A+

[invitea7dc4381]

Je tiens à vous remercier pour votre aide mais non seulement je n'ai pas compris mais en plus j'ai l'impression qu'on s'égare de mon problème. Je cherche juste à trouver la pression P2 et pas une pression optimale ou minimale.

[LPFR]

Je tiens à vous remercier pour votre aide mais non seulement je n'ai pas compris mais en plus j'ai l'impression qu'on s'égare de mon problème. Je cherche juste à trouver la pression P2 et pas une pression optimale ou minimale.

Re.
Je pense que c'est vous qui n'avez même pas compris ce que vous cherchez:
"il s'agit de trouver une pression P2 qui minimise la consommation d'énergie des compresseurs" (post #1)
A+

[invitea7dc4381]

Si j'avais compris je ne demanderai pas d'aide . En fait le pblm est tel quand je suis vos conseils, dans la résolution il me manque toujours une donnée que je n'ai pas. Et ce n'est que le tout début de l'exercice avant de continuer il me faut trouver P2.

[LPFR]

Si j'avais compris je ne demanderai pas d'aide . En fait le pblm est tel quand je suis vos conseils, dans la résolution il me manque toujours une donnée que je n'ai pas. Et ce n'est que le tout début de l'exercice avant de continuer il me faut trouver P2.

Re.
Relisez le post #6.
A+

[invitea7dc4381]

Mon résultat est toujours le même. Mais merci pour tout.
Salut

[FC05]

Dans ton cours, tu dois avoir que le travail échangé lors d'une compression adiabatique de P₁ à P₂, pour une mole de gaz parfait est :

W = (1/(gamma-1)).R.T₁.((P₂/P1)^{(gamma-1)/gamma}-1)

(désolé, je ne me suis pas mis à LaTex)

T₁ est la température de départ pour les deux compressions. En reprenant la formule que je t'ai donnée pour la seconde compression, puis en faisant la somme et en dérivant tu devrais trouver ce qu'il faut.

PS : j'ai négligé le travail pour la compression isobare de T₂ à T₁ ... ça doit être un peu plus sportif en l'intégrant dans le calcul.

Attention, pour moi T1 est la température ambiante ...

[FC05]

Alors tu as progressé ?

Hier soir pour m'endormir, j'ai fait le calcul, je trouve p2 = racine(p1.p3) ... si je ne me suis pas trompé quelque part (ce qui est très vraisemblable).
En tout cas c'est homogène au niveau des unités. Par contre ça ne dépend pas de gamma ... étrange (ou pas ?).

[LPFR]

Bonjour.
Au pif, j'aurais parié un café (pas plus) que c'était ça: la moyenne géométrique. Donc cela ne me choque pas du tout.
Au revoir.

[chatelot16]

exactement : pour partager une compression ( ou une detente ) en plusieur etage il faut que le raport de compression de tous les etage soit le meme : on peut apeler ca une progression geometrique , bien que je ne vois pas ou est la geometrie la dedans

l'echauffement d'une compression adiabatique est proportionnel au rapport de compression : si les different etage n'avaient pas le meme rapport de compression celui qui a le plus gros rapport chaufferait plus , et s'eloignerait plus de l'isotherme que l'on voudrait approcher

[LPFR]

... , bien que je ne vois pas ou est la geometrie la dedans

Bonjour.
Je suppose que l'expression "moyenne géométrique" provient du fait que multipliée par elle même, elle donne le produit des deux autres nombres (un carré de surface égale à un rectangle). Par analogie avec la moyenne arithmétique dont l'addition avec elle même donne l'addition des deux autres nombres. Mais je ne suis pas sûr que ce soit l'origine.
Au revoir.